試驗數(shù)據(jù)的處理

1、實驗數(shù)據(jù)的處理在做完實驗后，我們需要對實驗中測量的數(shù)據(jù)進(jìn)行計算、分析和整理，進(jìn)行去粗取精，去偽存真的工作，從中得到最終的結(jié)論和找出實驗的規(guī)律，這一過程稱為數(shù)據(jù)處理。實驗數(shù)據(jù)處理是實驗工作中一個不可缺少的部分，下面介紹實驗數(shù)據(jù)處理常用的幾種方法。一、列表法列表法就是將實驗中測量的數(shù)據(jù)、計算過程數(shù)據(jù)和最終結(jié)果等以一定的形式和順序列成表格。列表法的優(yōu)點是結(jié)構(gòu)緊湊、條目清晰，可以簡明地表示出有關(guān)物理量之間的對應(yīng)關(guān)系，便于分析比較、便于隨時檢查錯誤，易于尋找物理量之間的相互關(guān)系和變化規(guī)律。同時數(shù)據(jù)列表也是圖示法、解析法的數(shù)值基礎(chǔ)。列表的要求：1、簡單明了，便于看出有關(guān)量之間的關(guān)系，便于處理數(shù)據(jù)。2、必須

2、注明表中各符號所代表的物理量、單位。3、表中記錄的數(shù)據(jù)必須忠實于原始測量結(jié)果、符合有關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)則。應(yīng)正確地反映測量值的有效位數(shù)，尤其不允許忘記未位為“0”的有效數(shù)字。4、在表的上方應(yīng)當(dāng)寫出表的內(nèi)容（即表名）二、圖示法圖示法就是在專用的坐標(biāo)紙上將實驗數(shù)據(jù)之間的對應(yīng)關(guān)系描繪成圖線。通過圖線可直觀、形象地將物理量之間的對應(yīng)關(guān)系清楚地表示出來，它最能反映這些物理量之間的變化規(guī)律。而且圖線具有完整連續(xù)性，通過內(nèi)插、外延等方法可以找出它們之間對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，求得經(jīng)驗公式，探求物理量之間的變化規(guī)律；通過作圖還可以幫助我們發(fā)現(xiàn)測量中的失誤、不足與“壞值”，指導(dǎo)進(jìn)一步的實驗和測量。定量的圖線一般都是工程師和科

3、學(xué)工作者最感興趣的實驗結(jié)果表達(dá)形式之函數(shù)圖像可以直接由函數(shù)（圖示）記錄儀或示波器（加上攝影記錄）或計算機(jī)屏幕（打印機(jī)）畫出。但在物理教學(xué)實驗中，更多的是由列表所得的數(shù)值在坐標(biāo)紙上畫成。為了保證實驗的圖線達(dá)到“直觀、簡明、清晰、方便”，而且準(zhǔn)確度符合原始數(shù)據(jù)，由列表轉(zhuǎn)而畫成圖線時，應(yīng)遵從如下的步驟及要求：1、圖紙選擇依據(jù)物理量變化的特點和參數(shù)，先確定選用合適的坐標(biāo)紙，如直角坐標(biāo)紙、雙對數(shù)坐標(biāo)紙、單對數(shù)坐標(biāo)紙、極坐標(biāo)紙或其他坐標(biāo)紙等。原則上數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)字在圖中也應(yīng)可靠，數(shù)據(jù)中的可疑位在圖中應(yīng)是估計的，使從圖中讀到的有效數(shù)字位數(shù)與測量的讀數(shù)相當(dāng)。例如：作電阻R（C）與溫度T（C）的圖時，可以選用直

