數(shù)學(xué)建模淋雨模型

1、淋雨量模型摘要步入雨季， 降雨天氣逐漸開始在人們的日常生活中頻繁出現(xiàn)起來， 與此同時(shí)，突如其來的雨水也常常帶給無準(zhǔn)備的人們淋成落湯雞的窘境。面對驟雨，大多數(shù)人在通常情況下會選擇快速奔跑以希求淋雨最少。然而這樣真的能淋雨最少嗎？以此日常情景為背景提出了四個(gè)問題，本文運(yùn)用幾何知識、物理知識等方法成功解決了這四個(gè)問題，得到了在不同的降雨條件下人體在雨中奔跑時(shí)淋雨多少與奔跑速度、 降雨方向等因素的關(guān)系。并針對不同降雨條件給出了淋雨量最少的方法。針對問題一，條件給出：不考慮雨的方向，降雨淋遍全身；確定淋雨量為人體表面積與單位面積降雨量及淋雨時(shí)間之積針對問題二，根據(jù)已知條件 （雨從迎面吹來，雨線與跑步方向

2、在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為 ），對雨線的速度分別沿水平、豎直方向正交分解，并綜合考慮人的速度與雨線速度的制約關(guān)系，建立模型，得出函數(shù)模型。并對函數(shù)求導(dǎo)分析最小淋雨量對應(yīng)速度。針對問題三，在雨從背面吹來，雨線方向跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為 的條件下，對雨線的速度分別沿水平、豎直方向正交分解，并綜合考慮人的速度與雨線速度的制約關(guān)系，建立模型，得出函數(shù)模型。并對函數(shù)分析最小淋雨量對應(yīng)速度。以總淋雨量為縱軸，速度v為橫軸，對函數(shù)用Excel 作圖（考慮 的影響），并解釋結(jié)果的實(shí)際意義。針對問題四， 綜合考慮前三種情況的共同作用，并基于前三種模型進(jìn)行修正。最后，對所建立的模型和求解方法的

3、方法的優(yōu)缺點(diǎn)給出了客觀的評價(jià)，并指出誤差所在。關(guān)鍵字： 淋雨量雨速大小雨速方向跑步速度路程遠(yuǎn)近一、問題重述要在雨中從一處沿直線跑到另一處，若雨速為常數(shù)且方向不變，試建立數(shù)學(xué)模型討論是否跑得越快，淋雨量越少。將人體簡化成一個(gè)長方體，高 a=1.5m （頸部以下），寬 b=0.5m ，厚 c=0.2m ，設(shè)跑步的距離 d=1000m ，跑步的最大速度 vm=5m/s ，雨速 u=4m/s ，降雨量 =2cm/h ，及跑步速度為 v ，按以下步驟進(jìn)行討論 ：（ 1）、不考慮雨的方向，設(shè)降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估計(jì)跑完全程的總淋雨量 ;（ 2）、雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體

4、的夾角為 ，如圖 1.建立總淋雨量與速度 v及參數(shù) a， b， c， d， u， ， 之間的關(guān)系，問速度 v多大，總淋雨里最少。計(jì)算 =0， =30°的總淋雨量.（ 3）、雨從背面吹來，雨線方向跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為 ，如圖 2.建立總淋雨量與速度 v 及參數(shù) a， b， c， d， u， ， 之間的關(guān)系，問速度 v多大，總淋雨量最小。計(jì)算 =30°的總淋雨量 .（ 4）、以總淋雨量為縱軸，速度v 為橫軸，對（ 3）作圖（考慮 的影響），并解釋結(jié)果的實(shí)際意義.（ 5）、若雨線方向跑步方向不在同一平面內(nèi)，模型會有什么變化？二、問題分析淋雨量是指人在雨中行走時(shí)全

