空間直線的方向向量及平面的法向量

1、2021/3/912021/3/921、空間直線的方向向量ld 平行的非零與直線向量C1D1B1A1CDABzxyO1AC例：直線的方向向量1A (1,0,1)C(0,1,0)d ( 1,1, 1)空間直線的方向向量和平面的法向量空間直線的方向向量和平面的法向量2021/3/932、平面的法向量n和平面 垂所直直在線的向量zxyOoFEC1D1B1A1CDAB11114,.ABCDABCDEFBEFn已知：正方體的邊長(zhǎng)為是中點(diǎn)， 是四分點(diǎn)，求平面的法向量B (4,4,0) E (4,2,4) F (3,4,4)BE (0, 2,4)BF ( 1,0,4)nBE nBF ( , , )nm n

2、k設(shè)240nk40mk1k 令4m2nn(4,2,1)2021/3/941基礎(chǔ)命題兩條直線平行或重合方向向它們的量互相平行2基礎(chǔ)命題一條直線與一個(gè)平面平行或在一個(gè)平面內(nèi)這條直線的垂直于該平面方向向量的法向量3基礎(chǔ)命題兩個(gè)平面平行或重合它們的法向量互相平行.三個(gè)基礎(chǔ)命題三個(gè)基礎(chǔ)命題2021/3/95MNLB1C1A1BCAzxyO解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.ABCMNBBACNMBCACACBCBAABC平平面面的的中中點(diǎn)點(diǎn)，求求證證分分別別是是中中，例例：在在直直三三棱棱柱柱/:,1111190MN,cCCaAC221設(shè)設(shè)),(),(),(),(),(),(caBcaAcCaBaAC2202

3、02200020002000111則則),(),(),(02200aaMNcaNcaM),(100nABC的的一一個(gè)個(gè)法法向向量量為為易易知知平平面面ABCMNnMN平面平面/02021/3/96EFC1D1B1CDABA1zxyO解： 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.FDADAECDBBFEABDCBAABCD11111114平面平面平面平面的中點(diǎn)，求證的中點(diǎn)，求證分別是分別是中，中，例：在正方體例：在正方體:,EF),(),(),(),(),(),(),(),(4444404044000440400040001111BCADBCAD則則),(),(020244FE,),(zyxnADE1的的一一

4、個(gè)個(gè)法法向向量量為為設(shè)設(shè)平平面面),(),(244004DEDA024404011zyxxDEnDAn),(,21011ny令令,),(120211nFDA的的一一個(gè)個(gè)法法向向量量為為同同理理可可得得平平面面FDAADEnnnn1121210平平面面平平面面2021/3/97111111111154,4,8, ,.ABCDABC DABADAAE FAB DDEFABC、如圖，在長(zhǎng)方體中，分別為的中點(diǎn)，求：直線和平面所成角的大小EFC1D1B1CDABA1zxyO解： 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.1A (4,0,8) B (4,4,0)1C(0,4,8)1AB (0,4, 8)1BC ( 4,0

5、,8)11.ABCn設(shè)平面的法向量為1nAB1nBC ( , , )nm n k設(shè)480nk480mk1k 令mn22(2,2,1)nEF ( 4, 2, 4) E (4,2,8) F (0,0,4),EF n 設(shè)的夾角為cos|EF nEF n 8911EFABC設(shè)直線和平面所成角為sin|cos|8911EFABC直線和平面所成角為8arcsin92021/3/98111111111164,4,8, ,.ABCDABC DABADAAE FAB DDABCC、如圖，在長(zhǎng)方體中，分別為的中點(diǎn)，求：二面角的大小C1D1B1CDABA1解： 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.zxyO1A (4,0,8)

6、 B (4,4,0)1C(0,4,8)1AB (0,4, 8)1BC ( 4,0,8)11.ABCn設(shè)平面的法向量為1nAB1nBC ( , , )nm n k設(shè)480nk480mk1k 令mn22(2,2,1)n11nBCC平面的法向量為(0,1,0)1, n n 設(shè)的夾角為cos11|n nn n 231ABCC二面角的大小為2arccos32021/3/991111111111174,4,8, ,ABCDABC DABADAAE FAB DDBABC、如圖，在長(zhǎng)方體中，分別為的中點(diǎn)，求：點(diǎn) 到平面的距離.C1D1B1CDABA1解： 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.zxyO1A (4,0,8)

7、 B (4,4,0)1C(0,4,8)1AB (0,4, 8)1BC ( 4,0,8)11.ABCn設(shè)平面的法向量為1nAB1nBC ( , , )nm n k設(shè)480nk480mk1k 令mn22(2,2,1)n1B (4,4,8)1BB (0,0,8)11BABCd點(diǎn) 到平面的距離1|n BBn 832021/3/91011,2,3,.ABCDABACADABACADABCD、已知三棱錐的三條側(cè)棱、兩兩垂直，且求頂點(diǎn) 到平面的距離DCAB解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.zxyOA(0,0,0) B(1,0,0) C (0,2,0) D(0,0,3)BD ( 1,0,3)BC ( 1,2,0).BCDn設(shè)平面的法向量為nBD nBC