15.5幾何體的體積

1、立體幾何第二講簡(jiǎn)單幾何體北外田園高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)組 熊鷹 學(xué)習(xí)內(nèi)容： 本章內(nèi)容是簡(jiǎn)單幾何體中常見(jiàn)的棱柱、棱錐和球的概念性質(zhì)及面積、體積的計(jì)算.它是建立在第一章線面關(guān)系和兩個(gè)體積公理的基礎(chǔ)上研究上述幾何體的性質(zhì)及體積公式的。 學(xué)習(xí)要求： 熟練掌握上述幾何體的性質(zhì)并能靈活運(yùn)用這些性質(zhì)和第一章的有關(guān)知識(shí)，判定這些幾何體中的線面關(guān)系，進(jìn)一步鞏固和加深對(duì)線面關(guān)系的理解，提高空間想象，邏輯思維和計(jì)算能力。 學(xué)習(xí)指導(dǎo)： 本章在學(xué)習(xí)中要靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想、函數(shù)與方程的思想。 轉(zhuǎn)化思想：把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題；運(yùn)用切割與組合的思想，把一個(gè)復(fù)雜的幾何體轉(zhuǎn)化為幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何體；運(yùn)用等積法化難為易。 函數(shù)與方程思想：把

2、面積體積公式看成函數(shù)表達(dá)式，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)去研究問(wèn)題；把體積面積公式看作列方程和方程組的等量關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題。棱柱棱柱概念性質(zhì)斜棱柱直棱柱正棱柱*其他棱柱側(cè)面積 體積lcschs直斜直=hsv底柱=注：四棱柱-平行六面體-直平行六體- 長(zhǎng)方體-正四棱柱-正方體棱錐概念性質(zhì)側(cè)面積正棱錐*一般棱錐21chs=正一般棱錐側(cè)面積求各面面積之和體積shv31=錐注：解題中應(yīng)靈活運(yùn)用三棱錐（可以任意換底）的特殊性，處理問(wèn)題。多面體定義體積*(轉(zhuǎn)化思想)分類(lèi)四面體、五面體等凸（凹）多面體等歐拉公式:2=EFV球定義截面性質(zhì)表面積體積.o orRd4=S2R34=V3R222rRd=極限思想二典型例題解析與規(guī)律方

3、法技巧總結(jié)例、設(shè)有三個(gè)命題：甲：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體。乙：底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體。丙：直四棱柱是直平行六面體。以上命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）(A) 0 (B) 1 (C ) 2 (D) 3此題為年全國(guó)高考題，答案為B.例2、如圖，圓錐形容器高為h底面平行于水平面，錐頂朝上放置，內(nèi)部裝有水面高度為h/3的水，現(xiàn)將圓錐倒置，使錐頂朝正下方向，此時(shí)容器內(nèi)的水面高度為（ ）h?3h答案為h3193例如圖：這是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，若將其折回正方體，則有下列命題：(1點(diǎn)H與點(diǎn)C重合(2)點(diǎn)D與M,R點(diǎn)重合(3)點(diǎn)B與點(diǎn)Q重合(4)點(diǎn)A與點(diǎn)S重合其中正確的是（）ABCDEFGHNMPQ

4、RS答案：（）（）例4、在正三棱錐 A-BCD中，E,F分別是AB,BC中點(diǎn)，EF DE且BC=1則正三棱錐A-BCD的體積是ABCDEF分析：此題容易忽略正三棱錐固有的隱含條件：對(duì)棱垂直即AC BD。再由平行關(guān)系可得AC 面ABD，故該正三棱錐三條側(cè)棱兩兩互相垂直，解得體積為242例5、正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng),并且總保持AP BD1則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是( )(A) 線段 B1C (B)線段 BC1 (C) BB1中點(diǎn)與CC1中點(diǎn)連成的線段 (D) BC 中點(diǎn)與B1C1中點(diǎn)連成的線段 ABCDA1B1C1D1P解析：AP在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中總保持與B

5、C1垂直，說(shuō)明BD1可能垂直于點(diǎn)A所在的平面，由此聯(lián)想到與正方體體對(duì)角線垂直的平面ACB1，即點(diǎn)P在B1C上運(yùn)動(dòng)時(shí)滿足題意。故選A.例6、如圖已知多面體ABC-DEFG中，AB,AC,AD兩兩互相垂直，平面ABC 平面DEFG,平面BEF 平面ADGCAB=AD=DG=2,AC=EF=1,則該多面體的體積為分析：可將該多面體如圖1分割成兩個(gè)四棱錐求體積之和。ABCDEFG圖1還可將其如圖2所示分成兩個(gè)三棱柱求體積之和。ABCDEFG圖2M答案：4111CBAABC 例7、如圖，已知 是正三棱柱，D是AC中點(diǎn)（）證明： 平面（）假設(shè) 求以 為棱, 與 為 面的二面角的度數(shù)。1AB1DBC1BC1

