高中考試數(shù)學(xué)常見難題大盤點(diǎn)：應(yīng)用性問(wèn)題

1、高考數(shù)學(xué)常見難題大盤點(diǎn)：應(yīng)用性問(wèn)題1 .近年來(lái),太陽(yáng)能技術(shù)使用的步伐日益加快.2002年世界太陽(yáng)電池的年生產(chǎn)量到達(dá)670兆瓦,年生產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為34%.以后四年中,年生產(chǎn)量的增長(zhǎng)率逐年遞增2%如,2003年的年生產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為36%.1求2006年世界太陽(yáng)電池的年生產(chǎn)量結(jié)果精確到0.1兆瓦：2當(dāng)前太陽(yáng)電池產(chǎn)業(yè)存有的主要問(wèn)題是市場(chǎng)安裝量遠(yuǎn)小于生產(chǎn)量,2006年的實(shí)際安裝量為20兆瓦.假設(shè)以后假設(shè)干年內(nèi)太陽(yáng)電池的年生產(chǎn)量的增長(zhǎng)率保持在42%,到2021年,要使年安裝量與年生產(chǎn)量根本持平即年安裝量很多于年生產(chǎn)量的95%,這四年中太陽(yáng)電池的年安裝量的平均增長(zhǎng)率至少應(yīng)到達(dá)多少結(jié)果精確到0.1%?分析：此

2、題命題意圖是考查函數(shù)、不等式的解法等根底知識(shí),考查使用數(shù)學(xué)知識(shí)分析解決問(wèn)題的水平.解 析 1 由 得2003,2004,2005,2006年 太 陽(yáng) 電 池 的 年 生 產(chǎn) 量 的 增 長(zhǎng) 率 依 次 為36%,38%,40%,1r42%.那么2006年世界太陽(yáng)電池的年生產(chǎn)量為670 x1.36x1.38*1.40X1.42冬2499.8兆瓦.2設(shè)太陽(yáng)電池的年安裝量的平均增長(zhǎng)率為x,那么_INJ 1295%.解得2499.8 1+42%4A-0.615.所以,這四年中太陽(yáng)電池的年安裝量的平均增長(zhǎng)率至少應(yīng)到達(dá)61.5%.2 .某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的本錢為3元,并且每件產(chǎn)品需向總公司

3、交元3.5的治理費(fèi),預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為4元9W/W11時(shí),一年的銷售量為12-工尸萬(wàn)件.I求該分公司一年的利潤(rùn)L萬(wàn)元與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式：II當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí),該分公司一年的利潤(rùn)L最尢,并求出L的最大值.3分析：此題命題意圖是考查函數(shù)的解析式的流法、利用導(dǎo)數(shù)求最值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí),考查使用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的水平.解析：I 分公司一年的利潤(rùn)L萬(wàn)元 與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為：L= x-3- 12-x2,xe9,ll.(H)=(12-x)2-2(x-3-)(12-x)=(12-x)(18+2-3x),令Z/=0得2x=6+或x=12(不合題意,舍去).3oOR7,3

4、W4(5,.8W6+*a.在x=6+*兩側(cè)V的值由正變負(fù).3332Q所以(1)當(dāng)86+9即3Wav時(shí),32Lmax=L(9)=(9-3-.)(129尸=9(6-a).2289(2)當(dāng)96+上.即二時(shí),33299(6-a),3Wa0),那么,在第A年末,第一年所交納的儲(chǔ)藏金就變?yōu)?(1+r)第二年所交納的儲(chǔ)藏金就變?yōu)榭?1+r)%,以北表示到第A年末所累計(jì)的儲(chǔ)藏金總額.(I)寫出.與T-(G2)的遞推關(guān)系式；(II)求證：/=兒+瓦,其中凡)是一個(gè)等比數(shù)列,屬是一個(gè)等差數(shù)歹IJ.分析：本小題命題意圖主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的根本概念和根本方法,考查學(xué)生的閱2=L(6+a)=讀資料、提取信息、建

