近世代數(shù)試題庫

1、近世代數(shù)、單項(xiàng)選擇題1、假設(shè)人=1,2,3,5,B=2,3,6,7,那么AB=A1,2,3,4B、2,3,6,7C2,3D>1,2,3,5,6,7答案：C2、循環(huán)群與交換群關(guān)系正確的選項(xiàng)是A循環(huán)群是交換群C循環(huán)群不一定是交換群答案：A3、以下命題正確的選項(xiàng)是An次對換群Sn的階為n!C交換環(huán)一定是域答案：A4、關(guān)于陪集的命題中正確的選項(xiàng)是A、對于aH,bH,有aHB、 aHHaHC、 aHbHa1bHD、 以上都對答案：DB、交換群是循環(huán)群D、以上都不對B、整環(huán)一定是域D、以上都不對設(shè)H是G的子群,那么bH或aHbH5、設(shè)A=R實(shí)數(shù)域,B=R+正實(shí)數(shù)域f:a-10aaA那么f是從A到B的

2、A單射C、一一映射、滿射、既非單射也非滿射答案：D6、有限群中的每一個(gè)元素的階都A、有限B、無限C為零D、為1答案：A7、整環(huán)域的特征為、無限、或素?cái)?shù)或無限A素?cái)?shù)BC有限D(zhuǎn)答案：D8、假設(shè)S是半群,那么A任意a,b,cS,都有abc=abcB、任意a,bS,都有ab=baC必有單位元D、任何元素必存在逆元答案：A9、在整環(huán)Z中,6的真因子是A1,6B、2,3C1,2D、3,6答案：B10、偶數(shù)環(huán)的單位元個(gè)數(shù)為A、0個(gè)B、1個(gè)C2個(gè)D、無數(shù)個(gè)答案：A11、設(shè)A1,A2,An和D都是非空集合,而f是A1AAn到D的一個(gè)映射,那么A、集合A1,A2,An,D中兩兩都不相同；B、A,A2,An的次序不

3、能調(diào)換；C、AA2An中不同的元對應(yīng)的象必不相同；D>一個(gè)元a1,a2,an的象可以不唯答案：B12、指出以下那些運(yùn)算是二元運(yùn)算A、在整數(shù)集Z上,ab3;abB、在有理數(shù)集Q上,abJab;G在正實(shí)數(shù)集R上,abalnb;D在集合nZn0上,abab.答案：D13、設(shè)是整數(shù)集Z上的二元運(yùn)算,其中abmaxa,b即取a與b中的最大者,那么在Z中A、不適合交換律；B、不適合結(jié)合律；C、存在單位元；D、每個(gè)元都有逆元.答案：C14、設(shè)G,為群,其中G是實(shí)數(shù)集,而乘法:ababk,這里k為G中固定的常數(shù).那么群G,中的單位元e和元x的逆元分別是A0和x；B、1和0;C、k和x2k;D、k和x2k

4、.答案：D15、設(shè)a,b,c和x都是群G中的元素且x2abxc1,acxxac,那么x1111111A、bca;B、ca;C、abc;D、bca.答案：A16、設(shè)H是群G的子群,且G有左陪集分類H,aH,bH,cH.如果6,那么G的階G|A6;B、24;C、10;D、12.答案：B17、設(shè)f:GiG2是一個(gè)群同態(tài)映射,那么以下錯(cuò)誤的命題是A、f的同態(tài)核是Gi的不變子群；B、G2的不變子群的逆象是Gi的不變子群；GGi的子群的象是G2的子群；DGi的不變子群的象是G2的不變子群.答案：D18、設(shè)f:RiR2是環(huán)同態(tài)滿射,f(a)b,那么以下錯(cuò)誤的結(jié)論為(A假設(shè)a是零元,那么b是零元；B、假設(shè)a是

5、單位元,那么b是單位元；C、假設(shè)a不是零因子,那么b不是零因子；D假設(shè)R2是不交換的,那么R不交換答案：Ci9、以下正確的命題是()A、歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán)；B、主理想環(huán)必是歐氏環(huán)；C、唯一分解環(huán)必是主理想環(huán)；D、唯一分解環(huán)必是歐氏環(huán).答案：A20、假設(shè)I是域F的有限擴(kuò)域,E是I的有限擴(kuò)域,那么()A、E:IE:II:F；B、F:EI:FE:I；C、I:FE:FF:I;D、E:FE:II:F答案：D二、填空題i、集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系需滿足自反性、對稱性和().答案：傳遞性2、設(shè)A,B都為有限集,且Am,Bn,那么AB().答：mn3.設(shè)R是集合A=平面上所有直線上的關(guān)系：1網(wǎng)2l1/l2或l

