衍射理論基礎(chǔ)

1、第三章衍射理論基礎(chǔ)衍射是波動(dòng)在傳播途中遇到障礙物后所發(fā)生的偏離“直線傳播”的現(xiàn)象?！肮獾难苌洹币部梢越凶鳌肮獾睦@射”，就是光可以“繞過”障礙物而在某種程度上傳播到障礙物后面的陰影區(qū)。對(duì)于聲波和無線電波來說，由于它們的波長(zhǎng)較長(zhǎng)，在日常生活中可以很明顯地感覺到它們的衍射現(xiàn)象；而光的衍射現(xiàn)象，由于光的波長(zhǎng)較短，只有光通過很小的孔或狹縫時(shí)才能明顯地觀察到。光的衍射現(xiàn)象，按光源、衍射孔（或屏障）和觀察衍射的場(chǎng)三者之間的距離的大小，通常分為兩種類型：一種叫菲涅耳（FresneD衍射，這是光源和衍射場(chǎng)或二者之一到衍射孔的距離都比較小的情況；另一種叫夫瑯和費(fèi)（Fraunhofer-）衍射，這是光源與衍射場(chǎng)都在

2、離衍射物無限遠(yuǎn)處的情況。§3-1惠更斯-菲涅耳原理惠更斯（Huggens）原理是描述波的傳播過程的一個(gè)原理。如圖所示，設(shè)波源S在某一時(shí)刻的波陣面為2,2面上每一點(diǎn)都是一個(gè)次波源，發(fā)出球面波。次波源在隨后的某一時(shí)刻的包絡(luò)面形成一個(gè)新的波陣面力。波面的法線方向就是波的傳播方向。這就是惠更斯原理。只根據(jù)惠更斯原理是不能確定衍射花樣的分布的。菲涅爾在研究了光的干涉現(xiàn)象以后，考慮到次波來自同一光源，應(yīng)該相干，因而波陣面2上每一點(diǎn)的光振動(dòng)應(yīng)該是在光源和該點(diǎn)問任意一個(gè)波面上發(fā)出的次波疊加的結(jié)果。這樣用干涉理論補(bǔ)充的惠更斯原理叫作惠更斯-菲涅耳原理。據(jù)此我們可以建立一個(gè)單色波在傳播過程中兩個(gè)任意面上

3、光振動(dòng)分布之間的關(guān)系。我們現(xiàn)在來考察一個(gè)單色點(diǎn)光源M對(duì)于任意一點(diǎn)P的作用，如圖所示根據(jù)惠更斯-菲涅爾原理，光源M對(duì)P點(diǎn)的作用可以看成M與P之間的任一個(gè)波面2上各點(diǎn)所發(fā)出的次波在P點(diǎn)疊加的結(jié)果。如果我們不考慮時(shí)間因子e喝，單色點(diǎn)光源M在波面2上任一點(diǎn)Q產(chǎn)生的光振動(dòng)的復(fù)振幅可以表示為a0ekr/R(其中a0是離點(diǎn)光源M單位距離處的振幅，R是波面2的半徑)。在波面Q點(diǎn)取微元波面ds,則ds面元的次波源發(fā)出的次波在P點(diǎn)產(chǎn)生的復(fù)振幅可以表示為kRjkr.a0eedU(P)=K(u)-0dsRr式中r=QP,K(8)為傾斜因子，表示次波的振幅隨元波面法線和QP的夾角8而變(8稱衍射角)。按照菲涅爾的假設(shè)，

4、當(dāng)8=0時(shí)，K有最大值；隨著8的增大，K迅速減小，當(dāng)8學(xué)冗/2時(shí)，K=0O也就是說元波面法線和QP的夾角大于等于90°時(shí)，元波面對(duì)P點(diǎn)的振動(dòng)沒有貢獻(xiàn)。此時(shí)2波面有效部分在P點(diǎn)產(chǎn)生的光振動(dòng)的復(fù)振幅為jkRjkrU(P)=a.K()dsR二r這就是惠更斯-菲涅耳原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式。利用這一表達(dá)式原則上可以計(jì)算任意形狀開孔或屏障的衍射問題。但是上述積分在一般情況下計(jì)算起來很復(fù)雜，只有在某些簡(jiǎn)單的情況下才能精確求解。對(duì)于平面波，衍射屏處各點(diǎn)的復(fù)振幅都相同，記此振幅為A,則jkreU(P)=A-K(u)ds、-r若觀察屏離衍射屏很遠(yuǎn)，則8=0,K(8)=常數(shù)，所以對(duì)于平面波衍射又可近似為ejkr