4、角坐標(biāo)紙或單對數(shù)坐標(biāo)紙作圖。選擇何種坐標(biāo)紙要看需要，若3套園電北的蠲信數(shù)黑禽后敷鼻的鹿忖報合圖）5曲線的外延與內(nèi)插要求從任一溫度值得到對應(yīng)的電阻值；或某點的電阻溫度系數(shù)，則用直角坐標(biāo)紙較為合適；若要計算半導(dǎo)體熱敏電阻Rt=加，中的常數(shù)A和B,則用單對數(shù)坐標(biāo)紙較為合適。2、定標(biāo)與分度合理選軸，正確分度，是一張圖做得好壞的關(guān)鍵，在習(xí)慣上常將自變量作橫坐標(biāo)軸（X軸），因變量作縱坐標(biāo)軸（Y軸）。在兩個變化的物理量中，究竟誰為自變量或因變量，應(yīng)根據(jù)實驗方法和數(shù)據(jù)特性來判斷。例如在上例中，我們可取溫度T為X軸,電阻R為Y軸。當(dāng)坐標(biāo)軸確定后，應(yīng)當(dāng)注明該軸所代表的物理量名稱的單位，還要在軸上均勻地標(biāo)明該物理量

5、的坐標(biāo)分度，在標(biāo)注坐標(biāo)分度時應(yīng)注意:（1）分度應(yīng)使每個點的坐標(biāo)值都能迅速方便地讀出。一般用一大格（1cnj）代表1、2、5、10個單位，因為這樣不僅標(biāo)點和讀數(shù)都比較方便，而且也不容易出錯。（2）坐標(biāo)的分度不一定從零開始，可以用低于原始數(shù)據(jù)最小值的某一個整數(shù)作為坐標(biāo)分度的起點，用高于測量數(shù)據(jù)的最大值的某一整數(shù)作為終點，兩軸的比例也不同。這樣，圖線尺可充滿所選用的圖紙。3、描點根據(jù)數(shù)表列的測量值，在坐標(biāo)系內(nèi)用削細(xì)的鉛筆逐個描上“黑”或其他準(zhǔn)確清晰的標(biāo)志。若在同一張圖上要標(biāo)志幾條不同的曲線，為區(qū)別不同的函數(shù)關(guān)系的點，可以用不同的符號作出標(biāo)記，如用“?！?、“+”等等，以示區(qū)別，并在適當(dāng)?shù)奈恢蒙献⒚鞲鞣?/p>

6、號代表的意義。注意，在描點時，交叉或中心點應(yīng)是數(shù)據(jù)的最佳值。4、聯(lián)線依照數(shù)據(jù)點體現(xiàn)的函數(shù)關(guān)系的總規(guī)律和測量要求，確定用何種曲線。若校準(zhǔn)電表，采用折線聯(lián)接每個測量點，而在大多數(shù)情況下，物理量在某一范圍內(nèi)連續(xù)變化，故采用光滑的直線或曲線。該曲線應(yīng)盡可能通過或接近大多數(shù)測量數(shù)據(jù)點，并使數(shù)據(jù)點盡可能均勻?qū)ΨQ地分布在曲線的兩側(cè)。對于個別大于3。的“錯值”或“壞值”可以舍去。5、曲線的內(nèi)插與外延在有經(jīng)驗、有把握的情況下，可以將實驗所得的圖線向著本次實驗數(shù)據(jù)范圍以外的區(qū)域(按原有的規(guī)律)延伸并且用虛線畫出，以區(qū)別范圍內(nèi)的圖線。如圖2-5所示。值得注意的是實驗圖線不能隨意延伸，不能認(rèn)為在某范圍內(nèi)得到的規(guī)律就可

