高一數(shù)學(xué)典型例題分析指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、換底公式

1、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)·換底公式·例題 例1-6-38  log34·log48·log8m=log416，則m為                               解  B  由已知有   &

2、#160;                                                 &

3、#160;                                                 &

4、#160;       Aba1B1ab0Cab1D1ba0解  A  由已知不等式得故選A                                    

5、60;                                                 

6、60;                        故選A                          

7、0;                                                 

8、0;                                  A1，+          B(-，1      C(0，2)

9、60;      D1，2)2x-x20得0x2又t=2x-x2=-(x-1)2+1在1，+)上是減函數(shù)，                                     

10、                                                  

11、                        AmpnqBnpmqCmnpqDmqpn例1-6-43  (1)若logac+logbc=0(c0)，則ab+c-abc=_；(2)log89=a，log35=b，則log102=_(用a，b表示)但c1，所以lga+lgb=0，所以ab=1，所以ab+c-abc=1例1-6-44  函數(shù)y=f(x)的定義域為

12、0，1，則函數(shù)flg(x2-1)的定義域是_由題設(shè)有0lg(x2-1)1，所以1x2-110解之即得例1-6-45  已知logx27=a，求log616的值例1-6-46  比較下列各組中兩個式子的大小：例1-6-47  已知常數(shù)a0且a1，變數(shù)x，y滿足3logxa+logax-logxy=3(1)若x=at(t0)，試以a，t表示y；(2)若tt|t2-4t+30時，y有最小值8，求a和x的值解  (1)由換底公式，得即           

13、;   logay=(logax)2-3logax+3當(dāng)x=at時，logay=t2-3t+3，所以y=ar2-3t+3(2)由t2-4t+30，得1t3值，所以當(dāng)t=3時，umax=3即a3=8，所以a=2，與0a1矛盾此時滿足條件的a值不存在  指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)·指數(shù)函數(shù)·例題                      &

14、#160;                                                 &

15、#160;                                       解  A例1-6-2  f(x)=3x+5，則f-1(x)的定義域是    

16、60;                                    A(0，+)              &

17、#160;        B(5，+)C(6，+)                       D(-，+)解  B  因為f(x)=x2+55，即f(x)的值域為(5，+)，故f-1(x)的定義域為(5，+)例1-6-3  下列函數(shù)中，值域是(0，+)的一個函數(shù)是 &

18、#160;                   解  B例1-6-4  函數(shù)y=(a2-1)x在(-，+)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是          例1-6-5  已知ab，ab0審查下列不等式其中恒成立的有        

19、                                                  

20、                            A1個            B2個          C3個  

21、;           D4個解  C解  (0，1)例1-6-7  使函數(shù)yx2-x-x遞減的x的取值范圍是_例1-6-8  根據(jù)不等式確定正數(shù)a的取值范圍：(1)aa，則a_；(2)aa，a_；解  (1)(1，+)  (2)(0，1)  (3)(0，1)(1)指出函數(shù)的奇偶數(shù)，并予以證明；(2)求證：對任何x(xR且x0)，都有f(x)0所以f(x)是偶函數(shù)(2)當(dāng)x0時，2x1，所以f(x)0當(dāng)x0時，由f(x)為偶函

22、數(shù)，有f(x)=f(-x)0所以對一切xR，x0，恒有f(x)0注  利用函數(shù)的奇偶性?？墒菇夥ê喕绫纠?2)，當(dāng)x0時，證明f(x)0較繁若注意到f(x)為偶函數(shù)，則只須證明，當(dāng)x0時f(x)0，而這是顯然的(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)證明f(x)是區(qū)間(-，+)上的增函數(shù)；(3)求函數(shù)的值域解  (1)f(x)的定義域為R又所以f(x)為奇函數(shù)在R上為增函數(shù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)·對數(shù)函數(shù)·例題            

23、60;                                                 

24、60;                                                解  A 

25、0;                                                 

26、0;                                                 

27、0;        AR                                   B(-，-3C8，+)       

