九年級(jí)《切線長(zhǎng)定理和三角形的內(nèi)切圓》課件

1、 1.切線具有什么特征? 圖 23.2.8 答:【特征1】 切線與圓只有 一個(gè)公共點(diǎn); 【特征2】圓心到切線的距離等于圓的半徑;【特征3】圓的切線一定垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑O。PMNPQ 1.任意畫一個(gè)任意畫一個(gè)O O ，在，在O O上任取兩點(diǎn)上任取兩點(diǎn)A，B，以以A，B為切點(diǎn)分別作為切點(diǎn)分別作O O的兩條切線，畫出的兩的兩條切線，畫出的兩條切線的位置關(guān)系怎樣？條切線的位置關(guān)系怎樣？ABO。AB。O。2.圓的切線是線段、射線、還是直線？圓的切線是線段、射線、還是直線？ O。ABP思考思考：已知已知 O切線切線PA，A為切點(diǎn)，為切點(diǎn)，連接連接OP，把圓沿著，把圓沿著OP對(duì)折對(duì)折,你能發(fā)你能發(fā)現(xiàn)什么

2、現(xiàn)什么?12探探 究究 活活 動(dòng)動(dòng)如圖，紙上有一 O ，PA為 O的一條切線，沿著直線PO對(duì)折，設(shè)圓上與點(diǎn)A重合的點(diǎn)為B。1、OB是 O的一條半徑嗎？2、PB是 O的切線嗎？5、利用圖形軸對(duì)稱性解釋3、PA、PB有何關(guān)系？4、APO和 BPO有何關(guān)系？AOP PAOB(1) 設(shè)與點(diǎn)設(shè)與點(diǎn)A 重合的點(diǎn)為點(diǎn)重合的點(diǎn)為點(diǎn)B,這里這里O B是是 O的一條的一條_,PB是是 O的一條的一條_.(2) 圖中圖中PA與與P B B、APO與與 B BPO的關(guān)系是的關(guān)系是(猜猜想想):_.半徑半徑切線切線PA=PB PA=PB APO=BPOAPO=BPO 1. 1. 如圖，過圓外一點(diǎn)有兩條直線如圖，過圓外一

3、點(diǎn)有兩條直線PAPA、PBPB與與OO相切。相切。在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和這點(diǎn)和切點(diǎn)之間切點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的的線段長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)切線長(zhǎng)。 ABPO。切線與切線長(zhǎng)的區(qū)別與聯(lián)系：切線與切線長(zhǎng)的區(qū)別與聯(lián)系： （1 1）切線是一條與圓相切的直線；切線是一條與圓相切的直線；（2 2）切線長(zhǎng)是指切線長(zhǎng)是指切線上切線上某一點(diǎn)與切點(diǎn)間的線段某一點(diǎn)與切點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。 2. 2. 從從OO外的一點(diǎn)引兩條切線外的一點(diǎn)引兩條切線PAPA，PBPB，切點(diǎn)，切點(diǎn)分別是分別是A A、B B，連結(jié)，連結(jié)OAOA、OBOB、OPOP，你能發(fā)現(xiàn)什么，你能發(fā)現(xiàn)什么

4、結(jié)論？并證明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。結(jié)論？并證明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。APO。BPA = PBOPA=OPB證明：證明：PAPA，PBPB與與OO相切，點(diǎn)相切，點(diǎn)A A，B B是切點(diǎn)是切點(diǎn) OAPAOAPA，OBPB OBPB 即即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtRtAOPRtAOPRtBOP(HLBOP(HL) ) PA = PB OPA=OPB試用文字語(yǔ)言敘述試用文字語(yǔ)言敘述你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論P(yáng)A、PB分別切分別切 O于于A、BPA = PB1=2 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連

