等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用

1、第2課時(shí)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征.2.熟練應(yīng)用等比數(shù)列前 n項(xiàng)和公式的有 關(guān)性質(zhì)解題.3.會(huì)用錯(cuò)位相減法求和.預(yù)勻新知夯實(shí)基刪問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征 思考 若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2n1,那么數(shù)列an是不是等比數(shù)列？若數(shù)列 an的前n項(xiàng)和 Sl = 2n+1-1 呢？r1 In 12* . - . .nCN是等比數(shù)列;答案當(dāng)Sn=2n1時(shí)，Si, n=1, an= c、cSn S-1, n2當(dāng) Sn= 2n+1- 1 時(shí)，nC N不是等比數(shù)列S1, n=1,3, n=1,Sn Sn-1, n22n, n2梳理 當(dāng)公

2、比qw1時(shí)，設(shè)A= -a二，等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式是 Sn=A(qn1).即Sn是n的 q 1指數(shù)型函數(shù) 當(dāng)公比q=1時(shí)，因?yàn)閍w0,所以&=門(mén)a，Sn是n的正比例函數(shù).知識(shí)點(diǎn)二等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)思考若公比不為一1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn,S2n-Sn,&nS2n成等比數(shù)列嗎？答案 設(shè)an的公比為q,則Sn, Sn-Sn, S3n3n都不為。，Sn= a+ a2+ an,S2n Sn= an+1 + an+2+ a2n=a1qn+a2qn+ anqn = qnSn,S3n S2n= a2n+a2n+ 2+ a3n=an+1qn+an + 2qn+ a2nqn=qn(S2n

3、Sn),二Sn, S2n-Sn, S3nS2n成等比數(shù)列，公比為qn.數(shù)列an為公比不為一1的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sn, S2n-Sn, S3n S2n仍構(gòu)成等 比數(shù)列.(2)若an是公比為q的等比數(shù)列，則 Sn+m = Sn + qnSm(n, mCN*).(3)若an是公比為q的等比數(shù)列，S偶，S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和，則：在其S禺前2n項(xiàng)中，一=q；Sgf在其前2n+1項(xiàng)中，S奇一S偶=ai a2+a3 a4+ai+a2n+iq ai + a2n+2一 a2n + a2n+ 1 =(q w 1).1(q)1 + q思考辨析判斷正誤1 .對(duì)于公比qw1的等比數(shù)列an的前

4、n項(xiàng)和公式，其qn的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù).)r . 一 an ,-、， 一一 、一 一，、，2 .當(dāng)an為等差數(shù)列，bn為公比不是1的等比數(shù)列時(shí)，求數(shù)列b的刖n項(xiàng)和，適用錯(cuò)位相 減法.(，)題型探究 啟迪思維探究重點(diǎn)類型一等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征應(yīng)用例1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= an1(a是不為零且不等于1的常數(shù))，求證：數(shù)列an為 等比數(shù)列.考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和題點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和綜合問(wèn)題證明 當(dāng) n2 時(shí)，an = Sn Sn 1 = (a 1) an j當(dāng)n=1時(shí)，a1 = a1,滿足上式，an= (a 1) an 1, n C N .an+1 = a, an，數(shù)列an是等比

5、數(shù)列.Si, n= 1,反思與感悟(1)已知Sh,通過(guò)an=f求通項(xiàng)an,應(yīng)特別注意n2時(shí)，an =Sn- Sn-1, n 2Sn- Sn 1.(2)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn = A(qn-1),其中Aw0, qw0且qw1,則an是等比數(shù)列.跟蹤訓(xùn)練1若an是等比數(shù)列，且前 n項(xiàng)和為S = 3nT+t,則t=.考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和題點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和綜合問(wèn)題1答案3解析 顯然qw1,此時(shí)應(yīng)有Sn=A(qn1),PC 1 J . , ,1又 Sn = 2 3 + t, . . t = 2. 33類型二等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)命題角度1連續(xù)n項(xiàng)之和問(wèn)題例2已知等比數(shù)列前n項(xiàng)，前2n項(xiàng)，前3n項(xiàng)的和

6、分別為Sn, &n, &n,求證：器+臉=Sn(S2n+ S3n).考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)連續(xù)m項(xiàng)的和成等比數(shù)列證明 方法一 設(shè)此等比數(shù)列的公比為 q,首項(xiàng)為a1，當(dāng) q = 1 時(shí)，Sn=na，S2n=2na1，S3n=3na1，S2+ S2n= n2a2+ 4n2a2= 5n2a2,Sn(S2n + S3n) = na1(2na1 + 3na1)= 5n2ai,S2+ S2n= Sn(S2n+ S3n).當(dāng) q w 1 時(shí)，Sn=(1 一 qn),1 qS2n= a1 (1 - q2n) , S3n=(1 - q3),1 - q1 - qS2+ S2n=六 2 (1 qn)2+ (

