解三角形經(jīng)典例題及解答

1、正弦、余弦定理知識(shí)回憶:1、直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系：在 Rt ABC中，設(shè)BC=a, AC=b, AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有 a si nA，- sinB,又sinC 1 -，從ccc而在直角三角形ABC中，丄sin Absin Bcsin C2、當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義,有 Ct=asinB bsin A ,貝U ?b ，同理可得-sin A sinBsinCbsin B從而工 sin A sin B3、正弦定理：csin C在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的的比相等，即sin A sin B sinC4、理解定理1正弦

2、定理說明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù) k使a ks inA , , c ksi nC ;2 b 等價(jià)于si nA si nB si nC3正弦定理的根本作用為：cbacsin Csin B sin Asin C三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a竺吐sin Bb .三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值,女口 sin a asi nB ; sinC .b4一般地，三角形的某些邊和角，求其它的邊和角的過程叫作 解三角形.5、知識(shí)拓展absi nA si nB6、勾股定理：羸2R，其中2R為外接圓直徑.7、余弦定理：三角形中 平方等于減

3、去的兩倍，即a22；c8、余弦定理的推論：cos A ； cosB cosC 。9、 在 ABC中，假設(shè)a2 b2 c2,那么，反之成立；ABC中，假設(shè)a2 b2 c2,那么，反之成立;ABC中，假設(shè)a2 b2 c2,那么，反之成立；典型例題：例1、在 ABC中，A 45 , B 60 , a 42 cm,解三角形.求 cosB.例 2、 1在厶 ABC中， a=2, b= -2, c=例3、2在厶ABC中， a=3 3, c=23在厶ABC中，ABC 中，b解：t丄 sin B sinCc, B 60,B=150 求 b.a=8, b= 4 2、B=3 求 c.3,B60, c 1,求 a和

4、 A,Ccsin B 1 sin 600sin C3B,C為銳角,C 30,B90例4、ABC 中,、6,A 45,a2,求b和B,C解:sin A sinCsi nCcsin A 6 sin 4503當(dāng)C600 時(shí)，B750,bcsin B.6 sin75 sin 60031，sin C當(dāng)C1200 時(shí)，B150,bcsin B sin C6 sin150sin 600.31csi nA a c, C 600 或 12003 1,B750,C 600 或b 3 1,Bb150,C 1200例5、在厶ABC中，求證：-b2 2 2證明：彳將cosB c,2ac,cosB c(cos Abb2c

5、os A)a2 2c a2bc代入右邊2 2 .2 得右邊c( Ab22 2詁)2 22a 2b2abb2abb 左邊,證明： ABC是銳角三角形，- A B,即 A B 022 2sin A sin( B)，2即 sin AcosB ；同理sin BcosC ； sinCsin A sin B sin Ccos AcosB icosC例7、在厶ABC中，求證：sinA sin Bsin C, ABC4 cos cos cos o22 2證明：/ sin A sin B sin CA B2sinA cossin(AB)例6、sin A sin Bsin Ccos A cos B cosCcos

6、 A.a b, cosBc(-b a b在銳角 ABC中，求證:cos A22ABA BA BA B2si ncos-2sincos2222AB /A BA B、2si n(cos-cos)222CcAB2cos2cos cos222ABC4coscos cos 222ABCsi nAsin Bsin C4 cos coscos222例8 在厶ABC中,假設(shè)AB1200，那么求證:a b 1b c a c2 2證明：要證旦 i，只要證a竺上 bc i,b c a cab bc ac c口 rt 2,22,即 a b c ab而T A B 1200, C 6002 .2 2a b c ecu C

7、2 . 22oK2ab cos60 0abcos C,abc2ab cosouab2ab.原式成立。C例 9、在厶 ABC中，假設(shè) a cos2 ccos2A 3b，那么求證：a c 2b22 2證明：T a cos2 C c cos2 3b2 221 cosC1cos A3sin Bsi nAsin C 222即 sin A sin AcosC sinC sinCcosA 3sinB si nA sinC sin(A C) 3s in B即 si nA si nC 2s in B ,. a c 2b(a2 b2)s in (A B)，請(qǐng)判斷三角例 10、在ABC 中，假設(shè)(a2 b2)sin

8、(A B)形的形狀解:b2sin (A B) a2sin AcosB2 sinA解：2,2a bsin (A B) b2cosAs in B2 sinBcos Bsin A,sin 2Asi n2B,2A2B或 2A 2Bcos Asin B等腰或直角三角形例11、中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊,且2asinA (2b c)sin B (2c b)sinCI求A的大小；U假設(shè)sin B sin C 1，試判斷 ABC的形狀.解：I由，根據(jù)正弦定理得 2a2(2b c)b (2c b)c即 a2 b2 c2 bc由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosA1故 cos A , A 12

9、0U由I得 si n；2A si n2 B si n2C si nBsi nc.1又 sin B sinC 1，得 sin B sin C 2因?yàn)?0 B 90 ,0 C 90 ,故B C所以ABC是等腰的鈍角三角形。例 12、在 ABC內(nèi)接于半徑為 R的圓，且 2R(sin2 A sin2C)2a b)sinB,求厶ABC勺面積的最大值。解: 2Rsi nA si nA 2Rs in C si nC (、2a b)si n B,asinA csinC ( 2a b)sin B,a2 c2 、2ab b2,2ab,cosC2 . 2 2a b c2ab 2R,c 2RsinC 、2R,a2 b

