高中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)新課標(biāo)全國(guó)3卷逐題解析

1、年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一測(cè)試全國(guó)理科數(shù)學(xué)試題及答案解析一、選擇題：此題共12小題,每題5分,共60分1 .集合Ax,yx2y21,Bx,yyx,那么AIB中元素的個(gè)數(shù)為A.3B.2C.1D.0【答案】B【解析】A表示圓x2y21上所有點(diǎn)的集合,B表示直線yx上所有點(diǎn)的集合,故AIB表示兩直線與圓的交點(diǎn),由圖可知交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2,即AIB元素的個(gè)數(shù)為2,應(yīng)選B.D.2v2,應(yīng)選C.2021年1月至20212 .設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1i)z2i,那么|z()A.1B.-2C.2【答案】C2i2i1i2i2【解析】由題,z三一一一i1,那么z肝121i1i1i23 .某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提升旅

2、游效勞質(zhì)量,收集并整理了年12月期間月接待游客量單位：萬(wàn)人的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.妾待游客量萬(wàn)人4sl2i4567S91011121011121上44567*91011122021年2021年2021年根據(jù)該折線圖,以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量頂峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月,波動(dòng)性更小,變化比擬平穩(wěn)【答案】A【解析】由題圖可知,2021年8月到9月的月接待游客量在減少,那么A選項(xiàng)錯(cuò)誤,應(yīng)選A.,533.4 -xy2xy的展開(kāi)式中xy的系數(shù)為A.B.【答案】C【解析】由二項(xiàng)式定理可得,原式展

3、開(kāi)中含-223-33xC22xyyC52xC.40D.80x3y3的項(xiàng)為2_3333一.一.y40x3y3,那么x3y3的系數(shù)為40,應(yīng)選C.a0,b0的一條漸近線方程為2x12A.【答案】【解析】2y32x8B1有公共焦點(diǎn).那么C的方程為2L110B.2xC.一5D.雙曲線的一條漸近線方程為y漁x,那么b2a222又.橢圓幺1與雙曲線有公共焦點(diǎn),易知c3,那么a2b2c212322由解得a2,b75,那么雙曲線C的方程為L(zhǎng)1應(yīng)選b.45、r一兀6.設(shè)函數(shù)f(x)cos(x-),那么以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是()3A.f(x)的一個(gè)周期為2兀.,一87rB.yf(x)的圖像關(guān)于直線x一對(duì)稱(chēng)3C.f(

4、x)的一個(gè)零點(diǎn)為xD.f(x)在(-,Tt)單調(diào)遞減2【解析】函數(shù)fxcosx-的圖象可由3ycosx向左平移個(gè)單位得到,3A.B.C.D.【答案】【解析】初始狀態(tài)第1次循環(huán)結(jié)束第2次循環(huán)結(jié)束S010090此時(shí)S9091首次滿足條件,小值,應(yīng)選D.M100101程序需在123t3時(shí)跳出循環(huán),即N2為滿足條件的最5432D程序運(yùn)行過(guò)程如下表所示:8.圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上,那么該圓柱的體積為()A.冗B.紅C.jD.【答案】B【解析】由題可知球心在圓柱體中央,圓柱體上下底面圓半徑r1121,223兀那么圓枉體體積VMh一,應(yīng)選B.49.等差數(shù)列an的首項(xiàng)為1

5、,公差不為0.假設(shè)a2,a3,a6成等比數(shù)列,那么1前6項(xiàng)的和為()D.8A.24B.3C.3【答案】A【解析】an為等差數(shù)列,且a2,a3,a6成等比數(shù)列,設(shè)公差為22那么a3a2a6,即ai2daidai5d又a1,代入上式可得d22d0又d0,貝Ud26565一,6aid16224,應(yīng)選A.222210.橢圓C：x2與1ab(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,A2,且以線段AA2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切,那么C的離心率為()“6-32c1A.-B.C.一D).-【答案】A【解析】以AA2為直徑為圓與直線bxay2ab0相切,圓心到直線距離等于半徑,2abd22a.ab又a0,b0

6、,那么上式可化簡(jiǎn)為a23b22o222222c2bac,可得a3ac,即-2一a31e,應(yīng)選Aa311.函數(shù)f(x)A.12C由條件,f(2x)一,x12xa(eB.13)有唯一零點(diǎn),那么C.D.1f(x)(22x2xxx)24x2x2x2(244/x1a(eX1a(ex)a(e1x2xa(ex1e),得:(2x)ex1e)1)f(2x)f(x),即x1為f(x)的對(duì)稱(chēng)軸,由題意,f(x)有唯一零點(diǎn),.f(x)的零點(diǎn)只能為x1,即f(1)1221a(e11一11解得a1.212.在矩形LULLAPA.3ABCD中,uurLUITABADAD2,動(dòng)點(diǎn)的最大值為P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.

