備戰(zhàn)中考數(shù)學壓軸題之反比例函數(shù)(備戰(zhàn)中考題型整理,突破提升)附答案

1、一、反比例函數(shù)真題與模擬題分類匯編(難題易錯題)1.如圖，一次函數(shù)y=x+4的圖象與反比例函數(shù)y=A-(k為常數(shù)，且心0)的圖象交于A(-1,a),B(b,1)兩點.(1) 求反比例函數(shù)的表達式；(2) 在x軸上找一點P,使PA+PB的值最小，求滿足條件的點P的坐標:(3) 求八PAB的面積.【答案】(1)解：當X=-1時，a=x+4=3,.點A的坐標為(-1,3)將點A(1,3)代入工中，k3=,解得：k=-3,J.反比例函數(shù)的表達式為療X(2)解：當y=b+4=l時，b=-3,.點B的坐標為(3,1).作點B關于x軸的對稱點D,連接AD,交x軸于點P,此時PA+PB的值最小，如圖所示.點B

2、的坐標為(3,1),二點D的坐標為(3,-1).設直線AD的函數(shù)表達式為y=mx+n,將點A(1,3)、D(-3,-1)代入y=mx+n中，r一m+h=2tn=2-3m3=-/,解得：、=5,/.直線AD的函數(shù)表達式為y=2x+5.5當y=2x+5=。時，x=幻5.點P的坐標為（-2,0）1113（3）ft?:Sapab=Saabd-S、bdp=匕x2x2-x2x2=2【解析】【分析】（1）由一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點A的坐標，根據(jù)點A的坐標利用待定系數(shù)法，即可求出反比例函數(shù)的表達式：（2）利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點B的坐標，作點B關于x軸的對稱點D,連接AD,交x軸于點P

3、,此時PA+PB的值最小，由點B的坐標可得出點D的坐標，根據(jù)點A、D的坐標利用待定系數(shù)法，即可求出直線AB的函數(shù)表達式，再由一次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出點P的坐標；（3）根據(jù)三角形的而積公式結合Sapab=Saabd-Sabdp,即可得出結論.2.如圖，點P（x,力）與Q（x,y2）分別是兩個函數(shù)圖象C】與C2上的任一點.當axb時，有-Xy】-y2l成立，則稱這兩個函數(shù)在axb是相鄰函數(shù)”，否則稱它們在axb上是“非相鄰函數(shù)例如，點P（x,yx）與Q（x,y2）分別是兩個函數(shù)y=3x+l與y=2x-1圖象上的任一點，當-3x-1時，yi-y2=（3x+l）-（2x-1）=x+2,通過構

4、造函數(shù)y=x+2并研究它在-3x-1上的性質，得到該函數(shù)值的范圍是-lyl,所以-lyi-y2l成立，因此這兩個函數(shù)在3公1上是“相鄰函數(shù).（1）判斷函數(shù)y=3x+2與y=2x+l在-2x0上是否為相鄰函數(shù)，并說明理由:（2）若函數(shù)y=x2-x與療xa在0x2上是相鄰函數(shù),求a的取值范圍；（3）若函數(shù)y=/與療2x+4在1VXV2上是相鄰函數(shù)，直接寫出a的最大值與最小值.【答案】（1）解：是相鄰函數(shù)”，理由如下：yi-y2=（3x+2）（2x+l）=x+l,構造函數(shù)y=x+l,/y=x+l在-2x0,是隨著x的增大而增大,.當x=0時，函數(shù)有最大值1,當x=-2時，函數(shù)有最小值-1,即-lyl

5、,.-lyi-y2l,即函數(shù)y=3x+2與y=2x+l在-2xy=x2-2x+a=(x-1)2+(a-1),頂點坐標為：(1,a-1),又.拋物線y=x2-2x+a的開口向上，.當x=l時，函數(shù)有最小值a-1,當x=0或x=2時，函數(shù)有最大值a,即a-lya,函數(shù)y=x2-x與y=x-a在0x2上是“相鄰函數(shù)”,/aW1:.-lyi-y2l.即-1A,:.0al(3)解:NfX-(2x+4)=*+2x4，構造函數(shù)y=*+2x-4，a/y=a+2x4.當x=l時，函數(shù)有最小值a-2,aa當x=2時，函數(shù)有最大值幻即a-2y,a函數(shù)y=I與y=-2X+4在1X2上是“相鄰函數(shù)，a疽/.-lyi-y