5、U(P)=Ads-r§3-2基爾霍夫衍射公式利用惠更斯-菲涅耳衍射公式對(duì)一些簡(jiǎn)單形狀的開孔的衍射現(xiàn)象進(jìn)行計(jì)算，雖然算出的衍射光強(qiáng)分布與實(shí)際的結(jié)果符合的很好，但是菲涅耳衍射理論本身是不嚴(yán)格的。例如它勉強(qiáng)引入傾斜因子K(9),缺乏理論根據(jù)。菲涅耳原理的缺陷，可以由基爾霍夫(Kirchhoff)的衍射理論來彌補(bǔ)。一、基爾霍夫積分定理基爾霍夫衍射公式是用下面的方法推導(dǎo)的。因?yàn)楣獠ㄊ请姶挪?，其必然滿足波動(dòng)方程21；：2uu通過對(duì)波動(dòng)方程分離時(shí)間變量t,可以得到關(guān)于空間位置變量函數(shù)U(P)滿足的亥姆霍茲(Helmhotz)方程C2-k2)U=0而自由空間單色光的復(fù)振幅也只是空間位置變量的函數(shù)，所

6、以亥姆霍茲方程的解U一定就是自由空間單色光的復(fù)振幅?？梢杂酶窳侄ɡ砬蠼夂ツ坊羝澐匠?。格林定理說的是：兩個(gè)空間位置函數(shù)U(P)和G(P),如果它們的一階導(dǎo)數(shù)和二階偏導(dǎo)數(shù)在一個(gè)封閉面S內(nèi)部和封閉面S上各點(diǎn)是單值連續(xù)的，則有in(G2U-U'、2G)dV=(G-U-)dSVScncn式中上表示在S面上各點(diǎn)沿外法線方向的方向?qū)?shù)。這個(gè)定理給出了把空間位置函數(shù)n(G2U-U2G)的體積分變?yōu)槊娣e分的關(guān)系。如果我們適當(dāng)選取一個(gè)輔助函數(shù)G(P)(格林函數(shù))，就可以用格林定理解決上面的邊界值問題?；鶢柣舴蜻x擇的格林函數(shù)G(P)是以考察點(diǎn)P為中心的單位振幅的球面波的復(fù)振幅ejkr函數(shù)，即G(P)=。r其

7、中r表示空間任意點(diǎn)到P點(diǎn)的距離。由于r=0是G(P)的奇點(diǎn)，因此要正確應(yīng)用格林定理，必須使P點(diǎn)不包含在體積V內(nèi)。為此我們作一個(gè)以P為中心，e為半徑的小球面Sc這樣格林定理在由S和Sc包圍的體積內(nèi)成立，于是從而-U)dS；:n由于U(P)和G(P)都滿足亥姆霍茲方程，所以ill(G2U-U、2G)dV=(-Gk2UUk2G)dV=0-：UFG-(G-U)dS=0SS:n：:n、.(G3-U3)dS=-*G衛(wèi)-UH)dSS.二n二nS二n二n對(duì)于Sc,外法線方向指向球心，它與P點(diǎn)到Se面上的矢徑方向正好相反，所以:ejkr1ejkr.:n一(一)=(-jk)二rrrr在Se面上各點(diǎn)，r=E,所以:

8、Gjk-1e一十-jk)二n；對(duì)于U(P),因其自身和其偏導(dǎo)數(shù)在P點(diǎn)連續(xù)，所以e-0時(shí)U和蟲即是它們?cè)赑二n點(diǎn)的值，對(duì)于確定的P點(diǎn)，它們都是有限常量，這樣lim0：tS;i-U.nj曳n方nejk8比)ncn-G)dSzn-U1ejk，|p(-jk)一dS1ejk；2|p(-jk)一；d1-1=Wj號(hào)|p(ejk；-jkejk；9d,12G一)dS-nFU二-4二U(P)=(G-Us二n其中d?表示元立體角。所以1FUFGU(P)=(G-U)dS4二SfnfnS1ejkrU:ejkr二1U-()dS4二Sr；:n；:nr這樣，P點(diǎn)的復(fù)振幅U(P)可以由包圍P點(diǎn)的封閉曲面S上各點(diǎn)的U和四的值通過