7、以通用于另一范圍。例如金屬的電阻，溫度關(guān)系在極低溫度和高溫下并不是線性的，因此不能把室溫下測量的結(jié)果任意延伸到極低溫和高溫區(qū)域。任意延伸不但有風(fēng)險，而且這樣做的本身也是一種不實事求是的態(tài)度。6、坐標(biāo)變換某些函數(shù)關(guān)系是非線性的，不僅曲線不易畫準(zhǔn)確，而且也難以從曲線上得到物理量之間的函數(shù)關(guān)系。若能通過坐標(biāo)變換，使曲線變成直線，既降低了作圖的難度，更重要的是便于尋找物理量之間的函數(shù)關(guān)系，獲得經(jīng)驗公式。還以半導(dǎo)體的溫度曲線為例，將Y軸Rr(Q)變化為lnR(G),將X軸的T(C)變換為T-1(K-1)作圖，lnR<C)丁(K1)曲線為一直線。如圖2-6所示圖2-6a熱敏電阻的舟(Q)T曲線

8、67;M10005O&劉黛卻穿咖帶圖2-6a粉酸色限的RtT曲線0W4電Ml4VTiK')圖2-比熬觸電阻的InJMGAr】很叫曲線7、標(biāo)寫圖名在圖的下方書寫上完整的圖名，一般是將縱坐標(biāo)所代表的物理量寫在前面，橫軸所代表的物理量寫在后面。必要時，還應(yīng)在圖的下方或其他空白處，注明實驗條件或其它相關(guān)內(nèi)容，作出簡要的說明。三、圖解法利用圖示法得到物理量之間的關(guān)系圖線，采用解析方法得到與圖線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系一一經(jīng)驗公式的方法稱為圖解法。在物理實驗中，經(jīng)常遇到的圖線是直線、拋物線、雙曲線、指數(shù)曲線和對數(shù)曲線等，下面我們對以上各種情況分別進(jìn)行討論。1.直線方程設(shè)直線方程"州+&a

9、mp;,在直角坐標(biāo)紙上Y軸為縱軸，則a為此直線的斜率，b為直線的Y軸上的截距。要建立經(jīng)驗公式，則需求出a和b。(1)求斜率a：首先在畫好的直線上任取兩點，但不要相距太近，一般取靠近直線的兩端R(xi,yi),P(X2,y2),其x坐標(biāo)最好取整數(shù)。于是得出-一百(19)(2)求截距b：如果x軸的零點剛好在坐標(biāo)原點，則可直接從圖線上讀取截距b=y；否則可將直線上選出的點(如xi,y2)和斜率a代入方程，求得(20)2.非直線方程要想直接建立非直線方程的經(jīng)驗公式，往往是困難的。但是，直線是我們可以最精確繪制出的圖線，這樣就可以用變量替換法把非直線方程改為直線方程，再利用建立直線方程的辦法來求解，求出

10、未知常量，最后將確定了的求知常量代入原函數(shù)關(guān)系式中，即可得到非直線函數(shù)的經(jīng)驗公式。（見表2-3）表2-3常見的非線性函數(shù)變換為線性關(guān)系表原函數(shù)關(guān)系變換后的函數(shù)關(guān)系方程式求知常量方程式斜率截距l(xiāng)ogy=咕k+hg0r占loga五一丁二也a1#二QX0y-四一”覆力Iny=-ix+ln口-bInaoffkgy=akgblog瘋四、最小二乘法用圖解法固然可以求出經(jīng)驗公式，表示出相應(yīng)的物理規(guī)律，但是這種方法求出的有關(guān)常數(shù)比較粗略，圖表的表示往往不如用函數(shù)表示更準(zhǔn)確，因此，人們希望從實驗數(shù)據(jù)出發(fā)通過計算求出經(jīng)驗方程，這稱為方程的回歸問題。下面介紹一種處理數(shù)據(jù)的方法一一最小二乘法。1、方程的回歸方程的回歸

