高中數(shù)學新定義題

1、、單項選擇題新定義題第I卷(選擇題)1.定義一種新運算：ab=3a,(a豈b),函數(shù)b,(ab)2x4一f(x)=2X,假設函數(shù)xg(x)=f(x)-k恰有兩個零點,那么實數(shù)k的取值范圍為()A.(0,1)(1,22,二)(2,二)2x(x0)2V2【解析】試題分析：由題可知,f(x)=2x=(一(0x1),回出圖像如圖,當函xx2x(x1)數(shù)g(x)=f(x)-k恰有兩個零點,即函數(shù)“*)=卜有兩個交點時,實數(shù)k的取值范圍2.設函數(shù)y=f(x)在(*,y)內(nèi)有定義,對于給定的正數(shù)Kf(x),f(x)K,1,一,當K=一時,函數(shù)2fK(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.(,0)B.(0,)C.(,1

2、)D(1二)【解析】試題分析：依題意可知,當f(x)=22Txi2,2,24x|21224x|,|x|-115|x|1(1)x,x-12x,xw-11.一,T父x0,a1)是定義域為R的成功函數(shù),那么t的取值范圍為()A-1C1d八C1cC1A.1-0,-IB.-,1IC.0,-ID.0,-【解析】試題分析：無論0a1,都有g(shù)(x)是增函數(shù),故g(a)=a,g(b)=b,所以方程g(x)=x有兩個根,即ax=a2x+t有兩個根,設m=ax,那么直線y=t與函數(shù)y=-m2+m(ma0)有兩個交點,畫出這兩個圖象可以看出t的取值范圍是0,-i,顯然此時函數(shù)定義域為R.,44 .定義：對于一個定義域

3、為的函數(shù),假設存在兩條距離為的直線和,使得時,恒有,那么稱在內(nèi)有一個寬度為的通道.以下函數(shù)：；一其中有一個寬度為2的通道的函數(shù)的序號為A.B.C.D.【答案】D【解析】可由作圖所得,作圖可知有一個寬度為1的通道,由定義可知比1大的通道都存在5 .如果定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對于任意x1#x2,者B有x1f(x1)+x2f(x2)x1f(x2)+x2f(x1),那么稱f(x)為“H函數(shù).給出以下函數(shù)：y=x3+x+1；xln|x|x二0y=3x2(sinxcosx);y=e+1；f(x)=W,其中H函0x=0數(shù)的個數(shù)是()A.4B.3C.2D.1【解析】試題分析：,對于任意給定的不等實數(shù)x

4、1,x2,不等式x1f(x1)+x2f(x2)Xif(x2)+x2f(x1)恒成立,.不等式等價為(xx2)f(x1)f(x2)0恒成立,即函數(shù)f(x)是定義在R上的O線O:號O線O訂O裝考:級班:名姓核訂O裝O學O外O內(nèi)O增函數(shù).y=-x3+x+1；y=-3x2+1,那么函數(shù)在定義域上不單調(diào).兀y=3x-2(sinx-cosx)；y=3-2(cosx+sinx)=3-222sin(x+)0,函數(shù)單調(diào)4遞增,滿足條件.ln|x|fx：0y=ex+1為增函數(shù),滿足條件.x:0,當x0時,函數(shù)單調(diào)遞增,當x=0xv0時,函數(shù)單調(diào)遞減,不滿足條件.綜上滿足“H函數(shù)的函數(shù)為,6.設函數(shù)的定義域為R,假

5、設存在常數(shù)M0,使對一切實數(shù)x均成立,那么稱為惜約束函數(shù),現(xiàn)給出以下函數(shù)：是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù),且對一切均有,其中是倍約束函數(shù)的有A.1個B.2個C.3個D.4個【解析】試題分析：解：對于函數(shù),存在,使對一切實數(shù)x均成立,所以該函數(shù)是倍約束函數(shù)；對于函數(shù),當時,故不存在常數(shù)M0,使對一切實數(shù)x均成立,所以該函數(shù)不是惜約束函數(shù)；對于函數(shù),當時,故不存在常數(shù)M0,使對一切實數(shù)x均成立,所以該函數(shù)不是倍約束函數(shù)；對于函數(shù),由于當時,；當時,二,所以存在常數(shù)一,使對一切實數(shù)x均成立,所以該函數(shù)是倍約束函數(shù)；由題設是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù),所以在中令,于是有,即存在常數(shù),使對一切實數(shù)x均成立,所