9、jn積分求出，這個(gè)式子就叫基爾霍夫積分定理。從基爾霍夫積分定理的推導(dǎo)過程知道，它是根據(jù)波動(dòng)方程和格林定理得到的，在推導(dǎo)的過程中沒有引入假設(shè)或近似，所以它在理論上是嚴(yán)格的。平面衍射物的基爾霍夫積分公式雖然基爾霍夫積分定理具體地表達(dá)出惠更斯-菲涅耳原理的基本概念，但不同面元的貢獻(xiàn)所遵守的規(guī)律卻比菲涅耳所假定的要復(fù)雜的多。不過，基爾霍夫證明，在大多情況下，這一定理可以化為一種近似的、但是大大簡(jiǎn)化的形式，它和菲涅耳的數(shù)學(xué)表達(dá)基本相同，但是它同時(shí)還給出了菲涅耳理論中尚未確定的那個(gè)傾斜因子K(9。考慮從點(diǎn)源P0發(fā)出的一個(gè)單色波，它通過一個(gè)不透明平面屏的一個(gè)開孔，傳播到P<假定開孔的線度比波長(zhǎng)大，但比

10、Po和P到屏的距離都小的多。為求得P點(diǎn)的擾動(dòng)，我們圍繞P點(diǎn)作一個(gè)封閉面S,對(duì)它取基爾霍夫積分。封閉面S由三部分構(gòu)成(見圖)：開孔2;不透明屏的部分背照面Si；以P為中心R為半徑的大球的部分球面S2o這時(shí)，基爾霍夫積分定理就可以表示為1-:U；:GcU(P)(G-U-)dS4二S二n二nS7r4sn+工1sdCG加式中r是P點(diǎn)到面元dS的距離，表示沿積分面外法線方向的微商。：n這里我們碰到一個(gè)問題，就是如何確定XSi、S2面上的G、羽、U、空并將其njn代入上面的式子中。我們先看在S2面上的G、£目。因?yàn)閒njkR-eG(r)|*R-G(r):nrR“R)ejkR12二1三=(jk-1

11、)G(r)|r=(j-1)G(r)|步RRR當(dāng)RAA九時(shí)，則FG(r)；:n2_.八：jG(r)=jkG(r)|r小rzR,所以在S2面上，當(dāng)Ra九時(shí)(G衛(wèi)-U)dSS2二n二n二U=G(-jkU)dSS2：n=G(-jkU)R2dI?-；：nU=GR(-jkU)RdflneejkR(-jkU)Rd'?n。是S2面對(duì)P點(diǎn)所張的小于4冗的立體角。我們?cè)倏丛谂c面上的U、.。當(dāng)R刈寸，因?yàn)閁遠(yuǎn)離光源區(qū)域而無限小，從而二nlimU=0,limU-=0R-：R尸：.n但是這一條件并不能保證在R-oo時(shí),(包jkU)R也趨于0,從而也不能保證nUejkR(-jkU)RdC趨于0。為此我們需要用另外

12、的觀點(diǎn)分析這一積分趨于0的可能性。很明顯從物理上可以假定，光輻射場(chǎng)并非所有時(shí)刻都存在，而是從某特定時(shí)刻t0開始由波源所產(chǎn)生(當(dāng)然這一假定偏離了嚴(yán)格的單色性，我們?cè)诘谝徽碌睦}中已經(jīng)分析過有限長(zhǎng)的簡(jiǎn)諧波不是單色的)，于是在t>t0的任何時(shí)刻，光波場(chǎng)所充滿的空間區(qū)域的外邊界距光源中心P0的距離不超過c(t-t0)。因此如果R選擇的足夠大，使得我們?cè)谟懻揚(yáng)點(diǎn)的擾動(dòng)時(shí)刻，還不存在S2面上的U(R)(或者說U(R)=0),當(dāng)然也就不存在S2面上的U(R)對(duì)P點(diǎn)擾動(dòng)的貢獻(xiàn)。所以(G-U)dS=ejkR(-jkU)RdJ=0s2n：:n口；:n而R-ocfl寸,ejkR=cos(kR)+jsin(kR