6、2l*即a-2A1,:.la2；.a的最大值是2,a的最小值1【解析】【分析】(1)yi-yz=3x+2)-(2x+l)=x+L構造函數(shù)y=x+l,因為y=x+l在-2x0,是隨著x的增大而增大，所以當x=0時，函數(shù)有最大值1,當x=-2時，函數(shù)有最小值1,即lylt所以lYi-y2l，即函數(shù)y=3x+2與療2x+l在2xV0上是“相鄰函數(shù)：(2)yi-yz=(x2-x)-(x-a)=x2-2x+a,構造函數(shù)y=x2-2x+a因為y=x2-2x+a=(x-1)2+(a-1),所以頂點坐標為：(1,a-1),又拋物線y=x2-2x+a的開口向上，所以當X=1時，函數(shù)有最小值a-1,當x=0或x=

7、2時，函數(shù)有最大值a,即a-lya,因為函數(shù)y=x2-x與y=x-a在0公2上是“相鄰函數(shù)，所以-1力-y2l,即aa0al；(3)當x=l時，函數(shù)有最小值a-2,當x=2時，函數(shù)有最大值乏，因為函數(shù)y=】與y=-2x+4在lx2上是“相鄰函數(shù)，-lyi-y2l即la0)的圖象上，并已知B】(1,1).（1）求反比例函數(shù)y=*的解析式：（2）求點P2和點P3的坐標;，點（3）由（1）、（2）的結果或規(guī)律試猜想并直接寫出：PnBnO的面積為Pn的坐標為（用含n的式子表示）.【答案】（1）解：在正方形0P】A】B1中，0A是對角線，則&與P】關于y軸對稱，Bi（-1,1）,/.Pi（1,1）.=A

8、則k=lxl=l,即反比例函數(shù)解析式為y0Ai=2設點P2的坐標為（a,a+2）,分別交y軸于點E、F,故點P2的坐標為（建-1，6+1），則AiE=A2E=2-2OA2=OAi+AiA2=2,設點P3的坐標為（b,b+2您），1代入疔工（A0）可得故點P3的坐標為（俟,&塞）（3）1：（展涂1,晶而,】）11【解析】【解答】解：（3）.Syp島噸C2x2=5fe25WC=2x2=lf.PnBQ的面積為1,由Pl（1,1）、P251,/+1）、P3（G捱，&S）知點Pn的坐標為（鬲（=1,求雙曲線和拋物線的解析式：計算AABC的面積；如圖2,將拋物線平移至頂點在原點上時，直線AB隨之平移，試判

9、斷：在y軸的負半軸上是否存在點P，使八PAB的內切圓的圓心在y軸上？若存在，求出點P的坐標：若不存在，請說明理由.）,故答案為：1、（面-對口-面+!口-1）.【分析】（1）由四邊形OPiAiB】為正方形且0A】是對角線知B】與P】關于y軸對稱，得出點P】（1,1）,然后利用待定系數(shù)法求解即可；（2）連接P2B2、P3B3,分別交y軸于點E、F,由點P】坐標及正方形的性質知0Ai=2,設P2的坐標為（a,a+2），代入解析式求得a的值即可，同理可得點P3的坐標：（3）先分別求得SaPiBQ、SAP2B2O的值，然后找出其中的規(guī)律，最后依據(jù)規(guī)律進行計算即可.4.如圖1,經過原點的拋物線y=ax2

10、+bx+c與x軸的另一個交點為點C；與雙曲線y“相交于點A,B；直線AB與分別與x軸、y軸交于點D,E.已知點A的坐標為（-1,4），點B在第四象限內且到x軸、y軸的距離相等.-1x4=-4.【答案】（1）解：把點A的坐標代入雙曲線的解析式得:4所以雙曲線的解析式為y=-設點B的坐標為（m,-m）.點B在雙曲線上，/.-m2=-4,解得m=2或m=-2.點B在第四象限，m=2.B（2,-2）a-b+c=44a+2b+c=-2將點A、B、C的坐標代入得：c=0,a=1b=-3解得：c=0.:.拋物線的解析式為y=x2-3x.（2）解：如圖1,連接AC、BC.令y=0則x2-3x=0,二x=0或x

