專升本高等數(shù)學知識點匯總

1、專升本高等數(shù)學知識點匯總常用知識點：一、常見函數(shù)的定義域總結如下：（1）一般形式的定義域：xR（2） 分式形式的定義域：x0（3） 根式的形式定義域：x0（4） 對數(shù)形式的定義域：x0二、函數(shù)的性質1、函數(shù)的單調性當時，恒有，在所在的區(qū)間上是增加的。當時，恒有，在所在的區(qū)間上是減少的。2、 函數(shù)的奇偶性定義：設函數(shù)的定義區(qū)間關于坐標原點對稱（即若，則有）(1) 偶函數(shù)，恒有。(2) 奇函數(shù)，恒有。三、基本初等函數(shù)1、常數(shù)函數(shù)：，定義域是，圖形是一條平行于軸的直線。2、冪函數(shù)：， (是常數(shù))。它的定義域隨著的不同而不同。圖形過原點。3、指數(shù)函數(shù)定義: ， (是常數(shù)且，).圖形過（0,1）點。4、

2、對數(shù)函數(shù)定義: ， (是常數(shù)且，)。圖形過（1,0）點。5、三角函數(shù)(1) 正弦函數(shù): (2) 余弦函數(shù): .(3) 正切函數(shù): .(4) 余切函數(shù): .5、反三角函數(shù)(1) 反正弦函數(shù): ，。(2) 反余弦函數(shù): ，。 (3) 反正切函數(shù): ，。(4) 反余切函數(shù): ，。極限一、求極限的方法1、代入法 代入法主要是利用了“初等函數(shù)在某點的極限，等于該點的函數(shù)值?！币虼擞龅酱蟛糠趾唵晤}目的時候，可以直接代入進行極限的求解。2、傳統(tǒng)求極限的方法（1）利用極限的四則運算法則求極限。（2）利用等價無窮小量代換求極限。（3）利用兩個重要極限求極限。（4）利用羅比達法則就極限。二、函數(shù)極限的四則運算法則

3、設， ，則（1）（2）. 推論（a)， (為常數(shù))。（b）（3）， ().（4）設為多項式， 則（5）設均為多項式， 且， 則 三、等價無窮小常用的等價無窮小量代換有：當時，。對這些等價無窮小量的代換，應該更深一層地理解為：當時，其余類似。四、兩個重要極限重要極限I 。它可以用下面更直觀的結構式表示：重要極限II 。其結構可以表示為：八、洛必達(LHospital)法則“”型和“”型不定式，存在有（或）。一元函數(shù)微分學一、導數(shù)的定義設函數(shù)在點的某一鄰域內有定義，當自變量在處取得增量（點仍在該鄰域內）時，相應地函數(shù)取得增量。如果當時，函數(shù)的增量及自變量的增量之比的極限= 注意兩個符號和在題目中可

4、能換成其他的符號表示。二、求導公式1、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式（1） (為常數(shù)) （2）（為任意常數(shù)）（3） 特殊情況 （4）， （5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）2、導數(shù)的四則運算公式（1） （2）（3）（為常數(shù)） （4）3、復合函數(shù)求導公式：設, ，且及都可導，則復合函數(shù)的導數(shù)為。三、導數(shù)的應用1、函數(shù)的單調性則在內嚴格單調增加。則在內嚴格單調減少。2、函數(shù)的極值的點函數(shù)的駐點。設為（1）若時，；時，則為的極大值點。（2）若時，；時，則為的極小值點。（3）如果在的兩側的符號相同，那么不是極值點。3、曲線的凹凸性，則曲線在內是凹的。，則曲線在內是凸的。4、曲線的拐點

5、（1）當在的左、右兩側異號時，點為曲線的拐點，此時.（2）當在的左、右兩側同號時，點不為曲線的拐點。5、函數(shù)的最大值及最小值極值和端點的函數(shù)值中最大和最小的就是最大值和最小值。四、微分公式，求微分就是求導數(shù)。一元函數(shù)積分學一、不定積分1、定義，不定積分是求導的逆運算，最后的結果是函數(shù)+C的表達形式。公式可以用求導公式來記憶。2、不定積分的性質（1）或（2）或（3）。（4）（為常數(shù)且）。2、基本積分公式（要求熟練記憶）（1） （2）.（3）. （4） （5） （6）（7） （8）.（9）. （10）.（11）.3、第一類換元積分法對不定微分，將被積表達式湊成，這是關鍵的一步。常用的湊微分的公式有