5、線平分兩條切線的夾角。條切線的夾角。 切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)定理APO。B幾何語(yǔ)言幾何語(yǔ)言:反思：切線長(zhǎng)定理為證明切線長(zhǎng)定理為證明線段相等線段相等、角相等角相等提提 供了新的方法。供了新的方法。12我們學(xué)過的切線，常有我們學(xué)過的切線，常有 五個(gè)五個(gè) 性質(zhì)：性質(zhì)：1 1、切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；、切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；2 2、切線和圓心的距離等于圓的半徑；、切線和圓心的距離等于圓的半徑；3 3、切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；、切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；4 4、經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)；、經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)；5 5、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。6

6、 6、從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，、從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。7 7、如果圓的兩條切線互相平行，則連結(jié)兩個(gè)切點(diǎn)線段、如果圓的兩條切線互相平行，則連結(jié)兩個(gè)切點(diǎn)線段是直徑。是直徑。七個(gè)七個(gè)APO。BM 4. 4.連結(jié)兩切點(diǎn)連結(jié)兩切點(diǎn)A A、B B，ABAB交交OPOP于點(diǎn)于點(diǎn)M.M.你又能得你又能得出什么新的結(jié)論出什么新的結(jié)論? ?并給出證明并給出證明. .OP垂直平分垂直平分AB證明：證明：PAPA，PBPB是是OO的切線的切線, ,點(diǎn)點(diǎn)A A，B B是切點(diǎn)是切點(diǎn) PA = PB OPA

7、=OPB PABPAB是等腰三角形，是等腰三角形，PMPM為頂角的平分線為頂角的平分線 OP垂直平分垂直平分AB切線長(zhǎng)定理的基本圖形的研究 PA、PB是是 O的兩條切線，的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，直線為切點(diǎn)，直線OP交交 O于點(diǎn)于點(diǎn)D、E，交，交AB于于C。BAPOCED（1）寫出圖中所有的垂直關(guān)系）寫出圖中所有的垂直關(guān)系OAPA，OB PB，AB OP（3）寫出圖中所有的全等三角形）寫出圖中所有的全等三角形AOP BOP， AOC BOC， ACP BCP（4）寫出圖中所有的相似三角形）寫出圖中所有的相似三角形AOC BOC AOPBOP ACPBCP（5）寫出圖中所有的等腰三角形）寫出圖中

8、所有的等腰三角形ABP AOB（6）若）若PA=4、PD=2，求半徑，求半徑OA（2）寫出圖中與）寫出圖中與OAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPC2224(2)rr解得r=3APO。BECD已知：如圖，已知：如圖，PA，PB是是 O的兩條切線，的兩條切線，A、B為為切點(diǎn)。直線切點(diǎn)。直線OP交交 O于點(diǎn)于點(diǎn)D、E，交，交AB于點(diǎn)于點(diǎn)C。（2）寫出圖中所有的全）寫出圖中所有的全等三角形；等三角形；（1）寫出圖中所有的垂直關(guān)系；）寫出圖中所有的垂直關(guān)系；（4）如果）如果PA=4cm，PD=2，求半徑，求半徑OA的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。OAPAOAPA，OBPBOBPB，OPABOPABOAPOAP

9、OBPOBPOCAOCAOCBOCBACPACPBCPBCP（3）圖中有哪些線段相等、弧相等，角相等？）圖中有哪些線段相等、弧相等，角相等？四、探索 如圖23.2.11為一張三角形鐵皮，如何在它上面截一個(gè)面積最大的圓形鐵皮？ 圖 23.2.11 【重點(diǎn)【重點(diǎn)2】三角形的】三角形的內(nèi)切圓內(nèi)切圓 與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形三角形的內(nèi)心就是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)一個(gè)三角形的內(nèi)切圓是惟一的 圖 23.2.12 三、應(yīng)用舉例 【例1】 如圖， O是ABC 的內(nèi)切圓，與AB、BC、CA分別切于點(diǎn)D、E、F，DOE120，EO

