高中數(shù)學-曲線與方程精講精練

1、高中數(shù)學-曲線與方程精講精練短說1 .曲線與方程的概念一般地,在直角坐標系中,如果某曲線C(看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡)上的點與一個二元方程f(x,y)0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上點的坐標都是這個方程的;(2)以這個方程的為坐標的點都是曲線上的點.那么,這個方程叫做;這條曲線叫做.2 .坐標法借助于坐標系,用坐標表示點,把曲線看成滿足某種條件的點的,用曲線上點的坐標(x,y)所滿足的方程f(x,y)0表示曲線,通過研究方程的性質(zhì)間接地來研究曲線的性質(zhì).這就是坐標法.數(shù)學中,用坐標法研究幾何圖形的知識形成的學科叫做解析幾何,解析幾何研究的主要問題是：(1)根據(jù)條件,求出表示

2、曲線的方程；(2)通過曲線的方程,研究曲線的性質(zhì).3 .求曲線方程的一般步驟求曲線的方程,一般有下面幾個步驟：(1)建立適當?shù)淖鴺讼?用有序?qū)崝?shù)對(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標；(2)寫出適合條件p的點M的集合PM|p(M)；(3)用坐標表示條件,列出方程f(x,y)0；(4)化方程f(x,y)0為最簡形式；(5)說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上.一般地,化簡前前方程的解集是相同的,步驟(5)可以省略不寫.假設(shè)遇到某些點雖適合方程,但不在曲線上時,可通過限制方程中x,y的取值范圍予以剔除.另外,也可以根據(jù)情況省略步驟(2),直接列出曲線方程.K知識參考答案:1.解解曲線的方程方

3、程的曲線2.集合或軌跡3.p(M)K-重點曲線與方程的概念、坐標法求曲線的方程步驟及常用方法K易專昔混淆“軌跡與“軌跡方程導致錯誤1點與方程表示的曲線的位置關(guān)系的判斷如果曲線C的方程是f(x,y)0,那么點P(X0,y0)在曲線C上的充要條件是小)0.它可用于判定點是否在曲線上：如果點的坐標滿足曲線方程,那么說明點在曲線上,否那么說明點不在曲線上.展?【例1】(1)方程x2+y22y3=0,判斷點A(2,1),B(1,3)是否在此方程表示的曲線上；(2)假設(shè)點C(m+2,m)在方程(x2)2+y2=18表示的曲線上,求實數(shù)m的值；(3)假設(shè)方程x2+xyny+6=0表示的曲線經(jīng)過點(2,5),

4、求n的值.【解析】(1)由于22+12-2X1-3=0,12+32-2X3-3=10,所以點A(2,1)在方程x2+y22y3=0表示的曲線上；點B(1,3)不在方程x2+y2-2y-3=0表示的曲線上.(2)由于點C(m+2,m)在方程(x2)2+y2=18表示的曲線上,所以(m+22)2+m2=18,即2m2=18,即m2=9,解得m=3或3.(3)由于方程x2+xy-ny+6=0表示的曲線經(jīng)過點(2,5),所以22+2X5-5n+6=0,解得n=4.【名師點睛】判斷點與曲線的位置關(guān)系需從曲線與方程的定義入手：(1)要判斷點是否在方程表示的曲線上,只需檢驗點的坐標是否滿足方程即可；(2)假

5、設(shè)所給點在曲線上,那么點的坐標滿足曲線的方程,由此可求參數(shù)的值.2 .判斷曲線與方程的關(guān)系及曲線類型曲線的方程和方程的曲線是兩個不同的概念,曲線的方程反映的是圖形所滿足的數(shù)量關(guān)系,而方程的曲線反映的是數(shù)量關(guān)系所表示的圖形.良亨【例2】(1)判斷過點(2,1)且平行于y軸的直線l與方程|x|=2之間的關(guān)系；(2)判斷命題以坐標原點為圓心,半徑為1的圓的方程是y?1x2是否正確;(3)求方程(xy)JX=0所表示的曲線.【解析】(1)過點(2,1)且平行于y軸的直線l與方程|x|=2之間的關(guān)系只具備定義中的條件(1)而不具備條件(2),因此,方程|x|=2不是直線l的方程,直線l只是方程|x|=1