11、，首先要確定函數(shù)形式。一般可以根據(jù)理論的推斷或從實驗數(shù)據(jù)的變化趨勢來判斷。例如：根據(jù)數(shù)據(jù)推斷出測量數(shù)據(jù)X與Y為線性的函數(shù)關(guān)系，則可將其函數(shù)關(guān)系寫成下列形式：Y=a+bX（a,b為待定系數(shù)）若推斷測量數(shù)據(jù)的函數(shù)形式為指數(shù)函數(shù)關(guān)系，則可寫y二犯”+1（a,b,c為待定系數(shù)）若測量數(shù)據(jù)的函數(shù)關(guān)系不明確，則常用多項式來擬合，即y=%&2r+(21)式中ai,a2,a3,an均為待定系數(shù)。方程回歸的第二步就是要用測定的實驗數(shù)據(jù)來確定上述方程中的選定常數(shù)。第三步就是在選定系數(shù)確定之后，還必須驗證所得的結(jié)果是否合理，否則，需用其他的函數(shù)關(guān)系重新試探，只到合理為止。2、一元線性回歸（又稱直線擬合）一元

12、線性回歸是方程回歸中最簡單和基本的問題，在一元線性回歸中確定a和b,相當(dāng)于在作圖法中求直線的截距和斜率。假設(shè)測量值符合直線方程。Y=a+bX(22)則所測各y值與擬合直線上相應(yīng)的點入=+6%之間偏離的平方和為最小（即言!最?。?，故稱為最小二乘法。s二工點二ZS-n-胡)'彳二1"./2-11-L(23)凳QasC3%曲流s.,乙6=0,=0,S->0和y>o為求仁最小值，應(yīng)使班弗抵費(fèi)28Sda工db=把公式（23）分別對a和b求偏微分得-2£9-口-%)=。j_i(24)-2力3-金-煙)止。i-l-&=o£大四r£&

13、-b£w=。即Lj-1uli-1（25）為».二-神二Z&J-即=Z1M，工10I令工表示x的平均值，即：3表示y的平均值，即U1表示X2的平均值，即,怨_«疵二工工：,寸片超二N再M(fèi)z表示xy的平均值，即：i-1,代入公式（25）Jy-a-hx=0徨xy-ax-bx2=0.解方程得a=y-bxy（27）式中a和b分別為直線的截距和斜率。為了判斷擬合的結(jié)果是否合理，在求出待定系數(shù)后，還需要計算一下相關(guān)系數(shù)r。對于一元線性回歸，r的定義為：孫一了1了辰-）官-丁）(28)r值在0和1之間，r值越接近1,說明實驗數(shù)據(jù)點x和y的線性關(guān)系越好，用線性函數(shù)回歸是合適

14、的?？梢宰C明，斜率的標(biāo)準(zhǔn)差為:(29)截距的標(biāo)準(zhǔn)偏差為:(30)對于指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)的最小二乘法擬合，可以通過變量代換，變換成線性關(guān)系，再進(jìn)行擬合。也可以用計算器進(jìn)行相關(guān)的回歸計算，直接求解實驗方程?，F(xiàn)在市場上有很多函數(shù)計算器具有多種函數(shù)的回歸功能，操作方便。對更復(fù)雜一些的函數(shù)，可以自編程序或采用計算機(jī)作圖軟件來進(jìn)行擬合。五、逐差法當(dāng)自變量等間隔變化，而兩物理量之間呈線性關(guān)系時，我們除了采用圖解法、最小二乘法以外，還可采用逐差法。比如彈性模量測量中，在金屬絲彈性限度內(nèi)，每次加載質(zhì)量相等的整碼，測得光杠桿尺讀數(shù)m；然后再逐次減整碼,對應(yīng)地測量標(biāo)尺讀數(shù)r1,取ri和r1的平均值;。若求每