6、以該函數(shù)是倍約束函數(shù)；綜上可知倍約束函數(shù)的有共三個,所以應選C.考點：1、新定義；2、賦值法；3、根本初等函數(shù)的性質(zhì).二、填空題OO7.假設定義在區(qū)間上的函數(shù)同時滿足條件：1在上是單調(diào)函數(shù)；2存在區(qū)間,使得國數(shù)在區(qū)間上的值域為,那么稱函數(shù)為區(qū)間上的閉函數(shù),卜列說法正確的選項是.線線函數(shù)一毋定義域上是閉函數(shù)；函數(shù)不是上的閉函數(shù)；假設一個函數(shù)是定義域上的閉函數(shù),那么滿足定義中條件2的區(qū)間是唯一的；函數(shù)是上的閉函數(shù),且滿足定義中的條件2的區(qū)間為OO【答案】【詳解】不是閉函數(shù),如取x1=2,x2=3,那么fx2-fx1=-,X題X如取x1=-,x2=-,而fx2-fx1=-0,故fx在上不是單調(diào)函數(shù),

7、也X答X不是閉函數(shù),故不止確；訂X內(nèi)X訂在上是單調(diào)遞增函數(shù),假設存在ba,fa=2a+1,有fb=2b+12a+1,X線X即值域為2a+1,2b+1,假設滿足閉函數(shù)條件,那么a=2a+1,b=2b+1,解得a=b=-1,X訂X與ba不符,故不是閉函數(shù),正確；OX裝XO如y=x,在R上是單調(diào)遞增函數(shù),y=x在1,5的值域為1,5,在2,3上的值域為X在X2,3,故在R上是閉函數(shù),且存在兩個,故不正確；裝X要興裝根據(jù)閉函數(shù)的概念,易知是上的閉函數(shù),X不=X,y=-x3是a,b上的減函數(shù),那么=,解得a=-1,b=1,故正確.Kx請X故答案為.OO8.設函數(shù)的定義域為D,假設存在非零實數(shù)使得對于任意

8、,有,且,那么稱為M上的高調(diào)函數(shù).如果定義域為的函數(shù)為上的高調(diào)函數(shù),那么實數(shù)的取值內(nèi)外范圍是O如果定義域為R的函數(shù)是奇函數(shù),當時,且為R上的4高調(diào)函數(shù),那么實數(shù)的取值范圍是.【解析】根據(jù)題意可知在T,+上的任意x設x=x+m有y-1恒成立,推斷出m-1-x恒成立,進而卞據(jù)x的范圍可推知-1-x最大為0,判斷出m的范圍,進O線E1O線OO訂號考:訂O級班O裝O名姓核學裝O外O內(nèi)O而根據(jù)f(x+m)f(x),求得(x+m)2x2,化簡求得m-2x恒成立,進而根據(jù)x的范圍確定-2x的范圍,進而求得m的范圍.定義域為R的函數(shù)f(x)是奇函數(shù),當x0時,f(x)=|x-a2|-a2,畫出函數(shù)圖象,可得4

9、3a2-(-a2)得-Ka0,白1或口3.if清=(*+%)一乂一一-+,n-m取取大值為些,此時3.310.設函數(shù)f(x)的定義域為D,假設函數(shù)y=f(x)滿足以下兩個條件,那么稱y=f(x)在定義域D上是閉函數(shù).y=f(x)在D上是單調(diào)函數(shù)；存在區(qū)間b,bD,使f(x加b,b】上值域為fa,bl如果函數(shù)f(x)=,2x+1+k為閉函數(shù),那么k的取值范圍是.【解析】假設函數(shù)f(x)=J2x+1+k為閉函數(shù),那么存在區(qū)間La,bl,在區(qū)間la,b】上,函數(shù)f(x)的值域為Ia,b,a.2a1k即,.a,b是萬程x=12x+1+k的兩個實數(shù)根,b=2b1k即a,b是方程x2(2k+2)x+k2-

