考研數(shù)學(xué)重點(diǎn)筆記(2)資料

1、第一部分第一章集合與映射§1.集合§2.映射與函數(shù)本章教學(xué)要求：理解集合的概念與映射的概念，掌握實(shí)數(shù)集合的表示法，函數(shù)的表示法與函數(shù)的一些基本性質(zhì)。第二章數(shù)列極限§1.實(shí)數(shù)系的連續(xù)性§2.數(shù)列極限§3.無(wú)窮大量§4.收斂準(zhǔn)則本章教學(xué)要求：掌握數(shù)列極限的概念與定義，掌握并會(huì)應(yīng)用數(shù)列的收斂準(zhǔn)則，理解實(shí)數(shù)系具有連續(xù)性的分析意義，并掌握實(shí)數(shù)系的一系列基本定理。第三章函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)§1.函數(shù)極限§2.連續(xù)函數(shù)§3.無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的階§4.閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)本章教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的概念，函數(shù)極限

2、與數(shù)列極限的關(guān)系，無(wú)窮小量與無(wú)窮大量階的估計(jì)，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)。第四章微分§1.微分和導(dǎo)數(shù)§2.導(dǎo)數(shù)的意義和性質(zhì)§3.導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算和反函數(shù)求導(dǎo)法則§4.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及其應(yīng)用§5.高階導(dǎo)數(shù)和高階微分本章教學(xué)要求：理解微分，導(dǎo)數(shù)，高階微分與高階導(dǎo)數(shù)的概念，性質(zhì)及相互關(guān)系，熟練掌握求導(dǎo)與求微分的方法。第五章微分中值定理及其應(yīng)用§1.微分中值定理§2.L/Hospital法則§3.插值多項(xiàng)式和Taylor公式§4.函數(shù)的Taylor公式及其應(yīng)用§5.應(yīng)用舉例§6.函數(shù)方程的近似求

3、解本章教學(xué)要求：掌握微分中值定理與函數(shù)的Taylor公式，并應(yīng)用于函數(shù)性質(zhì)的研究，熟練運(yùn)用L，Hospital法則計(jì)算極限，熟練應(yīng)用微分于求解函數(shù)的極值問(wèn)題與函數(shù)作圖問(wèn)題。第六章不定積分§1.不定積分的概念和運(yùn)算法則§2.換元積分法和分部積分法§3.有理函數(shù)的不定積分及其應(yīng)用本章教學(xué)要求：掌握不定積分的概念與運(yùn)算法則，熟練應(yīng)用換元法和分部積分法求解不定積分，掌握求有理函數(shù)與部分無(wú)理函數(shù)不定積分的方法。第七章定積分(§1§3)§1.定積分的概念和可積條件§2.定積分的基本性質(zhì)§3.微積分基本定理第七章定積分(

4、7;4§6)§4.定積分在幾何中的應(yīng)用§5.微積分實(shí)際應(yīng)用舉例§6.定積分的數(shù)值計(jì)算本章教學(xué)要求：理解定積分的概念，牢固掌握微積分基本定理：牛頓一萊布尼茲公式，熟練定積分的計(jì)算，熟練運(yùn)用微元法解決幾何，物理與實(shí)際應(yīng)用中的問(wèn)題，初步掌握定積分的數(shù)值計(jì)算。第八章反常積分§1.反常積分的概念和計(jì)算§2.反常積分的收斂判別法本章教學(xué)要求：掌握反常積分的概念，熟練掌握反常積分的收斂判別法與反常積分的計(jì)算。第九章數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§1.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性§2.上級(jí)限與下極限§3.正項(xiàng)級(jí)數(shù)§4.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)§5.