6、所表示圖形的一局部.(2)不正確.設(shè)(xo,yo)是方程y,1x2的解,那么y041x2,即x2y21.兩邊同開平方取算術(shù)平方根,得收一yf1,即點(x.,yo)到原點的距離等于1,點(xo,y.)是這個圓上的點,因此滿足以方程的解為坐標的點都是曲線上的點.但是,易知以坐標原點為圓心,半徑為所以命題以坐標原點為圓心,半徑為xy(3)根據(jù)題意可得x01的圓上一點(0,1的圓的方程是y0或x0,即xy0(x故原方程表示的是射線xy0(x0)和直線x0.【名師點睛】判斷方程表示什么曲線,要對方程適當變形,的特征進行判斷.變形過程一定要注意原方程的等價性,是原方程的曲線,另外,變形的方法有配方法、因式

7、分解等.1),卻不是y11x2的解,41x2不正確.0)或x0,化為我們熟悉的形式后根據(jù)方程否那么變形后的方程表示的曲線就不3 .求曲線的方程求曲線方程的常用方法:方法一|直接法.根據(jù)題中的條件能直接建立所求曲線上的動點(x,y)的橫縱坐標x,y滿足的關(guān)系式,從而得到曲線方程.這是求曲線方程最根本的方法.方法二|定義法.假設(shè)能確定動點的軌跡滿足某曲線的定義,那么可由曲線的定義直接寫出曲線方程.方法三代入法(即相關(guān)點法).假設(shè)動點P(x,y)依賴于另一個動點Q(X1,yi)的變化而變化,且動點Q(xi,yi)滿足的條件或軌跡方程,那么可用x,y表示xi,yi,并代入條件或軌跡方程,整理即得動點P

8、的軌跡方程.吟3【例3】(i)圓C：(x-2)2+y2=4,過原點O作圓C的弦OP,求OP的中點Q的軌跡方程；(2)在RtzXABC中,|BC|=6,求直角頂點A的軌跡方程.【解析】(i)忖法一(直接法】如圖i,連接CQ,由于Q是OP的中點,所以/OQC=90°.設(shè)Q(x,y),由題意,得|OQ|2+|QC2=|OC|2,即x2+y2+(x2)2+y2=4,所以中點Q的軌跡方程為(x-i)2+y2=i(去掉原點).方法二(定義法R如圖2所示,連接CQ,由于Q是OP的中點,所以/OQC=90°,那么點Q在以O(shè)C為直徑的圓上,故點Q的軌跡方程為(xi)2+y2=i(去掉原點).

9、0x1x2為2x方法三(代入法)設(shè)P(xi,yi),Q(x,y),由題意,得八,即o,0yiyi2y2又(xi2)2+yi2=4,所以(2x-2)2+4y2=4,即(xi)2+y2=i(去掉原點).圖i圖2圖3(2)以BC所在直線為x軸,BC的中點為坐標原點,建立如圖3所示的平面直角坐標系,那么有B(-3,0),C(3,0),設(shè)頂點A(x,y).方法一|由ABC是直角三角形可知|AB|2+|AC|2=|BC|2,即(x+3)2+y2+(x-3)2+y2=62,化簡得x2+y2=9.依題意可知,x3.故所求直角頂點A的軌跡方程為x2+y2=9(x3).方法二|由zABC是直角三角形可知AC

10、77;BC,所以kABkACi,那么1(x3),化簡得直角頂點A的軌跡方程為x2+y2=9(x3).方法三由AABC是直角三角形可知|OC|=|OA|=|OB|,且點A與點B,C不重合,所以x2+y2=32(x3),所以直角頂點A的軌跡方程為x2+y2=9(x3).【名師點睛】(1)求曲線的方程,其實質(zhì)就是根據(jù)題設(shè)條件,把幾何關(guān)系通過坐標轉(zhuǎn)化成代數(shù)關(guān)系,得到對應(yīng)的方程,一般步驟為：建系、設(shè)點、列式、化簡、檢驗；(2)求曲線方程時注意不要把范圍擴大或縮小,也就是要檢驗軌跡的純粹性和完備性；(3)由于觀察的角度不同,因此探求關(guān)系的方法也不同,解題時要善于從多角度思考問題.M4.混淆軌跡與軌跡方程導