11、=3,二C(3,0),A(1,4),B(2,-2),/.直線AB的解析式為y=-2x+2,點D是直線AB與x軸的交點，D(1,0),11Saabc=Saadc+Sabdc=匕x2x4+2x2x2=6;(3)解：存在，理由：如圖2,由原拋物線的解析式為y=x2-3x=(x-乏)2-4,59原拋物線的頂點坐標為(*,-),39拋物線向左平移？個單位，再向上平移旨個單位，而平移前A(-1,4),B(2,-2),52511.平移后點A(-?,1),B($,?),525:.點A關于y軸的對稱點N0)與2=-*(xVO)的圖象上，A、B的橫坐標分別為a、b.備用圖(1) 若ABIIx軸，求ZiOAB的而積

12、：(2) 若AOAB是以AB為底邊的等腰三角形，且a+b#0,求ab的值：(3) 作邊長為2的正方形ACDE,使ACIIx軸，點D在點A的左上方，那么，對大于或等3于3的任意實數(shù)a,CD邊與函數(shù)Y1=a-(x0)的圖象都有交點，請說明理由.5J【答案】(1)解：由題意知，點A(a,a),B(b,-E),ABHx軸，3_3一.$b,/.a=-b：AB=a-b=2a,13LSaqab=20,b0,/.ab0)的圖象都有交點.理由：如圖，a3AC=2,直線CD在y軸右側且平行于y軸，3直線CD-定與函數(shù)yi=A(x0)的圖象有交點，3.四邊形ACDE是邊長為2的正方形，且點D在點A(a,指)的左上方

13、，二C(a2,目)，3D(a-2,右+2),3設直線CD與函數(shù)yi=I-(x0)相交于點F,3二F(a2,打一乏),336:.FC=8一乏a-a(a-2),62(a+1)(a-3):.2-FC=2-2)=a(a-2),Va3,a-20,a-320,2(a十1)(a-3):.a(a-2)20,2-FC0,FC0)的圖象都有交點.【解析】【分析】(1)先判斷出a=b,即可得出AB=2a,再利用三角形的而積公式即可得出結論；（2）利用等腰三角形的兩腰相等建立方程求解即可得出結論；（3）先判斷出3直線CD和函數(shù)y1=1（x0）必有交點，根據(jù)點A的坐標確定出點C,F的坐標，進而得出FC,再判斷FC與2的

14、大小即可.6.平面直角坐標系xOy中，己知函數(shù)（x0）與*（x0）圖象上的兩點，點P是y2=-I-（x0）個單位長度后與反比例函數(shù)的圖象有且只有一個公共點，求m的值.8【答案】（1）解：把A（-2,b）代入-一；，8得b=-Z=4,所以A點坐標為（-2,4）,把A（-2,4）代入y=kx+5,1得-2k+5=4,解得k=$,1所以一次函數(shù)解析式為療公+5：（2）解：將直線AB向下平移m（m0）個單位長度得直線解析式為疔&+5m,8*二一一/XY=-x+5_m根據(jù)題意方程組2只有一組解，61消去y得-*x+5-m,1整理得x2-（m-5）x+8=0,1=（m-5）2-4x2x8=0,解得m=9或

15、m=l,即m的值為1或9.【解析】【分析】（1）先利用反比例函數(shù)解析式求出b=4,得到A點坐標為（.2,4）,然后把A點坐標代入疔kx+5中求出k,從而得到一次函數(shù)解析式：（2）由于將直線AB向下平移m（m0）個單位長度得直線解析式為g，又與反比例函數(shù)有且只有一個公共點，可組成方程組，且只有一組解，然后消去y得到關于X的一元二次方程，再根據(jù)判別式=0得到關于m的方程，最后解方程求出m的值.9. 理數(shù)學興趣小組在探究如何求tanl5。的值，經過思考、討論、交流，得到以下思路:/60,C思路一如圖1,在RtAABC中，匕090,ZABC=30%延長CB至點D,使BD=BA,連接12-娘AD設AC=