5、無(wú)窮乘積本章教學(xué)要求：掌握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的概念，理解數(shù)列上級(jí)限與下極限的概念，熟練運(yùn)用各種判別法判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)，任意項(xiàng)級(jí)數(shù)與無(wú)窮乘積的斂散性。第十章函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§1.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性§2.一致收斂級(jí)數(shù)的判別與性質(zhì)§3.藉級(jí)數(shù)§4.函數(shù)的藉級(jí)數(shù)展開(kāi)§5.用多項(xiàng)式逼近連續(xù)函數(shù)本章教學(xué)要求：掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(函數(shù)序列)一致收斂性概念，一致收斂性的判別法與一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)，掌握藉級(jí)數(shù)的性質(zhì)，會(huì)熟練展開(kāi)函數(shù)為藉級(jí)數(shù)，了解函數(shù)的藉級(jí)數(shù)展開(kāi)的重要應(yīng)用。第一章Euclid空間上的極限和連續(xù)§I.Euclid空間上的基本定理§2.多元連續(xù)函

6、數(shù)§3.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)本章教學(xué)要求：了解Euclid空間的拓?fù)湫再|(zhì)，掌握多元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，區(qū)分它們與一元函數(shù)對(duì)應(yīng)概念之間的區(qū)別，掌握緊集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。第十二章多元函數(shù)的微分學(xué)（§1-§5）§1.偏導(dǎo)數(shù)與全微分§2.多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則§3.Taylor公式§4.隱函數(shù)§5.偏導(dǎo)數(shù)在幾何中的應(yīng)用第十二章多元函數(shù)的微分學(xué)（§6-§7）§6.無(wú)條件極值§7.條件極值問(wèn)題與Lagrange乘數(shù)法本章教學(xué)要求：掌握多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與微分的概念，區(qū)分它們與一元函數(shù)對(duì)應(yīng)概

7、念之間的區(qū)別，熟練掌握多元函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)方法，掌握偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用，掌握求多元函數(shù)無(wú)條件極值與條件極值的方法。第十三章重積分§1.有界閉區(qū)域上的重積分§2.重積分的性質(zhì)與計(jì)算§3.重積分的變量代換§4.反常重積分§5.微分形式本章教學(xué)要求：理解重積分的概念，掌握重積分與反常重積分的計(jì)算方法，會(huì)熟練應(yīng)用變量代換法計(jì)算重積分，了解微分形式的引入在重積分變量代換的表示公式上的應(yīng)用。第十四章曲線積分與曲面積分§1.第一類曲線積分與第一類曲面積分§2.第二類曲線積分與第二類曲面積分§3.Green公式，Gauss公式

8、和Stokes公式§4.微分形式的外微分§5.場(chǎng)論初步本章教學(xué)要求：掌握二類曲線積分與二類曲面積分的概念與計(jì)算方法，掌握Green公式，Gauss公式和Stokes公式的意義與應(yīng)用，理解外微分的引入在給出Green公式，Gauss公式和Stokes公式統(tǒng)一形式上的意義，對(duì)場(chǎng)論知識(shí)有一個(gè)初步的了解。第十五章含參變量積分§1.含參變量的常義積分§2.含參變量的反常積分§3.Euler積分本章教學(xué)要求：掌握含參變量常義積分的性質(zhì)與計(jì)算，掌握含參變量反常積分一致收斂的概念，一致收斂的判別法，一致收斂反常積分的性質(zhì)及其在積分計(jì)算中的應(yīng)用，掌握Euler積

9、分的計(jì)算。第十六章Fourier級(jí)數(shù)§1.函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)§2.Fourier級(jí)數(shù)的收斂判別法§3.Fourier級(jí)數(shù)的性質(zhì)§4.Fourier變換和Fourier積分§5.快速Fourier變換本章教學(xué)要求：掌握周期函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)方法，掌握Fourier級(jí)數(shù)的收斂判別法與Fourier級(jí)數(shù)的性質(zhì)，對(duì)Fourier變換與Fourier積分有一個(gè)初步的了解。第二部分(1) 課程名稱：微分幾何(2) 基本內(nèi)容：三維空間中經(jīng)典的曲線和曲面的理論。主要內(nèi)容有：曲線論，內(nèi)容包括：曲線的切向量與弧長(zhǎng)；主法向量與從法向量；曲率與擾率