28、                 D3，+)解  B例1-6-26  若f(x)=loga|x+1|在(-1，0)內(nèi)f(x)0，則f(x)                   A在(-，0)內(nèi)單調(diào)遞增B在(-，0)內(nèi)單調(diào)遞減C在(-，-1)內(nèi)單調(diào)遞減

29、D在(-，-1)內(nèi)單調(diào)遞增解  D  依題設(shè)，f(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，且0a1畫出圖象(略)即知D正確例1-6-27  已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x0時，f(x)=x2+lg(x+1)，那么當(dāng)x0時，f(x)的解析式是                            

30、                                                  

31、                                A-x2-lg(1-x)                 

32、0;    Bx2+lg(1-x)Cx2-lg(1-x)                       D-x2+lg(1-x)解  A  設(shè)x0，則-x0，所以f(-x)=(-x)2+lg(-x+1)=x2+lg(1-x)=-f(x)f(x)=-x2-lg(1-x)例1-6-28  函數(shù)y=5x+1的反函數(shù)是 

33、;                                                Ay=log5(x+1) 

34、60;                 By=logx5+1Cy=log5(x-1)                    Dy=log(x-1)5解  C解  (1)奇函數(shù)  f(x)為奇函數(shù)(2)3.373 

35、; 因為(x)=x2+f(x)，又由(1)知，f(x)為奇函數(shù)，所以f(-2)=-f(2)所以(-2)=(-2)2+f(-2)=2×22-(22+f(2)=8-例1-6-31  若1x2，則(log2x)2，log2x2，log2(log2x)的大小關(guān)系是_log2(log2x)(log2x)2log2x2(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)已知f(x)存在反函數(shù)f-1(x)，若f-1(x)0，求x的取值范圍另一方面，有所以f(x)是奇函數(shù)故當(dāng)a1時，x0；當(dāng)0a1時，x0例1-6-33  已知常數(shù)a，b滿足a1b0，若f(x)=lg(ax-bx)，(1)求y=f(

36、x)的定義域；(2)證明y=f(x)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)；(3)若f(x)恰在(1，+)上恒取正值，且f(2)=lg2，求a，b的值(2)任取x1，x2(0，+)，且x1x2因為a1，所以g1(x)=ax是增函數(shù)，所以ax1-ax20故f(x)=lg(ax-bx)在(0，+)內(nèi)是增函數(shù)(3)因為f(x)在(1，+)內(nèi)為增函數(shù)，所以對于x(1，+)內(nèi)每一個x值，都有f(x)f(1)要使f(x)恰在(1，+)上恒取正值，即f(x)0只須f(1)=0于是f(1)=lg(a-b)=0，得a-b=1又f(2)=lg2，所以lg(a2-b2)=lg2，所以a2-b2=2，即(a+b)(a-b)=2而a-b

37、=1，所以a+b=2例1-6-34  設(shè)0x1，a0且a1，試比較|loga(1-x)|與|loga(1+x)|的大小解  作差比較因為0x1，所以01-x1，11+x2，01-x21當(dāng)a1時，|loga(1-x)|=-loga(1-x)，|loga(1+x)|=loga(1+x)所以|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1+x)=-loga(1-x2)0即      |loga(1-x)|loga(1+x)|當(dāng)0a1時，|loga(1-x)|=loga(1-x)，|loga(1+x

38、)|=-loga(1+x)所以    |loga(1-x)|-|loga(1+x)|=loga(1-x)+loga(1+x)=loga(1-x2)0即      |loga(1-x)|loga(1+x)|注  本例也可用作商比較法來解例1-6-35  設(shè)對所有實數(shù)x，不等式恒成立，求a的取值范圍解  根據(jù)題意，可知原不等式(關(guān)于x的二次不等式)應(yīng)滿足下列條件：例1-6-36  設(shè)函數(shù)f(x)=log2(3-2k)x2-2kx-k+1，求使f(x)在(-，0)內(nèi)單調(diào)遞減，而在(