7、1 q2n)2u q,二a)n 2n 2n=q_q,2 (1-q ) (2+2q +q ).又 Sn(S2n+ S3n) =a2n 2n 2n(_“(1-q) (2+2q +q ),-S2+S2n=Sn(S2n+S3n).方法二根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)有S2n= Sn+ q Sn = Sn(1 + q ) , S3n = Sn+qSn+q Sn,S2 + S2n=S2+ Sn(1 + qn)2= S2(2+ 2qn+ q2n),Sn(S2n + S3n)=S2(2+2qn+ q2n).S2+S2n=Sn(S2n+S3n).反思與感悟處理等比數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)問(wèn)題的常用方法 運(yùn)用等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式

8、，要注意公比 q= 1和qw 1兩種情形，在解有關(guān)的方程 （組）時(shí)，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元.（2）靈活運(yùn)用等比數(shù)列前 n項(xiàng)和的有關(guān)性質(zhì).跟蹤訓(xùn)練2 在等比數(shù)列an中，已知Sn=48, S2n=60,求S3n.考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)連續(xù)m項(xiàng)的和成等比數(shù)列解因?yàn)镾2nW2Sn,所以qwl,na al (1 q )-=48,1 q由已知得ai (1 q2n)-=60,1 -q 5 1O得 1+qn = 5,即 qn=4.a1將代入得-a-=64,1 q所以S3n =3na1(1 一q )1= 64X 143尸 63.命題角度2不連續(xù)n項(xiàng)之和問(wèn)題例3已知等比數(shù)列為的公比q=_1,則

9、a1：?：5：?等于（）3：2十a(chǎn)4十a(chǎn)6十a(chǎn)8A.-3 B.-1 C.3 D.1 33考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和的性質(zhì)答案 A解析 啰+a4+ae+a8= a1q + a3q+a5q + a?q=q(ai+ a3+ as+ a7)ai+ a3+ a5+ a7 i = -= - 3.a2+ a4+ a6+ a q反思與感悟 注意觀察序號(hào)之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)解題契機(jī)；整體思想能使問(wèn)題的解決過(guò)程變得 簡(jiǎn)潔明快.跟蹤訓(xùn)練3設(shè)數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；數(shù)列bn是以1為首項(xiàng),公比的等比數(shù)列，則 b +b +b +-+b =.a1a2a3a6 考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) 題

10、點(diǎn)等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和的性質(zhì)答案 126解析bi qan1banan 1bi q= qanj =2,，baJ是首項(xiàng)為b2,公比為2的等比數(shù)列.二%十1+十丁弋丁:儂.1 - 2類型三錯(cuò)位相減法求和例4求數(shù)列學(xué)的前n項(xiàng)和.考點(diǎn)錯(cuò)位相減法求和題點(diǎn)錯(cuò)位相減法求和解設(shè) Sn = 2+22 + 23+ 多，n+ 2日112 n1則有 2Sn=2+-+-2n-兩式相減，得C 1111Sn 24=2+ 22+ 23 + +n 1 n2nT1 =1-尸.1 n n+2Sn= 2_2n-_2n= 2-2n-反思與感悟 一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是公比不為1的等比數(shù)列，求數(shù)列anbn 的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)

11、位相減法 跟蹤訓(xùn)練 4 求和：Sn= x+2x2+3x3+ nxn (xw0).考點(diǎn)錯(cuò)位相減求和 題點(diǎn)錯(cuò)位相減求和n n+ 1解 當(dāng) x=1 時(shí)，Sn=1 + 2 + 3+ - +n=- (1-xj-2;當(dāng) xw1 時(shí)，Sn= x+2x2+3x3+ nx) xSn= x2+ 2x3+ 3x4+ + (n- 1)xn+ nxn+ 1,- (1 x)Sn= x+ x2+ x3+ + xn nxn+ 1一 nx”x )n + 1-nx + ,1 -xn , n , 1x(1 一 x ) nx +Sn=1 -xf n(n+1) 2，n+1nx十,xw 1 且xw 0.1 -x綜上可得，& = d nx