16、1,貝ljBD=BA=2,BC=.tanD=tanl5=2+$=（2+、（2-y3）=2-必.taila土tan歹思路二利用科普書上的和（差）角正切公式：tan（ap）=1士.假設tan切-tan45。y3-1a=60,B=45代入差角正切公式：tanl5=tan（60-45）=+tan60tan,5=1+小=2-.思路三在頂角為30。的等腰三角形中，作腰上的高也可以.思路四.請解決下列問題（上述思路僅供參考）.（1）類比：求出tan75的值；（2）應用：如圖2,某電視塔建在一座小山上，山高BC為30米，在地平而上有一點A,測得A,C兩點間距離為60米，從A測得電視塔的視角（匕CAD）為45。

17、，求這座電視塔CD的高度：14V-X-17-（3）拓展：如圖3,直線2與雙曲線X交于A,B兩點，與y軸交于點C,將直線AB繞點C旋轉45。后，是否仍與雙曲線相交？若能，求出交點P的坐標：若不能，請說明理由.【答案】（1）解：方法一：如圖1,囹1在RtAABC中，匕C=90,ZABC=30延長CB至點D,使BD=BA,連接AD.設AC=1,則DCDB2+物BD=BA=2,BC=WtanZDAC=tan75=AC=1=2+1tan5，tan303+/j方法二：tan75=tan（45+30）=/-taiW5tan匆=3=3-、后=2，p（2）解：如圖2,:DI；60,C0k瀏K口8圖2BC30_1

18、在RtAABC中，AB=J_祁=J就_3花=3Oj3,sinZBAC=AC602,即DbZBAC=30.ZDAC=45,二ZDAB=45o+30o=75在RtAABD中，tanZDAB=AB,/.DB=AB*tanZDAB=30（2斗旅）=603+96,DC=DB-BC=603+90-36=5公0+66.答：這座電視塔CD的高度為（60s3。血）米（3）解：若直線AB繞點C逆時針旋轉45。后，與雙曲線相交于點P,如圖3.過點C作CDIIx軸，過點P作PECD于E,過點A作AFCD于F.解方程組:=4)=2,得：(y=7或)=一2,.點a(4,1),點B(2,v-2).對于2*,當x=0時，y=

19、-1,則C(0,-1),AF21OC=1,.CF=4,AF=1:.tanZACF=CF42,/,tanZPCE=tan(ZACP+ZACF)=tanPEP的坐標為（a,b）,(45+ZACF)=1-taiWJtan匕40=乏=3,即區(qū)=3.設點ab=41=3則有：打，4-1尸二I解得：b=-4或b=3,點P的坐標為（1,-4）或（S3）；若直線AB繞點C順時針旋轉45。后，與x軸相交于點G,如圖4.4由可知匕ACP=45,P(3,3)，貝ljCP_LCG.過點P作PHy軸于H,則GO_OC1ZG0C=ZCHP=90ZGCO=90-ZHCP=ZCPH,二GOC-CHP,/.CHHF./CH=3G

20、O_34V4MB(1)=4,PH=3,OC=1,3,.G0=3,G(3,0)設直線CG的解析一3k+b=0i3式為y=kx+b,則有：b=-1，解得：b=-/,直線CG的解析式為1v=x1/31Z441YX1/=二一x13.聯(lián)立：x,消去y,得：*3,整理得：+3x+12=6,.仕=一4X1X12=-396,方程沒有實數(shù)根，.點P不存在.綜上所述：直線AB繞點C旋轉45。后，能與雙曲線相交，交點P的坐標為(1,-4)或4（3,3）.【解析】【分析tanZDAC=tan75,tanZDAC用邊的比值表示.在RtAABC中，由勾股定理求出AB,由三角函數(shù)得出ZBAC=30從而得到ZDAB=75%在RtAABD中，可求出DB,DC=DB-BC.分兩種情況討論，設點P的坐標為（a,b），根據(jù)tan/PCE和P在圖像上列出含有a,b的方程組，求出a,b.利用已知證明GOC-幺CHP,根據(jù)相似三角形的性質可求出G的坐標，設出直線CG的解析式，與反比例函數(shù)組成方程組消元，0)上一點N,y軸正半軸上一點M,且四邊形ABMN是平行四邊形，求M點的坐標.【答案】(1)解：LA(0,4),B(3,0),C(2,0),OA=4,OB=3,OC=2,AB=寸軟冰=5,BC=5,二AB二BC,D為B點關于AC的對稱點，.AB二AD,