5、身所接收到得雨的體積，可表示為單位時(shí)間單位面積上淋雨的多少與接收雨的面積和淋雨時(shí)間的乘積?？傻茫毫苡炅浚?V ） =降雨量（ ）×人體淋雨面積（ S）×淋浴時(shí)間（時(shí)間（ t）=跑步距離（ d）÷人跑步速度（ v）由 得：淋雨量（ V ）=×S×d/vt）三、模型假設(shè)（1）、將人體簡化成一個(gè)長方體， 高 a=1.5m（頸部以下），寬 b=0.5m，厚 c=0.2m. 設(shè)跑步距離 d=1000m，跑步最大速度 vm=5m/s，雨速 u=4m/s，降雨量 =2cm/h，記跑步速度為 v；（2）、假設(shè)降雨量到一定時(shí)間時(shí)，應(yīng)為定值；（3）、此人在雨中跑步

6、應(yīng)為直線跑步；（4）、問題中涉及的降雨量應(yīng)指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因?yàn)樗梢灾庇^的表示降雨量的多少；四、定義與符號說明淋 雨 量V降 雨 量人體淋雨面積S淋浴時(shí)間t跑步距離d跑步速度v人 高a人 寬b人 厚c五、模型求解（一）、模型建立及求解：設(shè)不考慮雨的方向，降雨淋遍全身，則淋雨面積：S 2ab+2ac+bc雨中奔跑所用時(shí)間為：t=d/v總降雨量V ×S×d/v 2cm/h=2×10-2/3600 (m/s)將相關(guān)數(shù)據(jù)代入模型中，可解得：S2.2 （）V 0.00244446 (cm3)=2.44446 (L)、模型建立及求解：若雨從迎

7、面吹來， 雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)， 且與人體的夾角為 . ，則淋雨量只有兩部分：頂部淋雨量和前部淋雨量 . （如圖 1）設(shè)雨從迎面吹來時(shí)與人體夾角為.，且 0 °<<90°，建立 a，b，c，d，u，之間的關(guān)系為：（1）、考慮前部淋雨量：（由圖可知）雨速的水平分量為u sin且方向與 v相反，故人相對于雨的水平速度為：則前部單位時(shí)間單位面積淋雨量為：又因?yàn)榍安康牧苡昝娣e為：a b ，時(shí)間為： d/v于是前部淋雨量 V2為 ：即：V 2a b du sinv / u v（2）、考慮頂部淋雨量： （由圖可知）雨速在垂直方向只有向下的分量，且與 v無關(guān)，所以頂部單

8、位時(shí)間單位面積淋雨量為cos，頂部面積為b c，淋雨時(shí)間為d / v，于是頂部淋雨量為：V1b cd cos/ v由可算得總淋雨量 :代入數(shù)據(jù)求得：由V（ v) 函數(shù)可知：總淋雨量（V）與人跑步的速度（ v）以及雨線與人的夾角（）兩者有關(guān)。對函數(shù) V（v）求導(dǎo)，得：顯然： V <0， 所以 V為v的減函數(shù)， V隨v增大而減小。因此，速度 v=vm=5m/s ，總淋雨量最小。（）當(dāng) =0，代入數(shù)據(jù)，解得：3） 1.153 （L）（）當(dāng) =30°，代入數(shù)據(jù)，解得：V 0.0014025(m3) 1.403 （L）（三）、模型建立及求解：若雨從背面吹來， 雨線方向與跑步方向在同一平面

9、內(nèi)， 且與人體的夾角為 則淋雨量只有兩部分：頂部淋雨量和后部淋雨量 . （如圖 2）設(shè)雨從背部吹來時(shí)與人體夾角為， 且0°90°, 建立 a，b，c，d，u，之間的關(guān)系為：（1）、先考慮頂部淋雨量：當(dāng)雨從背面吹來，而對于人頂部的淋雨量V1 ，它與模型中一樣，雨速在垂直方向只有向下的分量，同理可得：usinv， vu sin（2）、后部淋雨量：人相對于雨的水平速度為：vusin， vu sinusinv / u ，vu sin從而可得，人背部單位時(shí)間單位面積淋雨量為：vusin / u ，vu sinV 3a b du sinv / u ， vu sin可得人背部淋雨量為：V