10、；Frenet標(biāo)架與Frenet公式；曲線的局部結(jié)構(gòu)；曲線論的基本定理；平面曲線的一些整體性質(zhì)，如切線的旋轉(zhuǎn)指標(biāo)定理，凸曲線的幾何性質(zhì)，等周不等式，四頂點(diǎn)定理與Cauchy-Crofton公式；空間曲線的一些整體性質(zhì)，如球面的Crofton公式，F(xiàn)enchel定理與Fary-Milnor定理。曲面的局部理論，內(nèi)容包括：曲面的表示、切向量、法向量；旋轉(zhuǎn)曲面、直紋面與可展曲面；曲面的第一基本形式與內(nèi)蘊(yùn)量；曲面的第二基本形式；曲面上的活動(dòng)標(biāo)架與基本公式；Weingarten變換與曲面的漸近線、共扼線；法曲率；主方向、主曲率與曲率線；Gauss曲率和平均曲率；曲面的局部結(jié)構(gòu)；Gauss映照與第三基本形

11、式；全臍曲面、極小曲面與常Gauss曲率曲面；曲面論的基本定理；測(cè)地曲率與測(cè)地線；向量的平行移動(dòng)?；疽螅和ㄟ^(guò)本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)掌握曲線論與曲面論中的一些基本幾何概念與研究微分幾何的一些常用方法。以便為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)、研究現(xiàn)代幾何學(xué)打好基礎(chǔ)；另一方面培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。二、講授綱要第一章三維歐氏空間的曲線論§1曲線曲線的切向量弧長(zhǎng)教學(xué)要求：理解曲線的基本概念、會(huì)求曲線的切向量與弧長(zhǎng)、會(huì)用弧長(zhǎng)參數(shù)表示曲線。§2主法向量與從法向量曲率與擾率教學(xué)要求：理解曲率與撓率、主法向量與從法向量、密切平面與從切平面等基本概念，會(huì)計(jì)算曲率與撓率。§3F

12、renet標(biāo)架Frenet公式教學(xué)要求：掌握Frenet公式，能運(yùn)用Frenet公式去解決實(shí)際問(wèn)題。§4曲線在一點(diǎn)鄰近的性質(zhì)教學(xué)要求：能表達(dá)曲線在一點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)的局部規(guī)范形式，理解擾率符號(hào)的集合意義。§5曲線論基本定理教學(xué)要求：掌握曲線論的基本定理，能求已知曲率與擾率的一些簡(jiǎn)單的曲線。§6平面曲線的一些整體性質(zhì)6.1關(guān)于閉曲線的一些概念6.2切線的旋轉(zhuǎn)指標(biāo)定理6.3凸曲線*6.4等周不等式*6.5四頂點(diǎn)定理*6.6Cauchy-Crofton公式*教學(xué)要求：理解平面曲線的一些基本概念：閉曲線、簡(jiǎn)單曲線、切線像、相對(duì)全曲率、旋轉(zhuǎn)指標(biāo)、凸曲線。掌握平面曲線的一些整體性質(zhì)：

13、簡(jiǎn)單閉曲線切線的旋轉(zhuǎn)指標(biāo)定理，凸曲線的幾何性質(zhì)，等周不等式，四頂點(diǎn)定理與Cauchy-Crofton公式。§7空間曲線的整體性質(zhì)7.1球面的Crofton公式7.2Fenchel定理*7.3Fary-Milnor定理*教學(xué)要求：理解全曲率的概念。掌握空間曲線的一些整體性質(zhì)：球面的Crofton公式，F(xiàn)enchel定理與Fary-Milnor定理。第二章三維歐氏空間中曲面的局部幾何§1曲面的表示切向量法向量1.1曲面的定義1.2切向量切平面1.3法向量1.4曲面的參數(shù)表示1.5例1.6單參數(shù)曲曲族平面族的包絡(luò)面出展曲曲教學(xué)要求：掌握曲面的三種局部解析表示；會(huì)求曲面的切平面與法