12、(1x )檢測(cè)評(píng)價(jià)達(dá)標(biāo)過(guò)美達(dá)標(biāo)檢測(cè)1 .已知等比數(shù)列an的公比為2,且其前5項(xiàng)和為1,那么an的前10項(xiàng)和等于（）A.31B.33C.35D.37考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)連續(xù)m項(xiàng)的和成等比數(shù)列答案 B解析 設(shè)許的公比為 q,由題意，q= 2, ai + a2+a3+a4+a5= 1,則 a6+a7 + a8+ag+aio=q （a1+ a2+ a3+ a4+ a5）= q = 2 = 32 ,Sw= 1 + 32 = 33.2 .已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=x3nT-6,則x的值為（）1 A 3C.2D.-2考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和綜合問(wèn)題答案 C解析 方法一 :

13、 Sn=x 3n-J!=x 3n 1, 6 36由 Sn=A(q: D,得鼻=口 ，X=J，故選 C. 3 62答案 A解析 由等差數(shù)列與等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式知，c=0, d=1,所以向量a= (c, d)的模為1.4.設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若q=2, Swo = 36,則a+a3+ a99等于()A.24 B.12 C.18 D.22考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)連續(xù)m項(xiàng)的和成等比數(shù)列答案 B解析 設(shè) ai + a3+ a99 = S,則 a2 + a4+ aioo= 2S. Sioo= 36, 1- 3S= 36, 1- S= 12,ai+ a3+ a5+ + a99= 12

14、.規(guī)律與方法-11 .在利用等比數(shù)列前 n項(xiàng)和公式時(shí)，一定要對(duì)公比q= 1或qw1作出判斷；若an是等比數(shù)列，且an0,則lg an構(gòu)成等差數(shù)列.2 .等比數(shù)列前n項(xiàng)和中用到的數(shù)學(xué)思想(1)分類討論思想：利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)要分公比 q=1和qw1兩種情況討論；研究等比數(shù)列的單調(diào)性時(shí)應(yīng)進(jìn)行討論：當(dāng)a10, q1或a10,0q1時(shí)為遞增數(shù)列；當(dāng) a11或a10,0q1時(shí)為遞減數(shù)列；當(dāng) q0且qw 1)常和指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系；等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=一/(qn1)(qw1).設(shè)A=-a,則Sn= A(qn1)與指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系.q- 1q- 1(3)整體思想：應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，常把 qn,

15、:當(dāng)成整體求解.課時(shí)對(duì)點(diǎn)練注第稅基強(qiáng)化落實(shí)考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)綜合答案 C解析.a3=3S2+2, a4=3&+2,a4a3= 3（2S2） = 3a3,即 a4=4a3,q = a4= 4,故選 C. a32 .設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和，若Sn是等差數(shù)列，則q等于（A.1B.0C.1 或 0D.1考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)綜合答案 A解析Sn_Sn_i = an,又Sn是等差數(shù)列，二an為定值，即數(shù)列an為常數(shù)歹U,an 13 .在等比數(shù)列an中，已知S30=13Sio, Sw+S30= 140,則S20等于（）A.

16、90 B.70 C.40 D.30考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)連續(xù)m項(xiàng)的和成等比數(shù)列答案 C解析.玲0金3&0,，qw1.S30= 13S10,S10= 10,由f得5、Sw+S30= 140|S3o=130,a1 1-q =10,1-q、30a11 一q= 130, 1- q.q20+q10-12 = 0, .10=3,S20= Sw(1 + q ) = 10X(1 + 3) = 40.4.已知Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若存在mCN*,滿足Sm=9,且即=細(xì)土1, Smamm 1的公比為()A. 2 B.2 C.3 D.3考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)連續(xù)m項(xiàng)的和成等比數(shù)列答案 B解析

17、設(shè)公比為q,若q=1,則Sm=2,Sm與題中條件矛盾，故 qwl.2mai (1 q jS2m=m-=qm+ 1 = 9, .qm=8.Smai(1q )1 q2m 1.a2m_a1q_ _ m_Q_5m+1am m 1 _ q _ 8_Jam aqm 1m=3,，q3=8,，q=2.5.已知等比數(shù)列an的公比為 q ,記 bn=am(nT)+ am(nT) + 2+ am(nT)+m, cn am(n-1) + 2am(n 1) + m(m, nCN),則以下結(jié)論一定正確的是 ()A.數(shù)列bn為等差數(shù)列，公差為 qmB.數(shù)列bn為等比數(shù)列，公比為 q2m2C.數(shù)列Cn為等比數(shù)列，公比為 qm

18、D.數(shù)列cn為等比數(shù)列，公比為 qmm考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)連續(xù)m項(xiàng)的和成等比數(shù)列答案 C解析:an是等比數(shù)列，amn + m，八、=qmn+m m(n 1)m=qm,amfn 1 t m則數(shù)列anam(nT)+1 Cn+ 1Cnamn+1 amn+2 amn+mam(n- 1 J 1 am(n- 1 J 2 am(n- 1 J m2m、m m=(q ) = q6.設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，已知a2a4=1, S3=7,則S5等于（）八15A.3 31B彳17D.萬(wàn)33 c.4考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) 題點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)綜合答案 B解析 :an是由正數(shù)組成

