不等式放縮法

1、利用放縮法證明數(shù)列型不等式一、常用的放縮法在數(shù)列型不等式證明中的應用1、裂項放縮法：放縮法與裂項求和的結(jié)合，用放縮法構(gòu)造裂項求和，用于解決和式問題。裂項放縮法主要有兩種類型：（1）先放縮通項，然后將其裂成某個數(shù)列的相鄰兩項的差，在求和時消去中間的項。對32O13n1,2,3±2n例1設數(shù)列an的前n項的和Sn設Tnn1,2,3±,證明：Tii1（2）先放縮通項，然后將其裂成n （n 3 ）項之和，然后再結(jié)合其余條件進行二次放縮。例2已知數(shù)列an和bn滿足62,an 1 an(an 1 1), bn an 1,數(shù)列bn的前 n 和為 Sn, Tn S2n S. ;( I )求

2、證：1（ii）求證：當n 2時，S2n7n 11122n2n 1市，然后再求和，即可達到目標。2n 1 1點評:關(guān)鍵是將（2n11）（2n1）裂項成點評：此題（II ）充分利用（1 ）的結(jié)論，Tn遞增，將Sn裂成S2 nS?n 1S2 n 1S?n 2L S2 Si S的和，從而找到了解題的突破口。2、迭乘放縮 法：放縮法與迭乘法的結(jié)合，用放縮法構(gòu)造迭乘形式，相乘時消去中間項。用于解決積式問題。例3已知數(shù)列an的首項為ai3,點3n,3n1在直線3xy0（nN*）上。,不等式若Cnlog3an2(nN),證明對彳£意的nN111(1)(1+)L(1+)33n1恒成立.CCC點評：此題

3、是證明積式大于根式，由于左邊沒有根式，右邊是三次根式，立方后比較更容易處理。（1+一）3（竺，）3可以看成是三個假分式的乘積，保持其中一項不變，另兩項cn3n2假分數(shù)分子分母同時加1，加2，則積變小，（？口）3竺3n竺旦，3n23n23n13n3n23n1而通項式為的數(shù)列在迭乘時剛好相消，從而達到目標。3n23、迭代放縮法：通過放縮法構(gòu)造遞推不等關(guān)系，進行迭代，從而求解11i2例4已知數(shù)列Xn滿足，為2,JN*,證明：Xn16（5）n1點評：此題將目標式進行放縮得到遞推不等關(guān)系，進行迭代，找到解題途徑。4、等比公式放縮法：先放縮構(gòu)造成等比數(shù)列,再求和，最后二次放縮實現(xiàn)目標轉(zhuǎn)化。已知數(shù)列an的各

4、項均為正數(shù)，且滿足aiani12,一an2an(nN),記an1bn2anan,數(shù)列bn的前n項和為為，且f(Xn)(I數(shù)列bn和3的通項公式;(II)求證:f(X,)f(X2)f(X2)f(X3)f(X、n)n(nf(Xn1)反思：右邊是一，感覺是n個一的和，而中間剛好是n項，所以利用n1(一 f(n )(f( n)0），試著考慮將邊是不能用同樣的方式來實現(xiàn)，想到2222養(yǎng)+縮小成1Cn（Cn是等比數(shù)列），從而找到了此題的突破口。5.放縮后轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列。例？bn滿足：b1,bnibn2(n2)bn3（1）用數(shù)學歸納法證明:bnn(2)Tn3D3b23ba-A,求證：3bn點評：把握“bn3

5、”這一特征對“bn1bn2(n2)bn3”進行變形，然后去掉一個正項，這是不等式證明放縮的常用手法。這道題如果放縮后裂項或者用數(shù)學歸納法，似乎是不可能的，為什么？值得體味！5、比較放縮法：比較法與放縮法的結(jié)合，先進行比較(作差或作商)，再進行放縮。例6在單調(diào)遞增數(shù)列an中，ai1,a22,且a2n1,a2n,a2n1成等差數(shù)列，a2n,a2ni,a2n2成等比數(shù)列，n1,2,3,.(I) 分別計算a3,as和a4,a6的值；(II) 求數(shù)列an的通項公式(將an用n表示)；(III) 設數(shù)列-的前n項和為證明:Sn4n,nN*.ann2點評：此題在作差比較中實施裂項放縮，進而得到最后結(jié)果小于0

6、,從而得證。6、單調(diào)函數(shù)放縮法：根據(jù)題目特征，構(gòu)造特殊的單調(diào)函數(shù)，再進行放縮求解。2例 8 設函數(shù) f(x) x bln(x 1)，其中b 0 ?證明對任意的正整數(shù)n,不等式111八In123都成立.nnn111分析：欲證上述結(jié)論，直接作差比較In1(-八),無從下手；接著想到令nnn111g(n)In-1(飛一)，判斷函數(shù)g(n)(nN*)的單調(diào)性，由于定義域為正整數(shù)，nnn不能用導數(shù)，只能計算g(n1)g(n),其結(jié)果還是很難處理；聯(lián)想到數(shù)列是一種特殊的函132數(shù)，將命題加強，令一X(0,)，判斷函數(shù)h(x)x3x2ln(x1)(x0)的單調(diào)n性，如果在(0,)單調(diào)，則函數(shù)g(n)也單調(diào)7