6、112(L12勺,那么()等價(jià)關(guān)系.答：是4、設(shè)群G中的元素a的階為m那么ane的充要條件是.答：mn5、群G的非空子集H作成G的一個(gè)子群的充要條件是.答：a,bH,有ab1H6、n次對稱群Sn的階是.答：n!7、設(shè)G是有限群,H是G的子群,且H在G中的指數(shù)為nUG答：nH8、設(shè)G是一個(gè)群,e是G的單位元,假設(shè)aG,且a=a,那么答：a=e9、最小的數(shù)域是.答：有理數(shù)域10、設(shè)集合A=1,2,那么AXA=,2A=.答：1,1,1,2,2,1,2,2,1,1,2-1-C-1C11、設(shè)f是A的一個(gè)變換,SA,那么ffSffS.答：12、設(shè)R1,R2是集合A上的等價(jià)關(guān)系,R1R2等價(jià)關(guān)系.答：是13

7、、假設(shè)群G中每一個(gè)元素x都適合方程xne,那么6是群.答：交換群14、n階群G是循環(huán)群的充要條件是0答：G中存在門階的元素15、設(shè)G,G1是有限循環(huán)群,Gm,G1n,那么G1是g的同態(tài)象的充要條件是(nm)o答：nm16、如果環(huán)R的乘法滿足交換律,即a,bR,有abba,那么稱R為()環(huán)答：交換環(huán)17、數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法和乘法作成的環(huán)叫做()環(huán).答：數(shù)環(huán)18、設(shè)有限域F的階為81,那么的特征p().答：319、群G中的元素a的階等于50,那么a4的階等于().答：2520、一個(gè)有單位元的無零因子()稱為整環(huán).答：交換環(huán)21、如果710002601a是一個(gè)國際標(biāo)準(zhǔn)書號,那么a().答：622.剩余

8、類加群12有()個(gè)生成元.答：623、設(shè)群G的元a的階是n,那么ak的階是()答：n/(k,n)(k,n)表示k和n的最大公約數(shù))24、6階循環(huán)群有()個(gè)子群.答：326、模8的剩余類環(huán)乙的子環(huán)有()個(gè).答：627、設(shè)集合A1,0,1;B1,2,那么有BA().答：1,1,1,0,1,12,1,2,0,2,128、如果f是A與A間的映射,a是A的一個(gè)元,那么f1fa(29、設(shè)集合A有一個(gè)分類,其中A與Aj是A的兩個(gè)類,如果AiA-那么AAj0答：31、凱萊定理說：任一個(gè)子群都同一個(gè)同構(gòu).答：變換群32、給出一個(gè)5-循環(huán)置換31425,那么1.答：1352433、假設(shè)I是有單位元的環(huán)R的由a生成

9、的主理想,那么I中的元素可以表達(dá)為.答：42%,為,.R34、假設(shè)R是一個(gè)有單位元的交換環(huán),I是R的一個(gè)理想,那么%是一個(gè)域當(dāng)且僅當(dāng)I是.答：一個(gè)最大理想35、整環(huán)I的一個(gè)元p叫做一個(gè)素元,如果.答：p既不是零元,也不是單位,且q只有平凡因子36、假設(shè)域F的一個(gè)擴(kuò)域E叫做F的一個(gè)代數(shù)擴(kuò)域,如果.答：E的每一個(gè)元都是F上的一個(gè)代數(shù)元三、判斷題1、設(shè)A與B都是非空集合,那么ABxxA且xB.X2、設(shè)A、B、D都是非空集合,那么AB到D的每個(gè)映射都叫作二元運(yùn)算.X3、只要f是A到A的映射,那么必有唯一的逆映射f1.V4、如果循環(huán)群Ga中生成元a的階是無限的,那么G與整數(shù)加群同構(gòu).V5、如果群G的子群