10、1=0x-,xkl的兩個不相等的實數(shù)根,2二(2k+2)f_4(k2-1)01當kM-一時,21212k2k2-1_02k2122一r1解得-1:二kM-；2=(2k+2)T-4(k2-1)01_99當k一一時,f(k)=k2(2k+2)k+k21a022k2,k2一一.一一,、,一.r1解得k無解.綜上,可得_1)存在“H區(qū)間,那么正數(shù)aX題*_x_a(x0,訂X訂xx內(nèi),口ax.得*0,得01時,y-興lnxlnxlnxX一一一.2a-2x2a在xe時取得取小值2e,在xa時,故方程a-有兩解,aE,即在必lnalnxlnaX.2一2_aWe,故a的取值氾圍為(2e,e；裝要X裝當x:a時

11、,函數(shù)f(x)為單調(diào)遞減,那么當x=m時,取得最大值,當x=n時,取得最不X一：alnmm=n,廣X請小值,即4,兩式相減得,alnmalnn=0,即m=n,不符合；Xalnn-n=mOO當x0時,函數(shù)f(x)為單調(diào)遞減,那么當x=m時,取得最大值,當x=n時,取得最mman小值,即m,兩式相減可以得到J=m+J-n=1,回帶到方程組的第一個v-n-a=m內(nèi)外式子得到1-Jn-a=n,整理得到1_J_n-n=a,由圖像可知,方程有兩個解,332那么aW(1,1綜上所述,正數(shù)a的取值范圍是(,1U(2e,e2.15.函數(shù),對函數(shù),定義關于的對稱函數(shù)為函數(shù).即滿足對任意,兩點關于點OO中,函數(shù)一為

12、定義域上的奇函數(shù),但不是定義域上的單調(diào)減函數(shù),所以不正對稱.假設是關于的對稱函數(shù),且恒成立,那么實數(shù)的取值范圍是.【解析】由對稱函數(shù)的定義及中點坐標公式得二所以,恒成立即,恒成立,亦即直線位于半圓的上方.在同一坐標系內(nèi),畫出直線F=3h+匕及半圓i_44_Y如下圖,當直線與半圓相切時,一解得一,故答案為一.三、解做題16.對于定義域為I的函數(shù)y=f(x),如果存在區(qū)間m,n=I,同時滿足：f(x通lm,n內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；當定義域是m,n,f(x)值域也是lm,M,那么稱Im,n】是函數(shù)y=f(x)的“好區(qū)間.(1)設g(x)=loga(a、a)均a(ax3-a)(其中a0且a=1),判斷g(x)

13、是否存在“好區(qū)間,并說明理由；2t2tx-11(2)函數(shù)P(x)=2(twR,t#0)有“好區(qū)間lm,n,當t變化時,求txn-m的最大值.【答案】(1)g(x件存在“好區(qū)間；(2)n-m的最大值為翌3.3ax2a0試題解析：(1)由V=ax3a.2分ax-3a0當a1時,xloga(3a),此時定義域D=(loga(3a),收),Vxhx2wD,x1x2,ax1:ax2,0；a*-2a:二ax2-2a,0：a*-3a:ax2-3a,loga(ax1-2a)；loga(ax2-2a),loga(ax1-3a)二loga(ax-3a),g(x1)(g%),g(x)在D=(loga(3a),收)內(nèi)

14、是增函數(shù)；4分當0ac1時,xloga(3a),此時定義域D=(-0,loga(3a),同理可證g(x)在D=(-,loga(3a)內(nèi)是增函數(shù)；6分二g(x)存在“好區(qū)間g(m)=mm,nu三m,nwD(m3a,2p(3a)=9a2-(5a1)3a6a20所以函數(shù)g(x件存在2?區(qū)間.8分,、t2tx-1(2)由題設,函數(shù)P(x)=2(twR,t0)有“好區(qū)間Im,n,二m,nJ(-,0)或m,nJ(0,依),函數(shù)P(x)=耳1-1-在Im,M上單調(diào)遞增,ttxp(m)=m二?,所以m,n是萬程p(x)=x,即萬程t2x2(t2+t)x+1=0有同號的相p(n)=n異實數(shù)根.12分1.222*

