15.5幾何體的體積

1、立體幾何第二講簡單幾何體北外田園高級中學數(shù)學組 熊鷹 學習內(nèi)容： 本章內(nèi)容是簡單幾何體中常見的棱柱、棱錐和球的概念性質(zhì)及面積、體積的計算.它是建立在第一章線面關系和兩個體積公理的基礎上研究上述幾何體的性質(zhì)及體積公式的。 學習要求： 熟練掌握上述幾何體的性質(zhì)并能靈活運用這些性質(zhì)和第一章的有關知識，判定這些幾何體中的線面關系，進一步鞏固和加深對線面關系的理解，提高空間想象，邏輯思維和計算能力。 學習指導： 本章在學習中要靈活運用轉(zhuǎn)化的思想、函數(shù)與方程的思想。 轉(zhuǎn)化思想：把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題；運用切割與組合的思想，把一個復雜的幾何體轉(zhuǎn)化為幾個簡單的幾何體；運用等積法化難為易。 函數(shù)與方程思想：把

2、面積體積公式看成函數(shù)表達式，運用函數(shù)性質(zhì)去研究問題；把體積面積公式看作列方程和方程組的等量關系來解決問題。棱柱棱柱概念性質(zhì)斜棱柱直棱柱正棱柱*其他棱柱側(cè)面積 體積lcschs直斜直=hsv底柱=注：四棱柱-平行六面體-直平行六體- 長方體-正四棱柱-正方體棱錐概念性質(zhì)側(cè)面積正棱錐*一般棱錐21chs=正一般棱錐側(cè)面積求各面面積之和體積shv31=錐注：解題中應靈活運用三棱錐（可以任意換底）的特殊性，處理問題。多面體定義體積*(轉(zhuǎn)化思想)分類四面體、五面體等凸（凹）多面體等歐拉公式:2=EFV球定義截面性質(zhì)表面積體積.o orRd4=S2R34=V3R222rRd=極限思想二典型例題解析與規(guī)律方

3、法技巧總結(jié)例、設有三個命題：甲：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體。乙：底面是矩形的平行六面體是長方體。丙：直四棱柱是直平行六面體。以上命題中真命題的個數(shù)是（）(A) 0 (B) 1 (C ) 2 (D) 3此題為年全國高考題，答案為B.例2、如圖，圓錐形容器高為h底面平行于水平面，錐頂朝上放置，內(nèi)部裝有水面高度為h/3的水，現(xiàn)將圓錐倒置，使錐頂朝正下方向，此時容器內(nèi)的水面高度為（ ）h?3h答案為h3193例如圖：這是一個正方體的展開圖，若將其折回正方體，則有下列命題：(1點H與點C重合(2)點D與M,R點重合(3)點B與點Q重合(4)點A與點S重合其中正確的是（）ABCDEFGHNMPQ

4、RS答案：（）（）例4、在正三棱錐 A-BCD中，E,F分別是AB,BC中點，EF DE且BC=1則正三棱錐A-BCD的體積是ABCDEF分析：此題容易忽略正三棱錐固有的隱含條件：對棱垂直即AC BD。再由平行關系可得AC 面ABD，故該正三棱錐三條側(cè)棱兩兩互相垂直，解得體積為242例5、正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動,并且總保持AP BD1則動點P的軌跡是( )(A) 線段 B1C (B)線段 BC1 (C) BB1中點與CC1中點連成的線段 (D) BC 中點與B1C1中點連成的線段 ABCDA1B1C1D1P解析：AP在點P運動的過程中總保持與B

5、C1垂直，說明BD1可能垂直于點A所在的平面，由此聯(lián)想到與正方體體對角線垂直的平面ACB1，即點P在B1C上運動時滿足題意。故選A.例6、如圖已知多面體ABC-DEFG中，AB,AC,AD兩兩互相垂直，平面ABC 平面DEFG,平面BEF 平面ADGCAB=AD=DG=2,AC=EF=1,則該多面體的體積為分析：可將該多面體如圖1分割成兩個四棱錐求體積之和。ABCDEFG圖1還可將其如圖2所示分成兩個三棱柱求體積之和。ABCDEFG圖2M答案：4111CBAABC 例7、如圖，已知 是正三棱柱，D是AC中點（）證明： 平面（）假設 求以 為棱, 與 為 面的二面角的度數(shù)。1AB1DBC1BC1