14、線；了解旋轉(zhuǎn)曲面與直紋面的表示；掌握可展曲面的特征。§2曲面的第一、第二基本形式2.1曲面的第一基本形式2. 2曲面的正交參數(shù)曲線網(wǎng)2.3等距對(duì)應(yīng)曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何2.4共形對(duì)應(yīng)2.5曲面的第二基本形式教學(xué)要求：掌握曲面的第一基本形式及相關(guān)量一一曲面上曲線的弧長(zhǎng)、兩相交曲線的交角與面積的計(jì)算，并理解其幾何意義；了解等距對(duì)應(yīng)與共形對(duì)應(yīng)；掌握第二基本形式。§3曲面上的活動(dòng)標(biāo)架曲面的基本公式3.1省略和式記號(hào)的約定3.2曲面上的活動(dòng)標(biāo)架曲面的基本公式3.3Weingarten變換W3.4曲面的共軸方向漸近方向漸近線教學(xué)要求：掌握曲面上的活動(dòng)標(biāo)架與曲面的基本公式，能求正交參數(shù)曲線網(wǎng)的聯(lián)

15、絡(luò)系數(shù)；理解Weingarten變換與共軸方向、漸近方向，會(huì)求一些簡(jiǎn)單曲線的漸近曲線。§4曲面上的曲率4. 1曲面上曲線的法曲率4.2主方向主曲率4.3Dupin標(biāo)線4.4曲率線4.5主曲率及曲率線的計(jì)算總曲率平均曲率4.6曲率線網(wǎng)4.7曲面在一點(diǎn)的鄰近處的形狀4.8Gauss映照及第三基本形式4.9總曲率、平均曲率滿足某些性質(zhì)的曲面教學(xué)要求：理解法曲率、主方向與主曲率、曲率線、總曲率和平均曲率概念與幾何意義，并會(huì)對(duì)它們進(jìn)行計(jì)算；掌握Gauss映照及第三基本形式；能對(duì)全臍曲面與總曲率為零的曲面進(jìn)行分類；掌握極小曲面的幾何意義并會(huì)求一些簡(jiǎn)單的極小曲面。§5曲面的基本方程及曲面

16、論的基本定理5. 1曲面的基本方程5.2曲面論的基本定理教學(xué)要求：掌握、理解曲面的基本方程與曲面論基本定理。§6測(cè)地曲率測(cè)地線6.1測(cè)地曲率向量測(cè)地曲率6.2計(jì)算測(cè)地曲率的Liouville公式6.3測(cè)地線6.4法坐標(biāo)系測(cè)地極坐標(biāo)系測(cè)地坐標(biāo)系6.5應(yīng)用6.6測(cè)地?cái)_率6.7Gauss-Bonnet公式教學(xué)要求:理解與掌握測(cè)地曲率和測(cè)地線、測(cè)地?cái)_率、法坐標(biāo)系、測(cè)地極坐標(biāo)系與測(cè)地坐標(biāo)系的定義及其幾何意義；能用Liouville公式計(jì)算測(cè)地曲率與測(cè)地線；能用測(cè)地極坐標(biāo)系對(duì)總曲率為常數(shù)的曲面進(jìn)行研究；理解(局部)Gauss-Bonnet公式。§7曲面上的向量的平行移動(dòng)7.1向量沿曲面

17、上一條曲線的平行移動(dòng)絕對(duì)微分72絕對(duì)微分的性質(zhì)73自平行曲線74向量繞閉曲線一周的平行移動(dòng)總曲率的又一種表示75沿曲面上曲線的平行移動(dòng)與歐氏平面中平行移動(dòng)的關(guān)系教學(xué)要求：理解向量沿曲面上一條曲線的平行移動(dòng)與絕對(duì)微分。習(xí)題：1. 證明推論2.3.1,2. 設(shè)X,Y為Banach空間，是連續(xù)抽象函數(shù)，對(duì)有界線性算子，證明：在上一可積，并且。3. 設(shè)到中的算子由給出，在任一元素處是否-可導(dǎo)？若答案肯定，求導(dǎo)算子。4. 設(shè)是到中的一個(gè)映射。證明：在處沿方向的一微分等于gradf(x0)hT,這里gradf=(),在和的情況下計(jì)算，又問(wèn)：在處的一導(dǎo)數(shù)是什么？當(dāng)時(shí)求。5. 設(shè)由定義，求在(1,2)處沿方向(1,1)的一微分。解：寫(xiě)，知，故所求一微分為。6. 設(shè)、是賦范