11、致錯誤|二?【例4】如圖,點F(1,0),直線l：x1,P為平面上的動點,過P作直線l的垂uumuuuruuuuuur線,垂足為點Q,且QPQFFPFQ,求動點P的軌跡./|yFia【錯解】設(shè)點P(x,y),那么Q(-1,y),uuuuuruuuuuur由QPQFFPFQ,得(x+1,0)Qy)=(x1,y)Y2,y),化簡得y2=4x.【正解】設(shè)點P(x,y),那么Q(-1,y),uuuuuruuuuuW由QPQFFPFQ,得(x+1,0)Qy)=(x1,y)Y2,y),化簡得y2=4x.故動點P的軌跡為焦點坐標為(1,0)的拋物線.【錯因分析】錯解中求得的是動點的軌跡方程,而不是軌跡,混淆

12、了軌跡與軌跡方程的區(qū)別.供K好題1 .命題曲線C上的點的坐標是方程f(x,y)=0的解是正確的,那么以下命題中正確的A.滿足方程f(x,y)=0的點都在曲線C上B.方程f(x,y)=0是曲線C的方程C.方程f(x,y)=0所表示的曲線不一定是D.以上說法都正確2 .方程(x24)(y24)=0表示的圖形是A,兩條直線C.兩個點3 .A(-1,0),B(1,0),C為平面內(nèi)的一動點,跡方程為一22A.xy6x1=02210C.xyx10CB.四條直線D.四個點且滿足|AC|J2|BC|,那么點C的軌22B.x2y26x1=02210D.xyx105.A(1,0),B(-1,0),動點M滿足|MA

13、|MB|=2,那么點M的軌跡方程是3B.y0(x1)D.y0(|x|1)C.兩條直線D.四條直線uuuuun一OPOA4,那么動點PA.y0(1x1)C.y0(x1)6 .方程(x24)2+(y24)2=0表示的圖形是A.兩個點B,四個點7 .在平面直角坐標系xOy中,假設(shè)定點A(1,2)與動點P(x,y)滿足:的軌跡方程為108 .兩曲線的方程為Ci：2x5y50,C2：y一,判斷兩曲線有無交點,右有x交點,求出交點坐標,假設(shè)無交點,說明理由.00ra卡9.以下各對方程中,表示相同曲線的一組是a.yx與丫夕B. (x1)2+(y+2)2=0與(x1)(y+2)=01 .C. y與xy1xD.

14、 y=1gx2與y=2lgx12,2210.曲線yx與xy5的交點坐標是4A.(2,1)B.(±21)C.(2,1)或(272,5)D.(±21)或(2斯,5)11 .方程x26xy9y23x9y40表示的圖形是A.兩條重合的直線B.兩條互相平行的直線C.兩條相交的直線D.兩條互相垂直的直線12 .10g次,1og2y,2成等差數(shù)列,那么在平面直角坐標系中,點M(x,y)的軌跡大致為13 .方程(2xy2)&y210表示的曲線是A.一個點與一條直線C.兩個點B.兩條射線與一個圓D,兩個點、一條直線與一個圓14 .等腰三角形底邊的兩個頂點是B(2,1),C(0,3),

15、那么另一頂點A的軌跡方程是15 .A、B分別是直線yY3x和y3x上的兩個動點,線段P是AB的中點,求動點P的軌跡C的方程.16.(北京理)曲線C是平面內(nèi)與兩個定點Fi(-1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)aC【解析】曲線C可能只是方程f(x,y)=0所表示的曲線上的某一小段,因此C正確.應(yīng)選C.B【解析】由(x24)(y24)=0得(x+2)(x2)(y+2)(y2)=0,所以x+2=0或x2=0或y+2=0或y2=0,表示四條直線.應(yīng)選B.B【解析】設(shè)點C(x,y),那么由題得(x+1)2+y2=2(x1)2+y2,整理得x2+y2-6x+1=0.應(yīng)選B.(a>1)的點的軌跡