15、mn=0,m,n同號,=(t+t)-4t0=11或10.(1)假設,求的取值范圍；(2)假設為周期函數(shù),證實：是常值函數(shù)；(3)設恒大于零,是定義在上、恒大于零的周期函數(shù),是的最大值函數(shù).證實:“是周期函數(shù)的充要條件是“是常值函數(shù)【答案】(1)；(2)見解析；3見解析【詳解】(1)解：由f(x“Wf(x2),得f(x1)f(x2)=a(x13-23)18.設定義在上的函數(shù)滿足：對于任意的、,當時,都有,x1vx2,xx23v0,得a0.故a的范圍是0,+0)；(2)證實：假設f(x)是周期函數(shù),記其周期為Tk,任取xR,那么有f(x0)=f(x0+Tk),由題意,對任意x%,x0+Tk,f(x

16、0)Wf(x)wf(x0+Tk),f(x0)=f(x)=f(K+Tk).又f(x.)=f(x0+nTk),nZ,并且Ux03限,x02限ux02限,x0TkUx0Tk,x0Ux0,x0+TkUx0+Tk,x0+2TkU-=R,對任意xR,f(x)=f(x0)=C,為常數(shù)；(3)證實：充分性：假設f(x)是常值函數(shù),記f(x)=C1,設g(x)的一個周期為Tg,那么h(x)=ci?g(X),那么對任意X0R,h(X0+Tg)=ci?g(X0+Tg)=ci?g(X0)=h(X0),故h(x)是周期函數(shù)；必要性：假設h(x)是周期函數(shù),記其一個周期為Th.假設存在Xi,X2,使得f(Xi)0,且f(

17、X2)X2,那么必然存在正整數(shù)Ni,使得X2+NiTkXi, -f(X2+NiTk)f(xi)0,且h(X2+NiTk)=h(X2).又h(x2)=g(x2)f(x2)0wh(X2),矛盾.綜上,f(x)0恒成立.由f(x)0恒成立,任取X0A,那么必存在N2N,使得X0-N2Thg(X0N2Th)0,f(X0)f(x0NzTh)0.因此假設h(x0)=h(x0-N2Th),必有g(shù)(X0)=M=g(x0-N2Th),且f(X0)=f(x0 NzTh)=c.而由(2)證實可知,對任意xR,f(x)=f(X0)=C,為常數(shù).綜上,必要性得證.i9.定義：如果函數(shù)在定義域內(nèi)給定區(qū)間上存在,滿足,那么

18、稱函數(shù)是上的“平均值函數(shù),是它的均值點(2)現(xiàn)有函數(shù)是-,上的平均值函數(shù),那么求實數(shù)的取值范圍.【答案】(i)它的均值點為；(2)【詳解】(i),又由于的解有且只有,所以是上的“平均值函數(shù),且它的均值點為；(2)由于函數(shù)是-,上的平均值函數(shù),所以即關于的方程在內(nèi)有實數(shù)根,即在內(nèi)有實數(shù)根,(i)是否是-,上的“平均值函數(shù),如果是請找出它的均值點；如果不是,請說明理由；O線O訂O線O訂O裝:號考:級班:名姓核O裝O學O外O內(nèi)O當,即時,函數(shù)在有一個零點,滿足條件；當,即-時,方程根為-,滿足條件；當,即-時,要使得方程在內(nèi)啟實數(shù)根,令,那么那么,且函數(shù)的對稱軸在上,即一,解得一；綜上：.20.假設

19、函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的每一個值x1,在其定義域內(nèi)都存在唯一的x2,使f(x1)f(x2)=1成立,那么稱該函數(shù)為儂賴函數(shù)(1)判斷函數(shù)g(x)=2x是否為儂賴函數(shù),并說明理由；(2)假設函數(shù)f(x)=(x-1)2在定義域m,n(m1)上為依賴函數(shù),求實數(shù)m、n乘積mn的取值范圍；444(3)函數(shù)f(x)=(x-a)2(a1,f(x)=(xT)2在m,n遞增,故f(m)f(n)=1,即(mT)2(n)2=1,由nm1,得(mT)(nT)=1,故n=m,m-1由nm1,得1m2,.m21從而mn=m-1+2在m=(1,2)上單倜遞減,故mn=(4,收),m7m-1424(3)因a一,故fx=

