一重二難三變談三角求值1

1、一重二難三變談三角求值浙江省紹興縣華甫中學(xué)(312039) 陳冬良三角局部在歷年高考中每年約有34題，多數(shù)以選擇題和填空題形式出現(xiàn)，考查有函數(shù)概念、性質(zhì)、圖象、三角變換，對(duì)于三角變換及應(yīng)用主要是求值，主要考查公式的應(yīng)用、 變換能力，一般要綜合運(yùn)用和角與差角、倍角等公式，尤其對(duì)公式應(yīng)用考查為多，以下為筆 者在三角求值教學(xué)中的一些心得。.三角求值中的重點(diǎn)：公式(工具)的記憶公式是解題之本，學(xué)生對(duì)三角題的生疏主要是對(duì)三角公式的生疏，解決三角題必須以熟記公式為根底，所以公式的記憶是三角求值中的重點(diǎn)。在三角中須熟記的公式有：+ 1 1:cot =、sec =tancos(1)同角三角函數(shù)八個(gè)關(guān)系式：倒數(shù)

2、關(guān)系csc =sin商數(shù)關(guān)系:tansincotcoscos2.平萬(wàn)關(guān)系：sin sin2cos1 tan2sec2、1 cot2csc2(2)誘導(dǎo)公式：2k 前面加上一個(gè)把-，2 2, (k Z)的三角函數(shù)值等于的同名三角函數(shù)值,看成銳角時(shí)的原函數(shù)值符號(hào)。的三角函數(shù)值等于的余名三角函數(shù)值，前面加上一個(gè)把(3)成銳角時(shí)的原函數(shù)值符號(hào)。兩角和與差的正弦、余弦、正切公式: cos( sin(tan(cos cossin sinsin coscos sintan tan1 tantan(4)二倍角公式：sin2 =2s incos(5)2cos2 = cos萬(wàn)能公式：.2sintan2 =1c2=2

3、 cos2 ta nta n2211 2si nsin2ta n 2costan2 2tan2ta n 21 tan26合一公式:asin +bcos = a2b2 sin(其中tan,所在象限由a,b符號(hào)確定a三角求值中的難點(diǎn):范圍討論、函數(shù)名的選用(1)范圍討論：在求值過(guò)程中，往往需對(duì)角度范圍的討論來(lái)確定函數(shù)值的符號(hào)，學(xué)生對(duì)討 論往往較難掌握又易被無(wú)視 .35例 1在 ABC 中，假設(shè) si nA,cosB=,那么 cosC 為()5一5616 十 56C. 或65656535 /曰八,cosB= 得 cosA=51316A.-65B.13D.以上都不對(duì)4 12,si nB=5 13口16

4、卡56cosC= -cos(A+B)= -(cosAcosB-sinAsinB) 代入得 cosC= 或，那么答案 C6565錯(cuò)解：由題sin A1正解： sin A251cosB= <，貝U13 2自行解決以下一題：tan ,tan是方程x233x40的兩根，且,(,),求+的值.2 2(2)函數(shù)名的選用：在三角函數(shù)值求復(fù)角中,不通過(guò)考慮角度范圍來(lái)確定函數(shù)名.5都為銳角，且sin5245都為銳角，貝U cos= ,cos5學(xué)生對(duì)三角函數(shù)名的選用往往較隨意,例2.錯(cuò)解：由所以sin()=sin cos +cos sin.10沖,那么 +=10 3、1010. ffJ>,5 3 10

5、2 5 . 10、 2+ =-5105102分析：無(wú)視了對(duì)角范圍的討論.33亠E'又A是三角形內(nèi)角，得 30 <A<60 或120 <A<150 ，又5260 <B<90，所以 30 <A<60 ,那么 cosA= 4 ,5所以 cosC= -cos(A+B)= -(cosAcosB-sinAsinB)=16 只有一解.故答案選 A65評(píng)注：在一些三角求值中往往在題目的條件或在一些隱含的式子中限制著角的范圍，隨意的擴(kuò)大會(huì)導(dǎo)致答案的增根，合理提取隱含條件來(lái)適當(dāng)縮小范圍是解題的關(guān)鍵，讀者可為一或44分析：以上錯(cuò)因函數(shù)名選取不當(dāng)，以上求解也可結(jié)