5、立數(shù)學(xué)模型的水平,考查應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)分析和解決.實(shí)際問(wèn)題的水平.解析:(1)我們有北=7；1(1+:+為(九之2)(2) (=6,對(duì)22反復(fù)使用上述關(guān)系式,得：T=Tn_x(1+r)+a,=Tn_2(14-r)2+an_I(l+r)+an=(1+r)n-1+%(1+r)HFun_|(1+r)+ano在式兩邊同乘以1+八得：(1+r)T=T=9(1+r)n+J(l+r)11-1+(l+r)H-2+(1+/)-“=(l+r)1r+q(l+,)%,即+orrr如果記4=絲/(1+),紇=_3=_3_幺,那么丁=4+%rr廠廠r其中Aj是以-*(l+r)為首項(xiàng),以1+900)為公比的等比數(shù)列；紇是以一

6、竺三為首項(xiàng),以一4為公差的等差數(shù)列.廠rr點(diǎn)評(píng)：掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、以及求和方法是解決此題的關(guān)鍵.4 .如圖,甲船以每小時(shí)30拒海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向勻速直線航行.當(dāng)甲船位于4處時(shí),乙船位于甲船的北偏西105方向的6處,此時(shí)兩船相距20海里.當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)兒處時(shí),乙船航行到甲船的北偏西120方向的處,此時(shí)兩船相距10拒海里,問(wèn)乙船每小時(shí)航行多少海里？(07山東理)分析：此題命題意圖是通過(guò)實(shí)際問(wèn)題考查了正弦定理、余弦定理、解三角形的水平以及分析解決問(wèn)題的水平.on解析：如圖,連結(jié)45,4民=10應(yīng),x30V2=10/2,必鴻,但凡等60邊三角形,/5

7、4&=105.60.=45.,在八4/25中,由余弦定理得B.B；=4吊+AB；-2A13AB2cos450,=202+(10VI)2-2x20 x1OA/2x=200,片區(qū)=10五.所以乙船的速度的大小為2,竽x60=30答：乙船每小時(shí)航行30拒海里.點(diǎn)評(píng)：連接4與,構(gòu)造兩個(gè)可解的三角形與AA層4是處理此題的關(guān)鍵,此外,還可連接來(lái)解,5 .某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,每種產(chǎn)品都是經(jīng)過(guò)第一和第二工序加工而成,兩道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立,每道工序的加工結(jié)果均有A、B兩個(gè)等級(jí).對(duì)每種產(chǎn)品,兩道工序的加工結(jié)果都為A級(jí)時(shí),產(chǎn)品為一等品,其余均為二等品.I甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)果為A級(jí)的

8、概率如表一所示,分別求生產(chǎn)出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P,、P乙；II一件產(chǎn)品的利潤(rùn)如表二所示,用,、Q分別表示一件甲、 乙產(chǎn)品的利潤(rùn),在I的條件下,求,、n的分布列及E,、En；IH生產(chǎn)一件產(chǎn)品需用的工人數(shù)和資金額如表三所示.該工廠有工人40名,可用資.金60萬(wàn)元.設(shè)X、y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量,在II的條件下,x、y為何值時(shí),z=+最大？最大值是多少？解答時(shí)須給出圖示分析：本小題主要考查相互獨(dú)立事件的概率、隨機(jī)變量的分布列及期望、線性規(guī)劃模型的建立與求解等根底知識(shí),考查通過(guò)建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型以解決實(shí)際問(wèn)題的水平解析(I)解：=0,8x0.85=0.68,Pz0.75x0.8=0.6.

9、工序第一工序第二工序甲0.80.85乙0.750.8利、等級(jí)一等二等甲5萬(wàn)元2.5萬(wàn)元乙2.5萬(wàn)元1.5萬(wàn)元II解：隨機(jī)變量4、的分別列是52.5P0.680.3272.51.5P0.60.46.E自=5x0.68+2.5x0.32=4.2,E/=2.5x0.6+1.5x0.4=2.1.5x+1Oy0,y0.作出可行域如圖,作直線/：4.2x+2.1y=0,將1向右上方平移至,位置時(shí),直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M點(diǎn)與原點(diǎn)距離最大,此時(shí)2=4.2工+2.叮取最大值.解方程組5x+1Oy=60,8x+2y=4.得x=4,y=4,即x=4,y=4時(shí),z取最大值,z的最大值為25.2.點(diǎn)評(píng)：某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品