7、假設(shè)B.2,2D.2【答案】A【解析】由題意,畫(huà)出右圖.設(shè)BD與eC切于點(diǎn)E,連接CE.以A為原點(diǎn),AD為軸正半軸,AB為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系,那么C點(diǎn)坐標(biāo)為2,1.|CD|1,|BC|2.BD,1222而B(niǎo)D切eC于點(diǎn)E.CEBD.CE是RtABCD中斜邊BD上的高.1_|EC|2SBCD|BD|-|BC|CD|FBDI2,52.55即eC的半徑為P在eC上.P點(diǎn)的軌跡方程為設(shè)p點(diǎn)坐標(biāo)Xo,yo,的參數(shù)方程如下：(x2)2可以設(shè)出Xo2V.ULUl而APuuurAP5cos52T5sin5uuu(X0,y0),AB(0,1),(y1)2p點(diǎn)坐標(biāo)滿足uurAD(2,0).uuuAB1.一X0

8、12兩式相加得：uurAD5一cos5(0,1)(2,0)(2,)V.12V5sin5,2sin(其中275sin552(u)sin(5sin25、)55一cos535,cos5當(dāng)且僅當(dāng)2k%取得最大值3.、填空題：此題共4小題,每題5分,共20分13.假設(shè)x,y滿足約束條件xy2w0,那么zy0,3x4y的最小值為【答案】1【解析】由題,畫(huà)出可行域如圖：3目標(biāo)函數(shù)為z3x4y,那么直線y-x4由圖可知：在A1,1處取最小值,故4:縱截距越大,值越小.31411.14.設(shè)等比數(shù)列【答案】8an滿足aa21,aa33,那么a4【解析】Qan為等比數(shù)列,設(shè)公比為.1,aa21a1,即砌出3a1顯然

9、q1,40,京得1q3,即q33a4a1q12a1q1a1q232,代入式可得a18.x1,x0,15.設(shè)函數(shù)f(x)x那么滿足2x,x0,-1【答案】1,4x1,x0【解析】Qfxx,fx2x,x0由圖象變換可畫(huà)出yfx,1f(x)f(x-)1的x的取值范圍是1 r1fx-1,即fx1fx2 21,與y1fx的圖象如下：2,一一,1.1由圖可知,滿足fx-1fx的解為4,ABC的直角邊AC所在直線與16.,為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形,都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有以下結(jié)論:當(dāng)直線AB與成60角時(shí),AB與成30角；當(dāng)直線AB與成60角時(shí),AB與成60角；直線AB與所

10、成角的最小值為45;直線AB與所成角的最大值為60.其中正確的選項(xiàng)是【答案】【解析】由題意知,(填寫(xiě)所有正確結(jié)論的編號(hào))a、bAC三條直線兩兩相互垂直,畫(huà)出圖形如圖.不妨設(shè)圖中所示正方體邊長(zhǎng)為1,故|AC|1,|AB|斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),那么A點(diǎn)保持不變,b點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C雙圓心,1為半彳用uu圓.以C為坐標(biāo)原點(diǎn),以CD為軸正方向,CA為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.那么D(1,0,0),A(0,0,1),r直線的方向單位向量a(0,1,0),B點(diǎn)起始坐標(biāo)為(0,1,0),r直線的方向單位向量b(1,0,0),CB為軸正方向,r|a|r|b|設(shè)B點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的坐標(biāo)B(cos,si

11、n,0),其中為BC與CD的夾角,那么AB在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的向量0,2uuurAB兀).uuur.(cos,sin,1),|AB|72.ABr與所成夾角為coscos,sin,1)(0,1,0)ruuur1aAB22y|sin|0,.-兀兀-一一.一-,2,所以正確,錯(cuò)誤.uuurABcos與所成夾角為uuurrABbruuurbAB0,力kcos甲nuuur)(1,0,0)bAB,|cos2當(dāng)ABr與夾角為60時(shí),即sin|)2cos一_2一.2cossin-2cos31,兀3212|cos|cos2-21cos|20,9.2=：,此時(shí)潴與夾角為60.正確,錯(cuò)誤.三、解做題：共70分.第17-2

12、0題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22,23題為選考題,考生根據(jù)要求作答一必考題：共60分.17.12分ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,sinAJ3cosA0,a2幣,b2.1求c;2設(shè)D為BC邊上一點(diǎn),且ADAC,求ABD的面積.【解析】1由sinA33cosA0得2sinA117t_即AknkZ,又A0,兀,3A嘰得A-.33由余弦定理a2b2c22bccosA.又:a27,b2,cosA1.、一r-代入并整理得2c125,故c4.(2)AC2,BC2,AB4,由余弦定理cosC.ACAD,即a2b2c22.7.2ab7ACD為直角三角形,那么ACCDcosC,得CD.