6、：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14） 4、分部積分法二、定積分公式1、（牛頓萊布尼茨公式） 如果是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的任意一個原函數(shù)，則有。2、ya o b x計算平面圖形的面積如果某平面圖形是由兩條連續(xù)曲線及兩條直線和所圍成的（其中是下面的曲線，是上面的曲線），則其面積可由下式求出：o a x x+dx b xy 3、計算旋轉體的體積設某立體是由連續(xù)曲線和直線及軸所圍平面圖形繞軸旋轉一周所形成的旋轉體，如圖所示。則該旋轉體的體積可由下式求出：多元函數(shù)微分學1、 偏導數(shù)，對某個變量求導，把其他變量看做常數(shù)。2、全微分公式：。3、復合函數(shù)

7、的偏導數(shù)利用函數(shù)結構圖如果、在點處存在連續(xù)的偏導數(shù) ， ，且在對應于的點處，函數(shù)存在連續(xù)的偏導數(shù)，則復合函數(shù)在點處存在對及的連續(xù)偏導數(shù)，且4、隱函數(shù)的導數(shù)對于方程所確定的隱函數(shù)，可以由下列公式求出對的導數(shù)：2、隱函數(shù)的偏導數(shù)對于由方程所確定的隱函數(shù)，可用下列公式求偏導數(shù)：5、二元函數(shù)的極值設函數(shù)在點的某鄰域內有一階和二階連續(xù)偏導數(shù)，且，又設，則：（1）當時，函數(shù)在點處取得極值，且當時有極大值，當時有極小值。（2）當時，函數(shù)在點處無極值。（3）當時，函數(shù)在點處是否有極值不能確定，要用其它方法另作討論。平面及直線1、平面方程（1）平面的點法式方程：在空間直角坐標系中，過點，以為法向量的平面方程為

8、稱之為平面的點法式方程（2）平面的一般式方程 稱之為平面的一般式方程2、特殊的平面方程 表示過原點的平面方程 表示平行于軸的平面方程 表示過軸的平面方程 表示平行于坐標平面的平面方程3、兩個平面間的關系設有平面 平面和互相垂直的充分必要條件是：平面和平行的充分必要條件是：平面和重合的充分必要條件是：4、直線的方程（1）直線的標準式方程 過點且平行于向量的直線方程 稱之為直線的標準式方程（又稱點向式方程、對稱式方程）。常稱為所給直線的方向向量（2）直線的一般式方程稱之為直線的一般式方程5、兩直線間關系設直線，的方程為直線，平行的充分必要條件為；直線，互相垂直的充分必要條件為6、直線及平面間的關系

9、設直線及平面的方程為直線及平面垂直的充分必要條件為： 直線及平面平行的充分必要條件為：直線落在平面上的充分必要條件為將初等函數(shù)展開成冪級數(shù)1、定理: 設在內具有任意階導數(shù),且 ，則在內稱上式為在點的泰勒級數(shù)?；蚍Q上式為將展開為的冪級數(shù)。2、幾個常用的標準展開式常微分方程1、一階微分方程（1）可分離變量的微分方程若一階微分方程通過變形后可寫成 或 則稱方程為可分離變量的微分方程.2、可分離變量微分方程的解方程必存在隱式通解。其中：,.即兩邊取積分。（2）一階線性微分方程1、定義：方程 稱為一階線性微分方程.(1) 非齊次方程；(2) 齊次方程 .2、求解一階線性微分方程（1）先求齊次方程的通解：

10、, 其中為任意常數(shù)。（2）將齊次通解的換成。即 （3）代入非齊次方程, 得2、二階線性常系數(shù)微分方程（1）可降階的二階微分方程1、型的微分方程例3： 求方程的通解.分析：；2、型的微分方程解法：(1) 令，方程化為 ；(2) 解此方程得通解 ；(3) 再解方程 得原方程的通解3、型的微分方程解法：(1) 令, 并視為的函數(shù), 那么,(2) 代入原方程, 得 (3) 解此方程得通解 ；(4) 再解方程 得原方程的通解 例4：求方程的通解.分析：(1) 令, 并視為的函數(shù), 那么,(2) 代入原方程, 得 或 (3) 解上方程, 得 , ().(4) 再解方程 .(5) 于是原方程的通解為 , () （2）常系數(shù)線性微分方程（1）、二階常系數(shù)齊次線性方程的解。寫出特征方程并求解下面記,為特征方程的兩個根.（1