6、AB1BC1DBC1CBCABC1A1B1CD分析：(1)問的關鍵是在平面內(nèi)找到與平行的線。由已知D是中點想到利用中位線來找平行線。連接則DE即可。1DBC1ABCB1EFABC1A1B1CDE分析（）問的關鍵是找到二面角的平面角，找平面角的方法是三垂線法。作DF BC,則DF 平面 ,連接EF，則EF是ED 在平面上的射影。 根據(jù)三垂線定理的逆定理，得CCBB11CCBB111AB1BC1ABDEDE1BCEF1BCDEF是二面角的平面角。放在三角形中解得的結(jié)果是045例8、如圖四棱錐P-ABCD中，底面四邊形為正方形，側(cè)面PDC為正三角形，且平面PDC 底面ABCD，E為PC中點。（1）求

7、證：PA 面EDB.（2）求證：平面EDB 平面PBC.（3）求二面角D-PB-C的正切值。ABCPEDO證1：連接AC交BD于O易證PA EO,(1)問得證(2)問的關鍵是在一個面內(nèi)找到另一個面的垂線,由于要尋找垂直條件故應從已知與垂直有關的條件入手,突破此問.因為BC CD所以BC 面PDC 所以 BC DE又因為E是中點所以 DE PC.綜上 有DE 面PBC.ABCPEDF(3)問的關鍵是找到二面角的平面角上問知DE 面PBC,所以過E做EF PB,連接FD,由三垂線定理知 DEF為二面角平面角.將平面角放在直角三角形中可解得正切值為.6練習1 已知平面及以下三個幾何體：（）長寬高皆不

8、相等的長方體。（）底面為平行四邊形但不是矩形和菱形四棱柱。（）正四面體這三個幾何體在平面上的射影可以是正方形的幾何體是（）三、鞏固與練習三、鞏固與練習:答案為：1，2，3練2、 三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V，P為側(cè)棱BB1上 的 任意一點，四棱錐P-ACC1A1的體積為V1，則V1:V=ABCPA1B1C1分析：此題需將四棱錐的體積轉(zhuǎn)化為柱體體積與兩個三棱錐體積之差求解。答案：2：3練3、已知長方體的全面積為，十二條棱長度之和為，則這個長方體的一條對角線長為（）解題關鍵：整體性思維答案：111CBAABC ;練4、如圖，已知 是正三棱柱，D是AC中點（）證明： 平面（）假設 求以 為棱

9、, 與 為 面的二面角的度數(shù)。1AB1DBC1BC1AB1BC1DBC1CBC;練5、在一個倒置的正三棱錐容器內(nèi)，放入一個鋼球，鋼球恰與此三棱錐的四個面都接觸，按這三棱錐的一條側(cè)棱和高做截面，正確的截面圖形是（ ）ABCD答案D練6、已知;四棱錐P-ABCD的底面是邊長為4的正方形,PO 底面ABCD,若PD=6,M,N分別是PB,AB的中點.(1)求三棱錐P-DMN的體積.(2)求二面角M-DN-C的大小.ABCDPMN(1)問體現(xiàn)了三棱錐體積求法的靈活性解法較多。結(jié)果為4。（2）問二面角正切值253練習7、正方體中BE=DF,截面AEGF交CC1于G,且與底面 ABCD成的二面角，AB=1則以ABCDEFG為頂點的多面體體積是ABCDEFGA1B1C1D1求不規(guī)則多面體體積的基本思想是將其轉(zhuǎn)化成我們熟悉的柱體或錐體求解。轉(zhuǎn)化的手段或割或補。此題割補均可獲解。法1、如圖將多面體體積轉(zhuǎn)化為大三棱錐與兩個小三棱錐體積之差求解。ABCDEFGA1B1C1D1MNABCDEFGA1B1C1D1法2、如圖可將多面體分成兩個等體積的四棱錐而后求解較法1更為簡捷。MN法3、如圖，由對稱性還可以將該多面體補形為長方體，且該長方體體積為多面體體積的兩