10、H是循環(huán)群,那么G也是循環(huán)群.X6、群G的子群H是不變子群的充要條件為gG,hH；g1HgH.,7、如果環(huán)R的階2,那么R的單位元10.,8、假設(shè)環(huán)R滿足左消去律,那么R必定沒有右零因子.V9、Fx中滿足條件p0的多項(xiàng)式叫做元在域F上的極小多項(xiàng)式.X10、假設(shè)域E的特征是無限大,那么E含有一個(gè)與Z/p同構(gòu)的子域,這里Z是整數(shù)環(huán),p是由素?cái)?shù)p生成的主理想.X四、解做題1、A=數(shù)學(xué)系的全體學(xué)生,規(guī)定關(guān)系R:a,bA,aRba與b同在一個(gè)班級,證實(shí)R是A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.答案：自反性：自己與自己顯然在同一個(gè)班級對稱性：假設(shè)a與b同在一個(gè)班級,顯然b與a同在一個(gè)班級傳遞性：假設(shè)a與b同在一個(gè)班級,b與c

11、同在一個(gè)班級,顯然a與c同在一個(gè)班級.2、在R中的代數(shù)運(yùn)算是否滿足結(jié)合率和交換率？ababab等式右邊指的是普通數(shù)的運(yùn)算答：由于對于a,b,cR,有abcababcababcababcababcacbcabc,abcabcbcabcbcabcbcababcacbcabc根據(jù)實(shí)數(shù)的加法與乘法的運(yùn)算率得abcabc.又abababbababa.所以,R的代數(shù)運(yùn)算既滿足結(jié)合率,又滿足交換率.3、設(shè)集合Aa,b,c,d,Bc,d,e,求AUB,AIB,AB,(AB)U(BA)o答案.AUBc,d,AIBa,b,c,d,e,ABa,b,(AB)U(BA)a,b,e4、設(shè)GS31,12,I3,23,123

12、,H1,12,求G關(guān)于子群H的左陪集分解.答：1H(12)HH,13H(123)H13,12323H(132)H23,132o因而,G關(guān)于子群H的左陪集分解為GH13H(23)Ho5、設(shè)半群S,?既有左單位元e,又有右單位元f,證實(shí)ef,而且是S的唯一單位元.答：證實(shí)efe(因f是右單位元),eff(因e是左單位元),得ef；假設(shè)S還有單位元3,那么ee>3,故e是S的唯一單位元.6、對于下面給出的Z到Z的映射f,g,hf:xa3x,g:xa3x1,h:xa3x2;計(jì)算fog,gof,goh,hog,fogoh.答案：fog:xa9x3,gof:xa9x1,goh:xa9x7;hog:x

13、a9x5,fogoh:xa27x21.7、設(shè)H是G的不變子群,那么aG,有aHa1H.答：因H是G的不變子群,故對于aG,有aHHa,于是1111aHaaHaHaaHaaHeHo8、設(shè)0是環(huán)R的零元,那么對于aR,0aa00.答：由于aR,有0a(00)a0a0a由于R關(guān)于加法作成群,即R對于加法滿足消去律,在上式中兩邊同時(shí)消去0a,得0a0.同理可得a00.9、如果半群G有一個(gè)左單位元e,并且對于aG,存在左逆元a1G,使得1aae,那么G是一個(gè)群.答：aG,由條件知,有左逆元a1G,使得a1ae,而對于a1在G中也存在左逆元a',使得aa1e,那么有11'1x/1x'

14、;11'1'1aaeaa(aa)(aa)aaaaaeaaae所以,a的左逆元a1也是a的右逆元,即a在G中有逆元a1,11又由于aeaaaaaaeaa,知e是G的單位元.故G是一個(gè)群.10、證實(shí)R為無零因子環(huán)的充分必要條件是在環(huán)R中關(guān)于乘法左消去律成立.答：設(shè)環(huán)R沒有左零因子,如果有abac,那么有abaca(bc)0,當(dāng)a0時(shí),由于R沒有左零因子,得bc0,即bc,R中關(guān)于乘法左消去律成立.反之,假設(shè)在R中關(guān)于乘法左消去律成立,如果a0,有ab0,即ab0a0,左消去a得b0,即R中非零元均不是左零因子,故R為無零因子.11、假設(shè).如是R的兩個(gè)理想,那么II12x1X2XlI