10、,根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì),顧客采用的付款期數(shù)J的分布列為12345P0.40.20.20.10.1商場(chǎng)經(jīng)銷一件該商品,采用1期付款,其利潤(rùn)為200元；分2期或3期付款,其,利潤(rùn)為250元：分4期或5期付款,其利潤(rùn)為300元,表示經(jīng)銷一件該商品的利潤(rùn).I求事件A：“購(gòu)置該商品的3位顧客中,至少有1位采用1期付款的概率PA；H求的分布列及期望近7.分析：此題命題意圖是主要考察對(duì)立事件的概率以及分布列及期望的知識(shí),考查學(xué)生的閱讀理解水平及分析解決問(wèn)題水平.解析：(【)由A表示事件“購(gòu)置該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款.知可表示事件“購(gòu)置該商品的3位顧客中無(wú)人采用1期付款P(A)=(l-0.4)2=

11、0.216,P(A)=1-P(A)=1-0.216=0.784.(H)的可能取值為200元,250元,300元.夕(=200)=尸=1)=0.4,rP(=250)=P(4=2)4-P您=3)=0.2+0.2=0.4,P(z7=300)=1一PQ=200)-P(/j=250)=1-0.4-0.4=0.2.的分布列為7200250300P0.40.40.2E/j=200 x0.4+250 x0.4+300 x0.2=240(元).時(shí),觀看塔的視角NBPC最大(不計(jì)此人的身高)解：如下圖,建立平面直角坐標(biāo)系,那么A(200,0),(0,220),C(0,300),直線1的方程為y=(x-200)ta

12、na,K|y=匚羋.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),貝2v900尸(X二一)(x200).由經(jīng)過(guò)兩23一3.kpc=-=：,x2x0AJ點(diǎn)的直線的斜率公式點(diǎn)評(píng)：學(xué)握對(duì)立事件的概率和為1,學(xué)會(huì)用間接法求解tan8PC=APB1一,k1KPBKPC160-2764x1+I2.B2200).X+160X640_288X160 x640要使tanBPC到達(dá)最大,只須x+-288到達(dá)最小,由均值不等式x160 x640、x+2882,160 x640288,x當(dāng)且僅當(dāng)x=160 x640時(shí)上式取得等號(hào),故當(dāng)行320時(shí)tanBPC最大,這時(shí),點(diǎn)P的縱坐x匕、,320-2006標(biāo)y為y=60.2由此實(shí)際問(wèn)題知,O

13、vNBPCv二,所以tanBPC最大時(shí),NBPC最大,故當(dāng)此人距水平地面260米高時(shí),觀看鐵塔的視角NBPC最大.8.如圖,設(shè)曲線y=ex(x0)在點(diǎn)處的切線/與x軸y釉所圍成的三角形面積為2S(r),求(1)切線的方程：2)求證S(/)We(1)解：/(*)=(1)=一,-X,切線的斜率為一故切線的方程為ye=er(x-t),即e1x+y-(2)證實(shí)：令),=0得x=/+l,又令x=0得 S;(f+1)./(f+1)=+I*221從而S(/)=2當(dāng)fe(0,1)時(shí),S(f)0,當(dāng)fe(1,+eo)時(shí),S(f)0,22 S(a的最大值為SQ)=_,BPS(t)0,401),給定x-a區(qū)間4+2,4+3.(1)假設(shè)/(x)與g(x)在區(qū)間.+2,4+3上都有意義,求的取值范圍；(2)討論函數(shù)/(X)與g(x)在區(qū)間卜+2/+3上是否“友好.答案：(1)函數(shù)X)與g(x)在區(qū)間a+2,a+3上有意義,.+2-3.0必須滿足0=.10a,aH1(2)假設(shè)存有實(shí)數(shù),使得函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間.+2,+3上是“友好的,那么(X)-s(x)|=卜Oga(Y-4.+3/)|nlog.(A-2-4ax+36/2