20、x-a在.|-,4上單倜遞增,3_3從而f-i-f(4)=1,即5a3313解得a=1或a=上(舍),34從而,存在x匚,4,使得對任思的tCR,有不等式4.a4-a)=1,322(x1)t+(st)x+4者B_3成立,即t2+xt+x2(s+2)x3之0恒成立,由X=x2-4x2-(s+2)x-30,得4(s+2Jx3x2-12,由xwg,4L可得4(s+2K3x12,又y=3x_12在xI-4I單調(diào)遞增,故當x=4時,Lx121=9,x3.xmax1 1從而4(s+2)E9,解得s-,故實數(shù)s的最大值為一.4 421.假設函數(shù)f(x)在xwla,b時,函數(shù)值y的取值區(qū)間恰為1,1,就稱區(qū)間

21、a,b為baf(x)的一個“倒域區(qū)間.定義在12,2上的奇函數(shù)g(x),當xw0,2時,、2八g(x)-x2x(I)求g(x)的解析式;(n)求函數(shù)g(x)在1,2內(nèi)的“倒域區(qū)間；(出)假設函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)所有“倒域區(qū)間上的圖像作為函數(shù)y=h(x)的圖像,是否存在實數(shù)m,使集合(x,y)y=h(x)d(x,yjy=x2+m恰含有2個元素.【答案】(i)g(x)-2x+2x,x2(n)乩15(出)m=-2x22x,x1-2,02【解析】試題解析：(I)當xW1-2,0)時,g(x)=-g(-x)=-(-xf+2(-x)=x2+2x-x22x,x三02】gx-x22x,x1-2,0(n)設1

22、wavbw2,g(x)在x1,2上遞減,12-=gb=-b2b12-=ga-a2aa整理得i“2._|；a-1ji.a-a-1=0K.b-1)1b-b-1-0a=1解得1+5b=O線O線OX題XOX答X訂X內(nèi)X訂X線XOX訂XX謝O衣XX在X裝X要X裝X不XOX請XO內(nèi)O外OL2g(x堆1,2】內(nèi)的“倒域區(qū)間為(m)g(x濟xwa,b時,函數(shù)值y的取值區(qū)間恰為J,其中a#b,a,b#0_baa二b11,.a,b同號.只考慮0vavb2或一2wavb0|ba1當0vavbw2時,根據(jù)g(x)的圖像知,g(x)最大值為1,W1,aw1,2),a151WaVbW2,由(n)知g(x)在1,2內(nèi)的“倒

23、域區(qū)間為|1,5;一2一當一2wavb-1,b=(-2,-11,b一5.2WabW1,同理知g(x網(wǎng)2,1內(nèi)的“倒域區(qū)間為|引51.2一1+V51-x2+2x,xw|1,t21.5x2x,x,-12依題意：拋物線與函數(shù)h(x)的圖象有兩個交點時,一個交點在第一象限,一個交點在第三象限.因此,m應當使方程x2+m=x2+2x,在|1,二W5%恰有一個實數(shù)根,一2并且使方程x2+m=-x2+2x,在一二,內(nèi)恰有一個實數(shù)-21由方程2x-2x2=m在|1-內(nèi)恰有一根知一2MmM0;一,2由方程x2+m=-x2+2x在|二一1內(nèi)恰有一根知一1一J5m-2,一2一綜上：m=-2.22.記函數(shù)的定義域為D

24、,如果存在實數(shù)、使得對任意滿足且的x恒成立,那么稱為函數(shù).(1)設函數(shù)-,試判斷是否為函數(shù),并說明理由；(2)設函數(shù),其中常數(shù),證實：是函數(shù)；(3)假設是定義在上的函數(shù),且函數(shù)的圖象關于直線(m為常數(shù))對稱,試判斷是否為周期函數(shù)并證實你的結(jié)論.解析：1-是函數(shù)理由如下：-的定義域為只需證實存在實數(shù),使得對任意恒成立.由,得一,即-.所以對任意恒成立.即從而存在,使對任意恒成立.所以-是函數(shù).(2)記的定義域為,只需證實存在實數(shù),使得當且時,恒成立,即一恒成立.所以化簡得,.所以,.由于,可得一,即存在實數(shù),滿足條件,從而是函數(shù).3函數(shù)的圖象關于直線為常數(shù)對稱,所以(1),又由于,所以當時,由1由(2)(3)所以取由3得再利用3式,.所以為周期函數(shù),其一個周期為