6、AB1BC1DBC1CBCABC1A1B1CD分析：(1)問(wèn)的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到與平行的線。由已知D是中點(diǎn)想到利用中位線來(lái)找平行線。連接則DE即可。1DBC1ABCB1EFABC1A1B1CDE分析（）問(wèn)的關(guān)鍵是找到二面角的平面角，找平面角的方法是三垂線法。作DF BC,則DF 平面 ,連接EF，則EF是ED 在平面上的射影。 根據(jù)三垂線定理的逆定理，得CCBB11CCBB111AB1BC1ABDEDE1BCEF1BCDEF是二面角的平面角。放在三角形中解得的結(jié)果是045例8、如圖四棱錐P-ABCD中，底面四邊形為正方形，側(cè)面PDC為正三角形，且平面PDC 底面ABCD，E為PC中點(diǎn)。（1）求

7、證：PA 面EDB.（2）求證：平面EDB 平面PBC.（3）求二面角D-PB-C的正切值。ABCPEDO證1：連接AC交BD于O易證PA EO,(1)問(wèn)得證(2)問(wèn)的關(guān)鍵是在一個(gè)面內(nèi)找到另一個(gè)面的垂線,由于要尋找垂直條件故應(yīng)從已知與垂直有關(guān)的條件入手,突破此問(wèn).因?yàn)锽C CD所以BC 面PDC 所以 BC DE又因?yàn)镋是中點(diǎn)所以 DE PC.綜上 有DE 面PBC.ABCPEDF(3)問(wèn)的關(guān)鍵是找到二面角的平面角上問(wèn)知DE 面PBC,所以過(guò)E做EF PB,連接FD,由三垂線定理知 DEF為二面角平面角.將平面角放在直角三角形中可解得正切值為.6練習(xí)1 已知平面及以下三個(gè)幾何體：（）長(zhǎng)寬高皆不

8、相等的長(zhǎng)方體。（）底面為平行四邊形但不是矩形和菱形四棱柱。（）正四面體這三個(gè)幾何體在平面上的射影可以是正方形的幾何體是（）三、鞏固與練習(xí)三、鞏固與練習(xí):答案為：1，2，3練2、 三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V，P為側(cè)棱BB1上 的 任意一點(diǎn)，四棱錐P-ACC1A1的體積為V1，則V1:V=ABCPA1B1C1分析：此題需將四棱錐的體積轉(zhuǎn)化為柱體體積與兩個(gè)三棱錐體積之差求解。答案：2：3練3、已知長(zhǎng)方體的全面積為，十二條棱長(zhǎng)度之和為，則這個(gè)長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)為（）解題關(guān)鍵：整體性思維答案：111CBAABC ;練4、如圖，已知 是正三棱柱，D是AC中點(diǎn)（）證明： 平面（）假設(shè) 求以 為棱

9、, 與 為 面的二面角的度數(shù)。1AB1DBC1BC1AB1BC1DBC1CBC;練5、在一個(gè)倒置的正三棱錐容器內(nèi)，放入一個(gè)鋼球，鋼球恰與此三棱錐的四個(gè)面都接觸，按這三棱錐的一條側(cè)棱和高做截面，正確的截面圖形是（ ）ABCD答案D練6、已知;四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形,PO 底面ABCD,若PD=6,M,N分別是PB,AB的中點(diǎn).(1)求三棱錐P-DMN的體積.(2)求二面角M-DN-C的大小.ABCDPMN(1)問(wèn)體現(xiàn)了三棱錐體積求法的靈活性解法較多。結(jié)果為4。（2）問(wèn)二面角正切值253練習(xí)7、正方體中BE=DF,截面AEGF交CC1于G,且與底面 ABCD成的二面角，AB=1則以ABCDEFG為頂點(diǎn)的多面體體積是ABCDEFGA1B1C1D1求不規(guī)則多面體體積的基本思想是將其轉(zhuǎn)化成我們熟悉的柱體或錐體求解。轉(zhuǎn)化的手段或割或補(bǔ)。此題割補(bǔ)均可獲解。法1、如圖將多面體體積轉(zhuǎn)化為大三棱錐與兩個(gè)小三棱錐體積之差求解。ABCDEFGA1B1C1D1MNABCDEFGA1B1C1D1法2、如圖可將多面體分成兩個(gè)等體積的四棱錐而后求解較法1更為簡(jiǎn)捷。MN法3、如圖，由對(duì)稱性還可以將該多面體補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，且該長(zhǎng)方體體積為多面體體積的兩