15、l,x212也是R的一個(gè)理想.答：X)I1I2,R,那么有xX1X2,yy1y2,國,I1；x2,y2I2),從而xy(X1y1)(X2y2)I1I2.rXr(X1x2)rX1rX2I1I2.xr(x1x2)rx1rx2rI112o所以,I1I2是R的一個(gè)理想.12、設(shè)GS3(1),(12),(13),(23),(123),(132),H(1),(12),那么h是G的一個(gè)子群,寫出G關(guān)于H的所有左陪集的分解.答案：(1)H(12)HH,(13)H(13),(123)(123)H,(23)H(23),(132)(132)H因而,G關(guān)于H的左陪集的分解為.GH(13)H(23)H13、在Q中的代數(shù)

16、運(yùn)算是否滿足結(jié)合率和交換率？abb2答：取a1,b2,c3,那么123223329123132928122又1224,2111.所以,Q的代數(shù)運(yùn)算既不滿足結(jié)合率,又不滿足交換率.14、設(shè)GS31,12,13,23,123,132HL12,求g關(guān)于子群H的右陪集分解.答：H1H(12)1,12,H13H(132)13,132,H23H(123)23,123.因而,G關(guān)于子群H的右陪集分解為GHH13H(23)15、設(shè)S是有單位元e的半群,aS,假設(shè)a有左逆元a1,又有右逆元a2,那么a是a1ea1,可逆元,且a1%是a的唯一的逆元答：證實(shí)由條件知,aae,aa2e,那么有a?ea?aaa?aaa

17、?假設(shè)b,c都是a的逆元,同理有bbebacbacecc故a有唯一的逆元.16、設(shè)R是環(huán),那么a,bR,有(a)ba(b)(ab)答：由(a)bab(aa)b0b0,得(ab)(a)b,同理,由a(b)aba(bb)a00,得(ab)a(b)o17、設(shè)H是G的子群,假設(shè)對于aG,hH,有aha1H,那么H是G的不變子群.答：任取定aG,對于ahaH,由于aha1H,那么存在hlH,使得1ahahiahhiaHaaHHa.?Ii1.,i、iI.I.haHa,由于ahaah(a)H,故存在兒H,使得1ahah2haah?aHHaaHo因此,對于aG,有aHHa.故H是G的不變子群.18、如果G是半

18、群,那么G是群的充分必要條件是：a,bG,方程axb和yab在G中有解.答：必要性.因G是群,那么aG在G中有逆元a1,那么a1b,ba1G,分別代入方程axb和yab,有1111aabaabebbbaabaabeb11即ab,ba分別為方程axb和yab的解.充分性.因G是半群,那么是非空集合,取定aG,那么方程ya2在6中有解e,即存在G中的元素e,使得eaa.下證e是G的左單位元.a,bG,方程axb和在G中有解c,即acb,于是ebeaceacacb,那么e是G的一個(gè)左單位元.又aG,方程yae在G中有解a,即aae,得a是a的一個(gè)左逆元.從而得G中的每一個(gè)元素a都有左逆元.故G是群.

19、19、證實(shí)R為無零因子環(huán)的充分必要條件是在環(huán)R中關(guān)于乘法右消去律成立.答：設(shè)環(huán)R沒有左零因子,那么也無右左零因子.于是由baca,得baca(bc)a,當(dāng)a0時(shí),由于R沒有右零因子,得bc0,即bc,R中關(guān)于乘法右消去律成立.反之,假設(shè)在R中關(guān)于乘法右消去律成立,如果a0,有ba0,即ba00a,右消去a得b0,即R中非零元均不是右零因子,故R為無零因子.20、設(shè)R為交換環(huán),aR,IaxRax0,證實(shí)：1a是R的理想.答：(1)a,b%,那么"0,bx0,從而axbx0,(ab)x0即abIa0(2)aIa,rR,有ax0,由于R為交換環(huán),從而raxr0axr0r0,即a,aIaQ因此1a是R的理想.21、G=(z,+),對G規(guī)定結(jié)合法“oaobab2證實(shí)(G,o)是一個(gè)群.證實(shí)："o"為G的一個(gè)二元運(yùn)算顯然,設(shè)a,b,c是G中任意三個(gè)元,(aob)oc(ab2)oc(ab2c)2=a(b2c)2ao(bc2)ao(boc)oG中結(jié)合法"o"