13、)是一有限值，所以必有二U眄(-jkU)R=0上式我們稱之為索末菲輻射條件。實(shí)際上我們上面的分析就是在證明點(diǎn)光源的索末菲輻射條件。這樣P點(diǎn)的復(fù)振幅就變?yōu)閁(P)二.(G-U)dS4二Scncn1FU；G：.(GU)dS4丁s-n.nU由于不透明屏的遮擋，基爾霍夫假設(shè)，S1面對(duì)P點(diǎn)的振動(dòng)也沒有貢獻(xiàn)，即U、二n都等于零，所以一G)dS.n:G一)dS:n1；=UU(P)(G-U4二S：n=：.(G-U4二二1n在2面上，假定U、衛(wèi)的分布與屏不存在時(shí)相同，即完全由入射光波在2面的光二n場(chǎng)決定。根據(jù)下圖所示的角度關(guān)系，我們可以寫出jkre:G；:G1ejkr=cos(n,r)=cos(n,r)(jk-

14、).:n.:rjkre:jkcos(n,r)rr»九時(shí))其中cos(n,r)是P點(diǎn)到2面某一點(diǎn)的矢徑和該點(diǎn)外法線n夾角余弦。對(duì)位于P0的點(diǎn)光源，在Q點(diǎn)的復(fù)振幅為Acjkr0U=er0=cos(n,r0):n；:r1ejkr0=cos(n,ro)(jk-)Aejkr0jkcos(n,r0)其中cos(n,r0)是P0點(diǎn)到2面某一點(diǎn)的矢徑和該點(diǎn)外法線n夾角余弦。將上述各值代入基爾霍夫積分公式，得U(P)=(G-U)dS4二S二ncnS1；:U；:G.(G-U-)dS丁.ncn1ejkra“A”(jkcos(n4)e0jk-e0cos(n,r)4二二rr0r0Aejk(rr0)cos(n,

15、r)-cos(n,r0)二(dSj-rr°jkr)dSr1ejkr一.(U(Q)j'三rcos(n,r)-cos(n,r0)dS上式就成為菲涅耳-基爾霍夫衍射公式。U(Q)是點(diǎn)光源P0在2面Q點(diǎn)的復(fù)振幅。當(dāng)光源為近軸點(diǎn)光源且離衍射屏足夠遠(yuǎn)，r0與n的夾角接近180°,cos(n,r0)周-1,從而上式可以寫為U(P)=；0(U(qW1+co：(n,r)dSj九£r2雖然菲涅耳-基爾霍夫衍射公式是在點(diǎn)光源照明的情況下推導(dǎo)出來的，但是只要注意U(Q)是2面Q點(diǎn)的復(fù)振幅，其它光源的情況也是成立的。§3-3基爾霍夫衍射公式的討論和瑞利-索末菲衍射公式基爾

16、霍夫衍射公式的內(nèi)在矛盾基爾霍夫衍射公式可以給出與實(shí)際符合的很好的結(jié)果。然而這個(gè)公式在理論上存在著一些矛盾。這一矛盾主要由基爾霍夫假設(shè)的邊界條件違背了勢(shì)場(chǎng)定理引起。勢(shì)論中有一.、，一，.一，一二U,一這樣一個(gè)定理：如果三維波動(dòng)方程的一個(gè)解在任何非無限小的面元上U、都為零,二n則這個(gè)解一定在空間各處都為零。而基爾霍夫邊界條件假定：不透明屏后Si面上各點(diǎn)U、包都為零Fn開孔2面上各點(diǎn)，U、衛(wèi)的分布與屏不存在時(shí)相同二n顯然基爾霍夫邊界條件假定違背了勢(shì)論定理，是自相矛盾的，從而造成理論上的不自洽。二、瑞利-索末菲衍射公式基爾霍夫邊界條件假定在理論上自相矛盾，必須找出解決的辦法。為此索末菲選擇U.了與基爾

17、霍夫不同的格林函數(shù)，從而使邊界條件不必規(guī)定在屏后表面Si上U、?都為二n零，這樣就克服了基爾霍夫邊界條件假定在理論上的自相矛盾問題。1、格林函數(shù)的另一種選法索末菲選擇的格林函數(shù)是這樣的：其中一個(gè)球面波以觀察點(diǎn)P為中心，另一個(gè)的中心P'以衍射屏為對(duì)稱面對(duì)稱于P,這樣把格林函數(shù)記為jkrjkreeG_=rr2、瑞利-索末菲衍射公式這樣在滿足索末菲輻射條件的情況下，同樣U(P)=-1n(G.-U-)dS4三Si二n二nejkrejk廠二u由于在Si和2面上r=L,所以在Si和2面上G-0,所以不論出在rr；:nSi和2面上取何值，都有U(P)=；+m(-U2)dS4兀£s；肉要計(jì)算