13、由勾股定理adJcd|ac|2忖2.2nr,_2式又A,那么DAB33S*AABD1 |ADABsin-3.2 618.12分某超市方案按月訂購(gòu)一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨本錢(qián)每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫單位：C有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間20,25,需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20,需求量為20洲,為了確定六月份的訂購(gòu)方案,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫10,1515,2020,2525,3030,3535,40天數(shù)2

14、116362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列；(2)設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元).當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量(單位：瓶)為多少時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望到達(dá)最大值？【解析】易知需求量可取200,300,500200216300500303363032573035254那么分布列為:當(dāng)當(dāng)當(dāng)X200300500P25256當(dāng)nw200時(shí)：丫n200n此時(shí)Ymax300n500時(shí),易知一定小于的情況.綜上所述：當(dāng)n300時(shí),取到最大值為520.19.(12分)如圖,四面體ABCD中,ABC是正三角形,AB

15、=BD.(1)證實(shí)：平面ACDA平面ABC;(2)過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E,假設(shè)平面AEC把四面體面角D-ABCD分成體積相等的兩局部.求二AE-C的余弦值.【解析】取AC中點(diǎn)為O,連接BO,DO；QABC為等邊三角形BOABABACBCBCBDBDABDCBDABDDBCADCD,即ACD為等腰直角三角形,為直角又O為底邊AC中點(diǎn)ACD是直角三角形.?ABD?CBD,DO令A(yù)BACa,那么ABAC易得：od,a,|OB222OD|OB|BDBC|BDa3aa2由勾股定理的逆定理可得DOB一2即ODODODACIACOBOBACOBOBOOD平面ABC平面ABC平面ABC又.OD平面ADC由面

16、面垂直的判定定理可得平面ADC平面ABC由題意可知VDACEVBACE即B,D到平面ACE的距離相等即E為BD中點(diǎn)以.為原點(diǎn),OA為軸正方向,ODr為軸正方向,設(shè)AC系,uurob為軸正萬(wàn)向,建立空間直角坐標(biāo)那么O0,0,0Aa,0,02a0,0,-2,B0,5a,03a0,a,_44uuu易得：AE一,一a,一24設(shè)平面AED的法向量為4uin1,uuirAD平面uuuOAuuAEC的法向量為n2,uuruuAEn10那么uuruu,ADn0uu解得ni3,1,3AEnuuuruuOAn2假設(shè)二面角uuri20,1,3解得易知為銳角,那么cosC:y2=20.(12分)拋物線段AB為直徑的圓

17、.(1)證實(shí)：坐標(biāo)原點(diǎn)(2)設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)PO在圓2x,過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線交C于A,B兩點(diǎn),圓M是以線M上;(4,-2),求直線與圓M的方程.【解析】顯然,設(shè)l:x當(dāng)直線斜率為時(shí),直線與拋物線交于一點(diǎn),不符合題意.聯(lián)立:my2,y22xA(xi,y),B(X2,y2),xmy得y22my40,2uir4Um216恒大于,y1y22m,y1y24OAOBx1x2y1y2(myi2)(my22)y2)4400/2(m1)yiy22m(yi,2uurOA假設(shè)圓4(m1)2m(2m)uuuOB,即O在圓M上.uuuuurM過(guò)點(diǎn)P,那么APBP(X14)(X24)(y12)(y22)0(my12)(my2

18、2)(%2)(y22)0,2(m1)y1y2(2m2)(y1y2)801化間得2mm10解得m萬(wàn)或1當(dāng)mq時(shí),l:2xy40圓心為Q(%,y0),y.半徑那么圓當(dāng)y0半徑那么圓yy2-29212M：(x-)(y)42m1時(shí),l:xy212y085160圓心為1,x0y023,r|OQ|,321222M:(x3)(y1)10Q(x0,y0),21.(12分)函數(shù)f(x)x1alnx.(1)假設(shè)f(x)0,求的值；111(2)設(shè)m為整數(shù),且對(duì)于任意正整數(shù),(1+1)(1+)鬃(12n)m,求m的最小值.【解析】f(x)x1alnx,x0那么f(x)1a一,且f(1)0xx當(dāng)af(1)0滿足題意綜上所述a1.當(dāng)a1時(shí)f(x)x1Inx0即Inxwx1那么有l(wèi)n(x1)wx當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)等號(hào)成立方面:111ln(12)ln(122)11222即(11)(1J(12n)e.另一方面：(12)(122).(12n)(1)(12).-23)當(dāng)n3時(shí),(11)(