10、F150，求ABC 的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù).(第 1 題) (第 1 題) DOE120 , EOF150 DOF= 360- DOE -EOF =360- 120- 150=90 【解】 AB、AC分別切 O于點(diǎn)D、F ADO= AFO=90 A=360- ADO - DOF- AFO=360 -90 -90 -90=90同理 B=60, C=30.【例2】 ABC 的內(nèi)切圓 O 與AB、BC 、 AC分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AB5厘米，BC9厘米，AC6厘米，求AD、BE和CF的長(zhǎng).(第 2 題) 596xyyzzx則 145xyz解 得解:設(shè)AD=x, BE=y, CF=z,由切線長(zhǎng)性質(zhì)可知

11、：，即AD=1厘米,BE =4厘米,CF =5厘米xxyyzz【例3】設(shè)ABC 的內(nèi)切圓的半徑為r，ABC 的周長(zhǎng)為l，求ABC 的面積S. 圖 23.2.12 1112221()21.2ABCAIBBICCIAAB rBC rCA rr ABBCCArlSSSS解:連結(jié)IC,則rrrPABO1 1、填空：已知、填空：已知OO的半徑為的半徑為3cm3cm，點(diǎn)，點(diǎn)P P和圓心和圓心O O的距離為的距離為6cm6cm，經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)P P有有OO的兩條切線，則的兩條切線，則切線長(zhǎng)為切線長(zhǎng)為_cm_cm。這兩條切。這兩條切線的夾角為線的夾角為_度。度。60練練 習(xí)：習(xí)：2 2、已知、已知圓外切四邊形圓

12、外切四邊形ABCD中，中，AB：BC：CD=4：3：2，它的周長(zhǎng)為它的周長(zhǎng)為24cm。則。則AB= ，BC= ；CD= ，DA= 。ADOCB8cm6cm4cm6cmABCabcrr =a+b-c2如：直角三角形的兩直角邊分別如：直角三角形的兩直角邊分別是是5cm5cm，12cm 12cm 則其內(nèi)切圓的半徑則其內(nèi)切圓的半徑為為_。4 4、直角三角形的兩直角邊分別是直角三角形的兩直角邊分別是a a，b b 則其內(nèi)切圓的半徑為則其內(nèi)切圓的半徑為: :2cm2cm3 3、已知：在已知：在ABCABC中，中，BC=14cmBC=14cm，AC=9cmAC=9cm，AB=13cmAB=13cm，它的內(nèi)切

13、圓分別，它的內(nèi)切圓分別和和BCBC、ACAC、ABAB切于點(diǎn)切于點(diǎn)D D、E E、F F，求，求AFAF、BDBD和和CECE的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。. 5. 如圖，四邊形如圖，四邊形ABCD的邊的邊 AB，BC，CD，DA和和 O分別相切于分別相切于L，M，N，P。（1）圖中有幾對(duì)相等的線段？）圖中有幾對(duì)相等的線段？ADLMNPOCB（2 2）由此你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論）由此你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？ 為什么？為什么？ AB，BC，CD，DA都與都與 O相切，相切，L，M，N，P是切點(diǎn)，是切點(diǎn)，AL=AP，LB=MB， DN=DP，NC=MCAL+ LB+ DN+ NC = AP+ MB+DP+MC即即 AB+ CD = AD+BC圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等（可做定理用）（可做定理用）。PBAO反思：在解決有關(guān)圓的切線長(zhǎng)的問題時(shí)，往往需要我們構(gòu)建基本圖形。（3）連結(jié)圓心和圓外一點(diǎn)（角平分線）連結(jié)圓心和圓外一點(diǎn)（角平分線）（2）連結(jié)兩切點(diǎn)（等腰三角形）連結(jié)兩切點(diǎn)（等腰三角形）（1）分別連結(jié)圓心和切點(diǎn)（直角）分別連結(jié)圓心和切點(diǎn)（直角）1.切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的