18、上面的積分，索末菲規(guī)定了如下邊界條件:屏后表面Si上的U處處為零;開孔2面上的U與沒有衍射屏?xí)r相同。這樣索末菲邊界條件假定就克服了基爾霍夫邊界條件假定違背勢(shì)論定理的問題，使其在理論上自洽。此時(shí)U(P)=(七0)dSv_nejkr；ejkr'一.()-(-).nrnr二nr1、ejkr=cos(n,r)(jk-)rr1e=2cos(n,r)(jk-):G1-cos(n,r)(jk)rjkreFrjkrrrjkre:2jkcos(n,r)r(r>>九時(shí))所以_1一U(P)=1(-u)dS二n1ejkrU(Q)cos(n,r)dS三r式中的U(Q)仍然表示的是2面上的復(fù)振幅分布。

19、上式成為瑞利-索末菲衍射公式。1ejkr比較瑞利-索末菲衍射公式U(P)=1U(Q)cos(n,r)dS和菲涅耳-基爾霍夫衍j1三r1ejkr射公式U(P)=(U(Q)j'Trcos(n,r)-cos(n,r0)dS,可以看出，它們的差別僅在傾角因子不同。在近軸條件下，cos(n,r)=-cos(n,ro)=1,它們是一樣的。而通常要計(jì)算的衍射問題大都屬于近軸情況，所以在應(yīng)用中這兩種衍射公式是可以不加區(qū)別的3、討論基爾霍夫邊界條件的不自洽性，只是在嚴(yán)格的理論意義上是確實(shí)的，但在一定條件下，基爾霍夫邊界條件是近似成立的，比如說對(duì)無限大不透明屏上一定形狀的衍射孔2面的情況，基爾霍夫邊界條件

20、就基本符合實(shí)際。但是當(dāng)孔的線度比較U小(一個(gè)或幾個(gè)波長(zhǎng))，衍射物質(zhì)對(duì)2上U、£上的作用不可忽略。Fn瑞利-索末菲衍射公式并不一定比菲涅耳-基爾霍夫衍射公式應(yīng)用范圍更廣。選擇格林函數(shù)G-消除了基爾霍夫邊界條件的不自洽性，從理論上說是有意義的，但其邊界條件仍是在一定條件下對(duì)實(shí)際情況的近似描寫。瑞利-索末菲衍射公式與基爾霍夫衍射公式的差別僅在傾斜因子不同，哪個(gè)更正確有待進(jìn)一步討論。§3-4疊加積分和惠更斯-菲涅耳原理一.疊加積分瑞利-索末菲衍射公式與基爾霍夫衍射公式可以統(tǒng)一寫為1ejkrU(P)=U°(P)KdSj-r若令1ejkrh(Pi,P)-KjrU(P)=.Uo

21、(Pi)h(Pi,P)dSyh(Pi,P)的物理意義是：2面上的任意一點(diǎn)Pi,其復(fù)振幅為Uo(Pi),Pi點(diǎn)的小面元dS對(duì)觀察點(diǎn)P的貢獻(xiàn)為dU(P)=0(已川(巳尸)貝5,故h(P1，P)表示在Pi點(diǎn)有一單位脈沖(Uo(R)dS=i)時(shí)，在觀察面上得到的復(fù)振幅。所以h(R,P)也叫脈沖響應(yīng)。U(P)是2面上所有面元的光振動(dòng)在P點(diǎn)引起的復(fù)振幅的相干疊加，故稱疊加積分。若把衍射過程也看成一種變換，上式又是將Uo(Pi)變換成U(P)的變換式,這種系統(tǒng)由上按照“系統(tǒng)”的一般概念，衍射作用也可以等效為一種“系統(tǒng)”式描述，具顯然是線性系統(tǒng)，h(P1,P)表征了它的全部特性。二.疊加積分和惠更斯-菲涅耳原