10、2 2R2. 2ab,sin C2R2、2ab a2 b22ab,ab2_2R_2 2abs inC22Smax例13、ABC的三邊a b c 且 a c 2b, A C解: sin A sine 2sinB,2sin _ cos_C2 24sincos .B1A C2B14c . BB二sincos,cos ,sin B2sin cos22 24242243BBA C-,A CB,A,c 242423.33.c 萬1sin Asin(B)sincosBcos sinB444427 1sin Csin( B) si n cosB cos si nB444(77): 7: (7-.7)a : b

11、 :c sin A: sin B : sin C例14、C中，BC=a, AC=b, a, b是方程x2 2 3x 2 0的兩個(gè)根，且2cos(A+B)=1求1角C的度數(shù)2AB的長度3A ABC的面積解：1cosC=cos(A+B)= cos(A+B)=-2 C=1202由題設(shè):a b 2.3a b 2 AB=AC+BC 2AC?BC?osC a22b 2abcos120a2 b2 ab(a b)2ab (2_3)22 10 即 AB= 103Sk AB=absin C1absi n1202csin C課后小結(jié)：1. 正弦定理：sin A sinB2. 正弦定理的證明方法：三角函數(shù)的定義,還有

12、 等積法，外接圓法，向量法3 應(yīng)用正弦定理解三角形: 兩角和一邊； 兩邊和其中一邊的對(duì)角. 課后練習(xí)：選擇題1. 在 ABC中，假設(shè) C 90,a 6,B30，那么 c b等于A. 1 B .1 C . 2 3 D .2,32. 假設(shè)AABC的內(nèi)角，貝U以下函數(shù)中一定取正值的是A. si nA B . cos A1C. tan A D .tan A3. 在 ABC中，角代B均為銳角，且cosA sin B,那么厶ABC的形狀是A.直角三角形B .銳角三角形C .鈍角三角形D .等腰三角形4. 等腰三角形一腰上的高是.3，這條高與底邊的夾角為60，那么底邊長為A. 2 B25. 在 ABC中，假

13、設(shè)b 2a sin B，貝U A等于A. 300或 60 B . 450 或 60C . 1200或600 D . 300或 15006邊長為5,7,8的三角形的最大角與最小角的和是A . 900 B . 1200C. 1350 D . 1500二、填空題1 .在 Rt ABC中, C 900，那么 sin Asin B 的最大值是。2. 在厶 ABC中，假設(shè) a2 b2 be c2,那么A 。3. 在厶 ABC中，假設(shè) b 2, B 300,C 1350,那么a 。4 .在厶 ABC中，假設(shè) si nA : sin B : si nC 7 : 8 : 13，貝U C 。5.在厶 ABC中,

14、AB 40=AQ所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間，且QE=AE-AQ15. 過點(diǎn)E作EP BC于點(diǎn)P,那么EP為點(diǎn)E到直線BC的距離.在 Rt QPE 中，PE=QE- sin PQE QE sin AQC QE sin(45ABC) AC=155 3 5 7.cosABC2AB BC40所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域. 2 10課后練習(xí)： 5 101、 07山東如圖,甲船以每小時(shí)30 2海里的速度向正北方向航行,乙船按固定 13=3皿2 40 2 10 510從而 sin ABC 1 cos2 * ABC1010AQ= ABsin ABCsin (45 ABC)在ABQ中，由正弦定理得,問乙船每小時(shí)航行多少

15、海里？40.2北偏西120方向的B2處，此時(shí)兩船相距10 2海里,20解：如圖，連結(jié) AB2 , A B2 10、J 2 , A1A230.2 10 ：.； 2 ,60AA2B2 是等邊三角形，B1AB2 105 6045 , 在A1B2B1中，由余弦定理得EB2 AB； A1Bf 2A1B1 A1B2 cos45202 10血2 2 20 10/2 200 2昭 10.2.因此乙船的速度的大小為呼60 30血答：乙船每小時(shí)航行30 2海里.2、某一時(shí)刻，一架飛機(jī)在海面上空 C點(diǎn)處觀測到一人在海岸 A點(diǎn)處釣魚。從C 點(diǎn)處測得A的俯角為45;同一時(shí)刻，從A點(diǎn)處測得飛機(jī)在水中影子的俯角為 60o

16、海岸的高度為4米，求此時(shí)釣魚的人和飛機(jī)之間的距離結(jié)果保存整數(shù)。解：在中 t ABC ，BC AB tan 45/c在中t ABG ，BG ABtan60ADA B tan 60 ABta n458AB 4 4曠GAC4 24,63、人民海關(guān)緝私巡邏艇在東海海域執(zhí)行巡邏任務(wù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)在其所處位置 O點(diǎn)的 正北方向10海里處的A點(diǎn)有一涉嫌走私船只正以24海里/小時(shí)的速度向正東方 向航行。為迅速實(shí)驗(yàn)檢查，巡邏艇調(diào)整好航向，以 26海里/小時(shí)的速度追趕，在 涉嫌船只不改變航向和航速的前提下，問1需要幾小時(shí)才能追上？點(diǎn) B為 追上時(shí)的位置2確定巡邏艇的追趕方向精確到 01如圖4參考數(shù)據(jù):sin 66.80.9191,cos66.80.3939sin 67.40.9231,cos67.40.3846sin 68.40.9298,cos68.40.3681sin 70.6