10、 3a b dvu sin/ u ， vu sin而總淋雨量： V=V1 V3Vb cdcos/ va b d(u sinv) / u ， vu sin從而有： Vb cdcos/ va b d( vusin ) / u ， vu sinVb dc cosa sin/ v，vu sina / uVb dc cosa sin/ v，vu sin化簡式得：a / uV0.2cos1.5sin/ v，vu sin0.375 / 360V0.2cos1.5sin/ v，vu sin代入相關(guān)數(shù)據(jù)化簡得：0.375 / 360由V（v) 函數(shù)可知：總淋雨量（ V）與人跑步的速度（ v）以及雨線與人的夾角（

11、 ）兩者有關(guān)。（）、當(dāng) vu sin時(shí)，且 0° 90°，可得： c cos a sin >0對式求導(dǎo)，易知 V <0；所以，總淋雨量（ V）隨著速度（ v）的增加而減少，因此， vu sin總淋雨量最小。（）、當(dāng) v >u sin 時(shí)，且 0° 90°，對式求導(dǎo)，V解得：( ) 、當(dāng) 1.5sin1.5sin0.2cos2（180 v） 0.2 cos <0時(shí)，即： tan <2/15, 即V<0；從而推出，總淋雨量（ V）隨著速度（ v）的增加而減少，所以，速度v=vm ，總淋雨量最小。（）、當(dāng) 1.5sin 0.

12、2 cos >0時(shí)，即 ： tan >2/15, 即V>0；從而推出，總淋雨量（ V）隨著速度（ v）的增加而增加，所以，當(dāng)速度（ v）取最小，即v=u sin 總淋雨量最小。當(dāng) 30°， tan >2/15 ，由模型分析的，當(dāng) v=u sin =4×1/2=2 （m/s）總淋雨量最小，且 V=0.0002405（ m3）=0.2405(L)四：根據(jù)問題 3中所求的降雨量然后對式子分別求導(dǎo)可以畫出如下的圖VVtan <c/atan >c/aOOu sinvvu sin結(jié)果的實(shí)際意義：從背面吹來時(shí)，只要滿足：tan >c/a 則v=

13、u sin 時(shí)V最小，相當(dāng)于人的前面背面都不會淋雨，只有頂部淋雨.五：模型五簡歷及求解當(dāng)雨線方向與跑步方向不在同一平面是，它又分為雨從前斜方后后斜方飄來（1）雨從前斜方飄來，設(shè)它與前面形成的夾角為 ，與頂部形成的夾角為 ，與側(cè)面形成的夾角為 。方法與二三模型的方法相同。 前面的淋雨量 V1=ab(u+u sin ) d/v; 頂部的淋雨量為V2=bcu sin d/v; 側(cè)面的淋雨量為 V3=acu sin d/v 。總的淋雨量就為 V=V1+V2+V3.(2) 雨從后斜方飄來時(shí)，它與后面形成的夾角為 ，與頂部形成的夾角為 ，與側(cè)面形成的夾角為 。頂部和側(cè)面的淋雨量都不變， 只有后面淋雨量與雨

14、速與人的速度相對關(guān)系有關(guān)。頂部的淋雨量為 V1=bcu sin d/v; 側(cè)面的淋雨量為 V2=acu sin d/v 。usinv ，vu sin人相對于雨的水平速度為：vusin，vu sin ，V 3a b dusinv / u ，vu sin則人背部淋雨量為：V 3a b dvusin / u ，vu sin則人的總淋雨量為 V=V1+V2+V3六、模型分析（1）在該模型中考慮到雨的方向問題，這個(gè)模型跟模型二相似，將模型二與模型三綜合起來跟實(shí)際的生活就差不多很相似了 。 由這三個(gè)模型可以得出在一定的速度下人跑的越快淋雨量就越少。（2）若雨迎面吹來時(shí)，跑得越快越好（3）若雨從背面吹來時(shí)，分