22、理式的比較疊加積分是1ejkrU(P)=Uo(P)h(P,P)dS=JJUo(F1)K(0)dS三jZr惠更斯-菲涅耳原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式是ejkrU(P)=.TUo(Pi)K()dS比較上面兩個(gè)式子我們可以發(fā)現(xiàn)疊加積分和惠更斯-菲涅耳原理式的主要區(qū)別在于：1疊加積分中存在-=e2,說明dS在P點(diǎn)貢獻(xiàn)的復(fù)振幅，要比把dS看成是一個(gè)復(fù)jTT振幅為U0(R)dS的真實(shí)點(diǎn)光源在P點(diǎn)給出的復(fù)振幅位相超前二。這就解釋了菲涅耳2TT公式中沒能解釋的次波源的位相超前于入射波-的問題。2惠更斯-菲涅耳原理中K(9的具體形式應(yīng)當(dāng)為K(8)=C0S(n'r)-c0s(n,ro)(對(duì)基爾2霍夫衍射公式)，或K(

23、0)=cos(n,r)(對(duì)瑞利-索末菲衍射公式)?？梢钥闯鯧(。的取值范圍在0,1之間，K(4=0;而菲涅耳關(guān)于次波的假設(shè)K(2)=0顯然是不正確的。疊加積分中存在工，說明dS在P點(diǎn)貢獻(xiàn)的復(fù)振幅不僅與距離r成反比，還與波長(zhǎng)%成反比。這也是惠更斯-菲涅耳公式中不曾反映的。但是在實(shí)際的考察中，我們又發(fā)現(xiàn)疊加積分和惠更斯-菲涅耳原理式有很多一致的地方：若我們考察的是衍射光強(qiáng)分布，I=UU”,則次波源的位相超前于入射波土就不必2考慮，疊加積分和惠更斯-菲涅耳原理式得到的結(jié)果是一致的。若我們考察的是近軸情況，則K(0)=1,疊加積分和惠更斯-菲涅耳原理式得到的結(jié)果是一致的。若我們考察的是單色光，1的影響

24、就可忽略，疊加積分和惠更斯-菲涅耳原理式得到的結(jié)果又是一致的。§3-5衍射公式在頻率域中的表述在此之前，所有的衍射規(guī)律都是在空域中描述的，即1 ejkrU(P)=Uo(P)K(RdSj：r按照“系統(tǒng)”的觀點(diǎn)來研究衍射問題，即把系統(tǒng)的特征函數(shù)作為基元函數(shù)，將更為方便。這時(shí)將在空間頻率域上討論衍射問題。一.衍射現(xiàn)象在頻率域的描述建立如圖所示的坐標(biāo)系。屏前的復(fù)振幅用U前(x,y)表示，屏的復(fù)振幅透過率為t(x,y),屏后面的復(fù)振幅用U0(x,y,0)表示，觀察屏與衍射屏的距離為z,觀察屏上的復(fù)振幅為U(x,y,z),在空域中1二二小U(x,y,z)U0(x,y,0)K(u)dxdyj:工r

25、在頻率域中，U0(x,y,0)可以用其頻譜函數(shù)G0(fx,fy)表示，U(x,y,z)的頻譜函數(shù)為Gz(fx,fy)o由二維傅立葉變換J"T2"(fxfy)G0(fx,fy)=.U0(x,y,0)exydxdyJ'"-j2'(fxfy)Gz(fx,fy)=.U(x,y,z)exydxdy其傅立葉逆變換OOQOU0(x,y,0)=.G°(fx,fy)ej2-(fxxfyy)dfxdfyQOQOU(x,y,z)=,Gz(fx,fy)ej27fxxfyy)dfxdfy在所有無源點(diǎn)上，復(fù)振幅U必須滿足Helmhotz方程”2+k2)U=0,所以z

26、2,2j2-(fxxfy)八Gk)Gz(fx,fy)exy=0由于Gz(fx，fy)對(duì)空域坐標(biāo)僅是z的函數(shù)，所以將Gz(fx，fy)代入上面的方程，得d-.22.2.2一.2Gz(fx,fy)()1(fx)-(fy)Gz(fx,fy)=0dz,這是一個(gè)二階常系數(shù)齊次常微分方程，其解為j-z1二芯)2_(%)2Gz(fx,fy)=G0(fx,fy)e'其中G0(fx,fy)是z=0的特解，也就是衍射屏處的頻譜函數(shù)。至此我們建立起了頻譜函數(shù)Gz(fx,fy)與G0(fx,fy)的關(guān)系。.222頻譜函數(shù)Gz(fx,fy)=G0(fx,fy)e%"”"物理意義的討論:1-(