6、合縮小范圍來(lái)解決<510 sin,cos >0 那么 0<<.同理 0<<,5266優(yōu)解：由都為銳角，那么02：5cos=,cos55,又 sin,sin52 .5 3J0<510, 2得3、10所以 cos ( +)=10510510評(píng)注：由函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)值與角度一一對(duì)應(yīng)，一般地：假設(shè)04，那么函數(shù)名選余弦；假設(shè)2,那么函數(shù)名選正弦三.三角求值中的三個(gè)變換(角度變換、公式變換、“1的變換)(1)角度的變換：角度的變換是三角求值中很靈活的一個(gè)技巧，也可謂是精髓局部，能敏銳 的捕捉到角度間的關(guān)系，通過(guò)角度間的變換對(duì)求值起到事半功倍的效果例3.(97全

7、國(guó)理)求sin 7cos 7cos15 sin 8sin 15 sin8分析：題中有3個(gè)角：7、8和15，其中7、8是非特殊角，為到達(dá)求值的目的可寫成: 7 =15 -8，起到一個(gè)減元的效果，從而實(shí)現(xiàn)角的轉(zhuǎn)換求解sin(15 8 ) cos15 sin8sin15 cos8解：原式=tan 15cos(15 8 ) sin 15 sin8cos15 cos8tan 45 tan 30廠=tan(45 -30 )=2、31 tan 45 tan 301J 3例 4函數(shù) f(x)= sin(x-20 )-cos(x+40 )的最大值等于21-.31.3解：f(x)=sin(x-20 )-cos(x

8、+40 )=sin(x-20 )-cos(x-20 )+60 2 213=sin(x-20 )-cos(x-20 )cos60 +sin(x-20 )sin60)-丄 cos(x-20 )=sin (x-65 ),所以 f(x)最大值為 2 2 21=sin (x-202 2 2 2.角的變?cè)u(píng)注：以上兩例經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)慕嵌茸儞Q，又合理的選用了常用公式使得試題迎刃而解換如：二倍角公式中，不僅限于2是 的兩倍，還有4 是2的兩倍，一是一的兩倍,24是的兩倍；又例如：2 =() ()、2 =()()、22+= ()2()、=-一+ 等44(2)公式的變形：公式適當(dāng)變形來(lái)考查公式對(duì)學(xué)生而言有一定難度，學(xué)生

9、很難靈活變形公式，學(xué)習(xí)文檔僅供參考假設(shè)熟練掌握一些常見公式變形，對(duì)解題起到快、準(zhǔn)的效果例 5. tan20 +tan40 + 寸3 tan20 tan40 的值是 解：原式=tan(20 +40 )(1- tan20 tan40 )+、3 tan20 tan40=.3 - ,3 tan20 tan40 + , 3tan20 tan40 =、. 3例6.)，化簡(jiǎn)，1 2V11cos22 2 2解：由二倍角余弦變形得1 cos 22cos1 cos2| cos1cos2V21cos|cos |=cos1 cos22cos 一2(,2 ),那么2(，)得4.2|cosiI= -cos2,所以評(píng)注：常用公式變形有：1 ccos2 = -COS .2 221 cos 221 cos 22cossin,1 sin=(sin cos )2222cossin 2丄,tantanta n()(1ta ntan),2 si n(3)數(shù)值“1的變換：1= tan 45o、1=s in2 2x+cos x等,“ 1 的逆代在三角中應(yīng)用較為廣泛,巧妙運(yùn)用將會(huì)起到事半功倍的效果，熟練掌握“1的變換將會(huì)使你受益匪淺。1 tan 15例7利用和角公式計(jì)算的值。1 tan15“1 tan15ta n45tan15廠解：tan45 o=1,=tan