15、加（減）一個整碼引起讀數(shù)變化的平均值為匕,則有號施力駟eceJ(31)從上式看到，只有首末兩次讀數(shù)對結(jié)果有貢獻(xiàn)，失去了多次測量的好處。這兩次讀數(shù)誤差對測量結(jié)果的準(zhǔn)確度有很大影響。為了避免這種情況，平等地運(yùn)用各次測量值，可把它們按順序分成相等數(shù)量的兩組（ri,rp）和（rp+i,，5）,取兩組對應(yīng)項之差:%二年六廣二H，P，再求平均，即吟撲我）+-+向外(32)相應(yīng)地，它們對應(yīng)整碼質(zhì)量為5F+J-=阜，邛。這樣處理保了多次測量的優(yōu)越性。注意：逐差法求自變量等間隔變化而函數(shù)關(guān)系為線性。例如：彈性模量實驗數(shù)據(jù)如表2-4所示。表2-4負(fù)載與標(biāo)尺刻度變化之間的關(guān)系ii23456780.000.5001.

16、0001.5002.0002.5003.0003.500r.1mm90.0101.5112.5124.5135.3146.0158.0170.0r'lmm88.4100.0111.0122.8134.0147.6158.4170.0r.1mm89.2100.8111.8123.4134.6146.8158.2170.00=（加-彳）/用巾45.446.046.446.6叫=(而9-mlmm2.0002.0002.0002.000已知整碼質(zhì)量%=05°°土°。的曜。標(biāo)尺刻度不確定度為小=±03mrn。求標(biāo)尺讀數(shù)與整碼質(zhì)量之間的線性比例系數(shù)a解：將8

17、個數(shù)據(jù)分成兩組，j=1,2,3,4,f=L由上表數(shù)據(jù)知m=2.000kg.Fj=61小/q()=153加噸）0.53%i（i）=4能-r=-12義一濟(jì)僧=0一32加赭!J月J4以從F)二2=0.c3/0)=4(弓)+媼()=(0323+0,12)=0.1mm竺二郎上00017上C3a=23,05)tg/mm啊/；(b)+4(r)()_(0.322+0.12)20.00173(商46?2二空必+幽空二6%尸（46.1）24空色二0.0025,4=0.0025x2305=006加/幽喀7=(23,05+0.0Wm,產(chǎn)=068六、實驗結(jié)果正確表達(dá)表征一個物理量的三要素：有效數(shù)值、不確定度、單位(1)

18、測量結(jié)果有效位數(shù)由不確定度決定(2)實驗結(jié)果一般用不確定度或相對不確定度來表示測量的精度。(最好兩種表達(dá)式都給出)(3)實驗結(jié)果和單位一般采用國際單位制。根據(jù)所有的置信概率，測量結(jié)果的最終表達(dá)式為：y二讓場(單位)或y二滅i±4)(單位)(33)式中，為實驗結(jié)果的平均值。一般情況下P取0.683,可減寫為U；工程技術(shù)上常取置信度P=0.955,U一般取1位(特殊情況可以取2位)，實驗結(jié)果的平均值y的最后一位與不確定度的最后一位對齊。相對不確定度4取一位或兩位有效數(shù)字，用百分?jǐn)?shù)來表式。式中y,對于等精度多次測量的合成，y=y,是測量結(jié)果的算術(shù)平均值，必要時也可以與公認(rèn)標(biāo)準(zhǔn)值、或理論值進(jìn)行比較。對于均為單次測量的合成，公式可寫為：Y二土力(單位)Uy-其相對不確定度為'y,y是測量值，此時U=若待測物理量有公認(rèn)標(biāo)準(zhǔn)、或理論值,分母上的y可取公認(rèn)標(biāo)準(zhǔn)值Y標(biāo)、或理論值Y理，此時“二%一%或者。二%.I。表示測量值與公認(rèn)標(biāo)準(zhǔn)值Y標(biāo)、或理論值Y理比較，其相對不確定度的大小。練習(xí)題(1)請回答測量數(shù)據(jù)與數(shù)字的區(qū)別是什么？(2)在物理實驗中為何要計算不確定度？其意義何在？(3)何為A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度？何為B類不確定度？兩類不確定度有什么關(guān)系？(4)計算下列間接測量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度和相對不確定度。a）單擺的長度：Ej+百，其中