27、文)2"(fy)20Ncos二，cos沿z方向傳播的平面波可以表示為U(x,y)=U0ej2Rfxx/y)="3的(下、F),所以U0(x,y,0)=.G0(fx,fy)ej2：(fxxfyy)dfxdfy可以理解為在z=0處光場(chǎng)是由各種空間頻率的平面波疊加而成，而空間頻率為(fx,fy)的平面波的權(quán)重密度函數(shù)為G0(fx,fy),在傳播距離z后，在觀察面上的光場(chǎng)均由這些平面波疊加而成，權(quán)重密度G0(fx,fy)也不改變，只是位相改變了z-1-(/-fx)2-(Afy)2。1(fx)2(fy)20令k=yJ("x)2+(%)2-1,則j-：z1-(，fx)24&#

28、39;fy)2jz津，zGz(fx,fy)=G0(fx,fy)e'=G0(fx,fy)ejz.G0(fx,fy)ez可以看出，(fx,fy)所對(duì)應(yīng)的平面波分量Gz(fx,fy)隨著z的增大而呈指數(shù)急劇衰減，在傳播幾個(gè)波長(zhǎng)之后衰減為零這種波叫倏逝波(EvanescentWave。(參考羊國(guó)光高等光學(xué)§2.4)1-(fx)2-(fy)2=0此時(shí)Gz(fx,fy)=Go(fx,fy),相當(dāng)于傳播方向垂直于Z軸的平面波，因此它們?cè)赯軸方向的能流為零。二.傳遞函數(shù)和低通濾波器實(shí)際上)jkr1eU(x,y,z)U0(x,y,0)一K(u)dxdyj':工r和j-Z14fx)24f

29、y)2Gz(fx,fy)=G0(fx,fy)e'分別表示了系統(tǒng)的一種變換關(guān)系，一個(gè)是在空域中的，另一個(gè)是在頻域中的。顯然對(duì)頻域中的變換我們可以得到一個(gè)表征系統(tǒng)變換特征的傳遞函數(shù)H(fx,fy)=Gz(fx,fy)G0(fx,fy)jz14fx)24'fy)2二e,我們能得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)本身就說明了這個(gè)系統(tǒng)是線性空不變系統(tǒng)(傳遞函數(shù)理論只能適用于線性空不變系統(tǒng)，反之如果一個(gè)系統(tǒng)的變換作用具有傳遞函數(shù)，那么這個(gè)系統(tǒng)必是線性空不變系統(tǒng))。若傳播距離z大于幾個(gè)波長(zhǎng)，則倏逝波可以忽略，得到j(luò)-zyaZ,fy)2eH(fx,fy)=«012fx2fotherf2f1xother

30、所以.1|H(fx,fy)|二0這也就是說這個(gè)傳遞函數(shù)相當(dāng)于一個(gè)有限空頻帶寬的低通濾波器，只有11,11.，一一，.fx:二1或fy=,：二時(shí)，才能通過這個(gè)系統(tǒng)。在頻譜面上，這個(gè)濾波器是半徑為1的圓孔，即九1through(fx,fy)=circ(fx2f：)2三.頻率域中透過率函數(shù)的作用在空域中“(x,y,0)=U前(x,y)t(x,y)根據(jù)傅立葉變換的卷積定理，有G°(fx，fy,)=G前(fx，fy)T(fx，fy)對(duì)于用單位振幅的平面波垂直照射衍射屏的特殊情況，此時(shí)G前(fx,fy)=6(fx,fy)從而G°(fx,fy,)=、(fx,fy)T(fx,fy)=T(f

31、x,fy)所以通過衍射屏以后，頻譜由6函數(shù)變?yōu)榭讖胶瘮?shù)的傅立葉變換，頻譜變寬了?？讖皆叫。l譜展寬越厲害，這一點(diǎn)在下一章夫瑯和費(fèi)單縫衍射中看的很清楚。逖-6非單色光場(chǎng)的衍射公式復(fù)色光在空間一點(diǎn)P1的振動(dòng)，可以表示為空間變量和時(shí)間變量的復(fù)標(biāo)量函數(shù)u0(P1,t),求復(fù)色光的衍射場(chǎng)就是求在觀察點(diǎn)P的復(fù)標(biāo)量函數(shù)u(P,t)。一.準(zhǔn)單色光的衍射線寬Av比光波頻率V小的多的光波叫準(zhǔn)單色光。假設(shè)M是最大振幅頻率，準(zhǔn)單色光條件可以寫為Av«v我們對(duì)u°(P,t)的時(shí)間變量t作傅立葉變換，可以得到傅立葉變換對(duì)U0(Rj)=u0(,t)e-j27-dt皿QOu0(P,t)="(Pj