19、的等比數(shù)列，且 a2a4=1,.設(shè)an的公比為q,貝U q0,且a2 = 1,即a3=1.11$3=7, . . a1+a2+a3= -2+1 = 7, q q即 6q2-q-1=0.故 q = 1或 q= 1（舍去），. .a1 = 3=4. 23qQ 41京131- S5=1 =8, 2y 尸 了.127.數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn,若 a1=1, an+1 = 3Sn（n1, nCN）,則 a6 等于（）A.3 X 44B.3 X 44+ 1C.45D.45+1考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)綜合答案 A解析 當(dāng) n1 時(shí)，an+1=3Sn,則 an+2=3Sn+1

20、,an+2 an+1 = 3Sn+ 1 - 3Sn = 3an+ 1 ,即 an+ 2 = 4an+1,該數(shù)列從第3項(xiàng)起每一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的4倍，即該數(shù)列從第2項(xiàng)起是以4為公比的等比數(shù)列.1, n=1,又 a2= 3S1 = 3a1 = 3,an = 1 n 2*當(dāng) n= 6 時(shí),%= 3X 46 2= 3X448.記等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若&=2, $6=18,則S0等于（）S5A. 3B.5C.-31D.33考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)連續(xù)m項(xiàng)的和成等比數(shù)列答案 D（6ai 1 q解析由題意知公比 qwl,曾=、=i + q3=9,S3 ai 1 q1 q10a1（1 q ），q

21、= 2, =5-= 1 + q5= 1 + 25= 33.S5a1 1 q1 q、填空題9 .等比數(shù)列an共2n項(xiàng)，其和為一240,且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80,則公比q=考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和的性質(zhì)答案 2解析根據(jù)題意得與L 8禺=80, =-80,S偶160S1- q= -=2.禺=-160,S奇80Sn是an的前n項(xiàng)和，且14= 5,10 .已知首項(xiàng)為1的等比數(shù)列an是擺動(dòng)數(shù)列, 前5項(xiàng)和為.考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)綜合答案162解析S4-=一=1 + q2=5, q=受.S2S2 an是擺動(dòng)數(shù)列，q=2. A首項(xiàng)為，一.11,公比為一

22、2,11+32 113 =16.2三、解答題11.已知等比數(shù)列an中,a1 = 2, 23+ 2是a2和a4的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)記bn=anlog2an,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.考點(diǎn)錯(cuò)位相減法求和 題點(diǎn)錯(cuò)位相減法求和 解(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q, 由題意知 2(a3 + 2) = a2+a4, q3-2q2 + q-2=0,即(q2)(q2+ 1)=0. .q = 2,即 an=2 2n1 = 2n, nCN*.(2)由題意得，bn= n 2n,，Sn= 1 2 + 2 22+3 23+ + n 2n, 2Sn= 1 22+2 23+ 3 24+ +(n1) 2n

23、+ n 2n + 1,2一，得一Sn= 2 + 22+2U 2,+ + 2”一 n 2+1n 1=-2-(n-1) 2n+ .Sn=2+(n1) 2n+1, nC N*.12 .中國(guó)人口已經(jīng)出現(xiàn)老齡化與少子化并存的結(jié)構(gòu)特征，測(cè)算顯示中國(guó)是世界上人口老齡化速度最快的國(guó)家之一， 再不實(shí)施“放開(kāi)二胎”新政策，整個(gè)社會(huì)將會(huì)出現(xiàn)一系列的問(wèn)題 .若某地 區(qū)2015年人口總數(shù)為45萬(wàn)，實(shí)施“放開(kāi)二胎”新政策后專家估計(jì)人口總數(shù)將發(fā)生如下變化:從2016年開(kāi)始到2025年每年人口比上年增加0.5萬(wàn)人.從2026年開(kāi)始到2035年每年人口為上一年的99%.求實(shí)施新政策后第 n年的人口總數(shù)an的表達(dá)式；(注：2016年為第一年) (2)若新政策實(shí)施后的 2016年到2035年人口平均值超過(guò) 49萬(wàn)，則需調(diào)整政策，否則繼續(xù)實(shí) 施.問(wèn)到2036年是否需要調(diào)整政策？考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和應(yīng)用題題點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用題解 當(dāng)nW 10時(shí)，數(shù)列an是首項(xiàng)為45.5,公差為0.5的等差數(shù)列，所以 3n = 45.