錐體側(cè)面展開的參數(shù)方程法及其GeoGebra制圖

1、錐體側(cè)面展開的參數(shù)方程法及其GeoGebra制圖UsingGeoGebra3Dexploretheparametricequationoftheflankofthecone，theexpansiongraphofflankoftheconeisgainedwiththetorusoftheparametricequationofamethod，eventuallyintheplotareaoftheGeoGebra3Dcompletedmappingprocess.Onthisbasis，promotiontotheexpansionorthesideofthepyramiddiagramdr

2、awing.metricequation1 前言文獻(xiàn)1“1.3.1立體幾何的表面積和體積”中，圖1-3-1、圖1-3-2、圖1-3-5分別展示了直棱柱、正棱錐、圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖。筆者利用參數(shù)方程在GeoGebra中制作出動(dòng)態(tài)展開圖，以便直觀地呈現(xiàn)這些結(jié)論。本文論述錐體側(cè)面展開圖的一種方法的推導(dǎo)過程及GeoGebra指令如下，請(qǐng)各位同行指正。2 圓錐側(cè)面參數(shù)方程的推導(dǎo)雖然在GeoGebra中有繪制圓錐的3個(gè)指令，但要單獨(dú)繪制其側(cè)面需另辟蹊徑。在如圖1所示圓錐中，設(shè)底面OO的半徑為r,高為h,與底面平行且距離為t的平面截圓錐側(cè)面得到OO,?t其半徑。故OO上，即圓錐側(cè)面上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為：

3、由此可得圓錐側(cè)面的GeoGebra指令：曲面r*(1-t/h)*cos(8),r*(1-t/h)*sin(8),t,t,0,h,8,0，2pi。參數(shù)r和h自動(dòng)生成滑竿，然后根據(jù)需要手動(dòng)設(shè)置其屬性。3圓錐側(cè)面展開圖參數(shù)方程的推導(dǎo)筆者所作圓錐側(cè)面展開圖基本思路是：圓錐底面00沿過其與y軸負(fù)半軸交點(diǎn)且平行于x軸的直線旋轉(zhuǎn)得到OO',構(gòu)造動(dòng)圓錐SO,00的周長與OO'的一段圓弧長相等，完全展開至O與頂點(diǎn)S重合。這里需用到一個(gè)結(jié)論：圓心(x0，y0，z0)，半徑為r的圓，繞著與x軸平行的直線旋轉(zhuǎn)a所得的圓的參數(shù)方程為：其中參數(shù)0W802兀。證明從略。本文中，圓錐的母線SA長，母線與底面的

4、夾角。若00旋轉(zhuǎn)到OO'的角度為a,令B=丫-a,則母線在OO'的射影AO,即OO'的半徑r'=lcosB。止匕時(shí)，O的坐標(biāo)(x0,y0,z0)中，x0=0,y0=lcosBcos民-r,z0=lcosBsina。在OO'中，等于底面圓周長的弧所對(duì)的圓心角為。所以O(shè)O'中動(dòng)圓圓弧的參數(shù)方程為：其中參數(shù)。由此可得動(dòng)圓O的GeoGebra指令：曲線sqrt(rA2+hA2)*cos(atan(h/r)-a)*cos(8),sqrt(r八2+八八2)*cos(atan(h/r)-a)*cos(a)*(1+sin(8)-r,sqrt(rA2+hA2)*c

5、os(atan(h/r)-a)*sin(a)*(1+sin(8),8,-pi/2,* pi/2+2pi*r/(sqrt(八2+八八2)*cos(atan(h/r)-a)。運(yùn)行效果如圖2所示。設(shè)與OO'平行的平面截圓錐SO得OQ交母線SA于點(diǎn)C,令SC=l'。點(diǎn)C的坐標(biāo)為xC=0,yC=(l-l')cosy-r,zC=(l-l')sin丫oOQ半徑CQ=l'cosBo圓錐SQ的高SQ=l'sinB。圓心Q的坐標(biāo)為xQ=0,yQ=l-l')cos丫+l'cosBcosa-r,zQ=(l-l')sin丫+l'cos(3s

6、in民。所以，OQ中平行于OO的圓弧的參數(shù)方程為：由此可得OO側(cè)面展開的GeoGebra指令：曲面t*cos(atan(h/r)-a)*cos(8),(sqrt(r八2+八八2)-t)* cos(atan(h/r)+t*cos(atan(h/r)-a)*cos(a)*(1+sin(8)-r,(sqrt(r八2+八八2)-t)*sin(atan(h/r)+t*cos(atan(h/r)-a)* sin(a)*(1+sin(8),t,0,sqrt(八2+八八2),8,-pi/2,* pi/2+2pi*r/(sqrt(八2+八八2)*cos(atan(h/r)-a)。運(yùn)行效果如圖3所示。其中側(cè)面展開

7、圖張合的程度由滑竿參數(shù)a調(diào)節(jié)控制。4正棱錐側(cè)面展開圖的制作如果將底面圓弧的圓心角進(jìn)行等分，則可以利用序列指令做出正棱錐的側(cè)面展開圖。棱錐底面點(diǎn)列指令為：序列(sqrt(r?+h?)*cos(atan(h/r)-a)*cos(-兀)/2+i*2兀*r/(n*sqrt(r?+h?)*cos(atan(h/r)-a),sqrt(r?+h?)*cos(atan(h/r)-a)*cos(a)*(1+sin(-兀)/2+i*2兀*r/(n*sqrt(r?+h?)*cos(atan(h/r)-a)-r,sqrt(r?+h?)*cos(atan(h/r)-a)*sin(a)*(1+sin(-兀)/2+i*2兀*r/(n*sqrt(r?+h?)*cos(atan(h/r)-a),i，0，n。正棱錐側(cè)面三角形序列指令為：序列多邊形S，元素正棱錐底面點(diǎn)列，i，元素正棱錐底面點(diǎn)列，i+1，i，1，n。正棱錐指令為：棱錐多邊形序列(r*cos(-兀)/2+i*2兀/n),r*sin(-兀)/2+i*2兀/n),i,0,n-,S。運(yùn)行效果如圖4所示。同樣，側(cè)面展開圖張合的程度由滑竿參數(shù)a調(diào)節(jié)控制。5結(jié)語在G