7、、二項式定理放縮在證明與指數(shù)有關(guān)的數(shù)列型不等式時，用二項式定理放縮特別有效。二項式定理放縮法有兩種常見類型:(1)部分二項式定理放縮法：即只在式子的某一部分用二項式定理放縮例6已知數(shù)列an滿足a!a(a2),a-一堇學J(nN).an2(I)證明數(shù)列-是等比數(shù)列，并求出通項 an ;2n 1(n)如果a1時，設數(shù)列an的前n項和為Sn，試求出Sn，并證明當n3時，有L±L±±.21SBS4Sn10反思：為什么會想到將Sn(2n 1)(2放縮成1)(2n 1)(2n 1)?聯(lián)想到± L 一1 ±2 3 n (n 1) n 11,因為要證明L10而

8、SS3S4一曰 個數(shù)Sn是列前n項的和，最后通過放縮很可能變成f (n)(f(n) 0)10 10的形式，而一應是由1S3放縮后裂項而成，1/11£喬 2(3 5)(2n 1)(2 n 1)(2n1)(2n 1)2 2n 1 2n 1),此時剛好得到，LS3 S4Sn110,接下來就要處理2n12n1,想到用二項式定理。(2)完全二項式定理放縮法：整個式子的證明主要借助于二項式定理。例7設數(shù)列an的前n項和為S,且對任意的nN*，都有anO,$、a3a2La.(I)求a1,a2的值；(ll)求數(shù)列an的通項公式an;(III)證明：a2n1a；na2n1點評：利用二項式定理結(jié)合放縮法

9、證明不等式時，一定要緊密結(jié)合二項式展開式的特點，聯(lián)系需證不等式的結(jié)構(gòu)，通過化簡、變形、換元等手段使問題得以解決。二、放縮法的注意問題以及解題策略1、明確放縮的方向：即是放大還是縮小，看證明的結(jié)論，是小于某項，則放大，是大于某個項，則縮小2、放縮的項數(shù)：有時從第一項開始，有時從第三項，有時第三項，等等，即不一定是對全部項進行放縮。k(k 1)(k3、放縮法的常見技巧及常見的放縮式：k(k 1) k(2)在分式中放大或縮小分子或分母：(1)根式的放縮：111；kk1.2k.kk1真分數(shù)分子分母同時減一個正數(shù)，則變大；假分數(shù)分子分母同時減一個正數(shù)，則變小，如nn1；,n1n2n12n2n2n1(3)

10、應用基本不等式放縮:2、n2nYn2n(4)二項式定理放縮：如2n12n1(n3)；(5)舍掉(或加進)一些項，如：|an印|aa1|a34、把握放縮的尺度：如何確定放縮的尺度，不能過當最難把握的問題。這需要勤于觀察和思考，抓住欲證命題的特點刃而解。再看例2,若構(gòu)造函數(shù)f(n)則f(n1)f(n)(111nn212223L422S/2(11尹前后不等號不不能確定11(1-23-2n2222nnnn2Ann2Aa2|L|anani|(n2)。是應用放縮法證明中最關(guān)鍵、只有這樣，才能使問題迎f(n)f(1)1n)11223零)(11271%。2022122121217n11(nN*),歹12L17

11、n11)3班12f(n)的單調(diào)性，此時放縮過當，此題不適宜用單調(diào)函數(shù)放縮n)，則f(n1)f(n)2n2)1n.221(121,11n222221n32n11-0,所以1 22 22cLc0,所以S2nf(n1)f(n)，從而f(n)(nN*)遞增,(12)成立此時用單調(diào)函數(shù)放縮法可行。同樣的題干，稍有調(diào)整，我們所用的方法便有不同5、放縮法的策略以及精度的控制例10已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足Lan2SnSn120(n2)(I)數(shù)列右是否為等差數(shù)列？并證明你的結(jié)論；(II)求Sn和an；2(III)求證：S；S2SLS；簡解：(1)(2)SiA,an2n2n(n1)(n2)(3)證法一

12、：當n1時，SS2S21±),-成立；當n2,n211n44(13LS2114(1)n證法二：綜上所述，S211)(2n1)i(2n14n24n2(2n12(1點評：兩種證法的不同在于策略的選擇不同。方法一是將1122第二項起，要分類討論；而方法二是將111一放大成4n2。明顯4n14n111)2n12(12n1)12放大成2-亦，需從4n24n2比4n4n大很多，一比2更接近2。從中可以發(fā)現(xiàn)放縮后的式子越接近放縮前的式子,4n4n14n4n縮小放縮度，提高放縮精放縮程度越小，精確程度越高，保留的項就越少，運算就越簡單。因此，在放縮時，要盡量度，避免運算上的麻煩。選取的例題都是高考或模擬考中的壓軸題，有一定難度，從中我們可以發(fā)現(xiàn)放縮法是證明數(shù)列型