32、H2%、Uo(P1,V)就是光波的時(shí)間頻譜函數(shù)。令"'=¥,則oOU0(R,t)=JUo(p,-v)e2加dv'這樣我們就可以根據(jù)以前的約定，認(rèn)為Uo(Pi，t)是由頻率為V、振幅為Uo(Pi,V。的無數(shù)單色平面波的疊加。每一個(gè)單色光在P點(diǎn)的衍射光場(chǎng)復(fù)振幅可以表示為1ejkrU(P,.)=.Uo(Pi,-.)K(i)dSj,r其中九：k'分別表示頻率為5的光波的波長(zhǎng)和波數(shù)。對(duì)于所有頻率的光，某一時(shí)刻在P點(diǎn)光場(chǎng)復(fù)振幅則為cdu(P,t)=U(P,.)e27tdjkr=HUo(P,-v)K(6)dSedvf二J'三r-.K.-Uo(Pi,-)ej

33、kre-j27XtdvdS三jr二K(u)二42二-,(t).Uo(P,-)ecdvdS三jrc二對(duì)于準(zhǔn)單色光，可以認(rèn)為Vv,所以將其提到積分號(hào)外不會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生嚴(yán)重影響；但是對(duì)指數(shù)函數(shù)中的J是否可以看成為行必須十分慎重。如果r很大，則會(huì)引起足夠大的位相差。只有當(dāng)v'r<<1時(shí)，即<<二,=工時(shí)，其才不致引起明顯的位相差。我c們知道準(zhǔn)單色光的相干長(zhǎng)度為上，所以當(dāng)觀察點(diǎn)P離屏的距離r遠(yuǎn)小于準(zhǔn)單色光的相Av干長(zhǎng)度時(shí)，上面的式子可以近似為jkr二u(P,t)=JeKC)Uo(Pi,-.)e27MdvdSj三r二二1ejkr=Uo(Pi,t)KQ)dSjr上式便是準(zhǔn)單色光

34、的衍射公式。用準(zhǔn)單色光的復(fù)振幅表示也有相同的形式。它們與理想單色光的衍射公式具有完全相同的形式。二.非單色光的衍射非單色光的頻率范圍遠(yuǎn)大于準(zhǔn)單色光，在觀察點(diǎn)光振動(dòng)的表達(dá)式為u(P,t)=K)-Uo(P,->)ejkreJ2-dvdS三jrK(r)二2-(t)=二)U°(Pl)ecdvdS三jrc.-：:rK(r)-2：.(t=)=Kk2一j2二.Uo(Pi,-.)ecdvdS三2二rc_.：因?yàn)閞drd-J2?."(t-)-Uo(P,t)=-Uo(Pv)ecdv'dtcdt.二-j2-(t_r.)=-j2二.Uo(RL)ecd.將其代入觀察點(diǎn)光振動(dòng)的表達(dá)式，得

35、K(0)dru(P,t)=n-L2-uo(Pi,t)dsv2nrcdtcdK(9)r=下14u。(2t-)dSdtv2nrcc上式就是非單色光的衍射公式?？梢钥闯?，P點(diǎn)的光振動(dòng)是由2面上所有經(jīng)過延遲rr時(shí)間的光振動(dòng)疊加后對(duì)時(shí)間的變化率決定的。第三章習(xí)題解答（p92）1.證：設(shè)點(diǎn)光源發(fā)出的發(fā)散球面波的復(fù)振幅為jkRU=R則在以點(diǎn)光源所在位置為球心，以R為半徑的球面上所以FURim(百=limR；:U；:U.:n；R二（嗯）jkReR1人東事樂一jkUXRim.Njk)-jk-RRRjkRejkRe=lim=0一：R即點(diǎn)光源發(fā)出的發(fā)放球面波滿足索末菲輻射條件。2.解:（1）因?yàn)镚jkrejkr'JFr所以.G.:n-jkr.nr1一)=cos(n,r)(jk)jkr1-cos(n,r)(jk)rrjkreFr又因?yàn)镻,P'關(guān)于衍射屏鏡象對(duì)稱，所以r=r'，cos(n,r)=-cos(n,r),從而豆（士-n二nrsFjkr1、一)=cos(n,r)(jk-)ejkr1、cos(n