39、1，+)內(nèi)單調(diào)遞增的所有實數(shù)k組成的集合M必須有g(shù)(x)0，3-2k0，且g(x)的圖象的對稱軸與x軸的交點的橫坐標(biāo)必須屬于0，1于是k確定于不等式組例1-6-37  在函數(shù)y=logax(0a1，x1)的圖象上有A，B，C三點，它們的橫坐標(biāo)分別是m，m+2，m+4(1)若ABC面積為S，求S=f(m)；(2)判斷S=f(m)的增減性；(3)求S=f(m)的最大值解  (1)由A，B，C三點分別向x軸作垂線，設(shè)垂足依次為A1，B1，C1，則數(shù)列·例題解析 【例1】 求出下列各數(shù)列的一個通項公式解 (1)所給出數(shù)列前5項的分子組成奇數(shù)列，其通項公式為2n1

40、，而前5項的分母所組成的數(shù)列的通項公式為2×2n，所以，已知數(shù)列的(2)從所給數(shù)列的前四項可知，每一項的分子組成偶數(shù)列，其通項公式為2n，而分母組成的數(shù)列3，15，35，63，可以變形為1×3，3×5，5×7，7×9，即每一項可以看成序號n的(2n1)與2n1的積，也即(2n1)(2n1)，因此，所給數(shù)列的通項公式為：(3)從所給數(shù)列的前5項可知，每一項的分子都是1，而分母所組成的數(shù)列3，8，15，24，35，可變形為1×3，2×4，3×5，4×6，5×7，即每一項可以看成序號n與n2的積，也即

41、n(n2)各項的符號，奇數(shù)項為負(fù)，偶數(shù)項為正因此，所給數(shù)列的通項公式為：1，4，9，16，25，是序號n的平方即n2，分母均為2因此所【例2】 求出下列各數(shù)列的一個通項公式(1)2，0，2，0，2，(3)7，77，777，7777，77777，解 (1)所給數(shù)列可改寫為11，11，11，11，可以看作數(shù)列1，1，1，1，的各項都加1，因此所給數(shù)的通項公式an(1)n+11所給數(shù)列亦可看作2，0，2，0周期性變化，因此所給數(shù)列的數(shù)列n，分子組成的數(shù)列為1，0，1，0，1，0，可以看作是2，(4)所給數(shù)列，可以改寫說明1用歸納法寫出數(shù)列的一個通項公式，體現(xiàn)了由特殊到一般的思維規(guī)律對于項的結(jié)構(gòu)比較復(fù)

42、雜的數(shù)列，可將其分成幾個部分分別考慮，然后將它們按運(yùn)算規(guī)律結(jié)合起來2對于常見的一些數(shù)列的通項公式(如：自然數(shù)列，an=n；自然數(shù)的平方數(shù)列，ann2；奇數(shù)數(shù)列，an2n1；偶數(shù)數(shù)列，an=2n；納出數(shù)列的通項公式3要掌握對數(shù)列各項的同加、同減、同乘以某一個不等于零的數(shù)的變形方法，將其轉(zhuǎn)化為常見的一些數(shù)列幾項【例4】 已知下面各數(shù)列an的前n項和Sn的公式，求數(shù)列的通項公式(1)Sn2n23n(2)Snn21(3)Sn2n3(4)Sn(1)n+1·n解 (1)當(dāng)n=1時，a1=S11；當(dāng)n2時，anSnSn-1=(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也適合此等式，因此an=4n5(2)當(dāng)n1時，a1S1=112；當(dāng)n2時，anSnSn-1=n21(n1)212n1，由于a1不適合于此等式，(3)當(dāng)n1時，a1=S123=5；當(dāng)n2時，an=SnSn-12n3(2n-13)2n-1，由于a1不適合于此等式，(4)當(dāng)n1時，a1S1=(1)2·1=1；當(dāng)n2時，anSnSn-1=(1)n+1·n(1)n·(n1)=(1)n+1(2n1)，由于a1也適可于此等式，因此an(1)n+1(2n1)，nN*