16、.給出以下三個結(jié)論：曲線C過坐標原點；曲線C關(guān)于坐標原點對稱；1 2假設(shè)點P在曲線C上,那么AF1PF2的面積不大于a2.2其中,所有正確結(jié)論的序號是.y17.(四川)在平面直角坐標系中,當P(x,y)不是原點時,定義P的“伴隨點為P'(22,xyxr)；當P是原點時,定義P的“伴隨點為它自身,現(xiàn)有以下命題：xy假設(shè)點A的“伴隨點是點A',那么點A'的“伴隨點是點A.單位圓上的“伴隨點還在單位圓上.假設(shè)兩點關(guān)于x軸對稱,那么它們的“伴隨點關(guān)于y軸對稱.假設(shè)三點在同一條直線上,那么它們的“伴隨點一定共線.其中的真命題是.18.(新課標I)點P(2,2),圓C：x2y28y

17、0,過點P的動直線l與圓C交于A,B兩點,線段AB的中點為M,O為坐標原點.(1)求M的軌跡方程；(2)當QP|=|OM|時,求l的方程及ZXPOM的面積.4. B【解析】由x+|y-1|=0,可知x<0,應(yīng)選B.5. C【解析】由題意可知,|AB|=2,那么點M的軌跡方程為射線y0(x1).應(yīng)選C.6. B【解析】由方程(x24)2+(y24)2=0?x24=0且y24=0,即x=±2且y=±Z因此方程(x24)2+(y24)2=0表示(2,2),(2,2),(2,2),(2,2)四個點,故選B.uunuur7. x2y40【解析】根據(jù)OPOA4,可得(x,y),C

18、12)=4,即x+2y=4.故填x2y40.2x5y508. .【解析】由方程組10補消去y得2x25x500,yx由于2542500,所以方程無實數(shù)解,從而方程組無實數(shù)解,10、,因此曲線G：2x5y50與C2：y無父點.x9. C【解析】易知A中解析式y(tǒng)=x與y&|x|不同；對于B,(x1)2+(y+2)2=0與(x1)(y+2)=0,前者表示點(1,2),后者表示兩條直線x=1,y=2;對于D,方程2ylgx2lg|x|(x0)與y=2lgx(x>0)不是同一曲線,C中兩方程表木的是同一曲線,應(yīng)選C.10. B【解析】將x24y代入x2y25,得y24y50,即(y5)(y

19、1)0,解得y5或y1,由于y5不符合題意,應(yīng)舍去,所以y1,那么x24,解得12,22x2.故曲線yx與x2y25的交點坐標是(±?1),應(yīng)選B.411. B【解析】方程可化為(x3y4)(x3y1)0,即x3y40或x3y10,所以原方程表示的圖形是直線x3y40和x3y10,這是兩條互相平行的直線.應(yīng)選B.12. A【解析】由log2x,log2y,2成等差數(shù)列,可得2log2ylog2x2,22即log2ylog2xlog24log24x,所以y4x(x>0,y>0),應(yīng)選A.222xy20一13. B【解析】原萬程等價于xy10,即x2+y2=1,或22,應(yīng)選B

20、.xy1014. x+2y+1=0(x1)【解析】由題意可知另一頂點A在邊BC的垂直平分線上,BC的1 3中點為(1,-1),邊BC所在直線的斜率kBC2,邊BC的垂直平分線的斜率2 011.、一k=-,垂直平分線的方程為y+1=-(x-1),即x+2y+1=0.又頂點A不在邊BC上,.X1,故頂點A的軌跡方程是x+2y+1=0(x1).15.【解析】設(shè)P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).P是線段xAB的中點,yx1x22yy2A、B分別是直線yYlx和yY3x上的點,y1叵x,y333xx22,3y2底Viy2-x3又線段AB的長為2,3,(Xx2)2(y1y2)212,2242xo12y-x12,即一y2392x1,動點P的軌跡C的萬程為916 .【解析】由于原點O到兩個定點F1(-1,0)和F2(1,0)的距離的積是1,