數(shù)學建模淋雨模型

1、淋雨量模型摘要步入雨季， 降雨天氣逐漸開始在人們的日常生活中頻繁出現(xiàn)起來， 與此同時，突如其來的雨水也常常帶給無準備的人們淋成落湯雞的窘境。面對驟雨，大多數(shù)人在通常情況下會選擇快速奔跑以希求淋雨最少。然而這樣真的能淋雨最少嗎？以此日常情景為背景提出了四個問題，本文運用幾何知識、物理知識等方法成功解決了這四個問題，得到了在不同的降雨條件下人體在雨中奔跑時淋雨多少與奔跑速度、 降雨方向等因素的關系。并針對不同降雨條件給出了淋雨量最少的方法。針對問題一，條件給出：不考慮雨的方向，降雨淋遍全身；確定淋雨量為人體表面積與單位面積降雨量及淋雨時間之積針對問題二，根據(jù)已知條件 （雨從迎面吹來，雨線與跑步方向

2、在同一平面內，且與人體的夾角為 ），對雨線的速度分別沿水平、豎直方向正交分解，并綜合考慮人的速度與雨線速度的制約關系，建立模型，得出函數(shù)模型。并對函數(shù)求導分析最小淋雨量對應速度。針對問題三，在雨從背面吹來，雨線方向跑步方向在同一平面內，且與人體的夾角為 的條件下，對雨線的速度分別沿水平、豎直方向正交分解，并綜合考慮人的速度與雨線速度的制約關系，建立模型，得出函數(shù)模型。并對函數(shù)分析最小淋雨量對應速度。以總淋雨量為縱軸，速度v為橫軸，對函數(shù)用Excel 作圖（考慮 的影響），并解釋結果的實際意義。針對問題四， 綜合考慮前三種情況的共同作用，并基于前三種模型進行修正。最后，對所建立的模型和求解方法的

3、方法的優(yōu)缺點給出了客觀的評價，并指出誤差所在。關鍵字： 淋雨量雨速大小雨速方向跑步速度路程遠近一、問題重述要在雨中從一處沿直線跑到另一處，若雨速為常數(shù)且方向不變，試建立數(shù)學模型討論是否跑得越快，淋雨量越少。將人體簡化成一個長方體，高 a=1.5m （頸部以下），寬 b=0.5m ，厚 c=0.2m ，設跑步的距離 d=1000m ，跑步的最大速度 vm=5m/s ，雨速 u=4m/s ，降雨量 =2cm/h ，及跑步速度為 v ，按以下步驟進行討論 ：（ 1）、不考慮雨的方向，設降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估計跑完全程的總淋雨量 ;（ 2）、雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內，且與人體

4、的夾角為 ，如圖 1.建立總淋雨量與速度 v及參數(shù) a， b， c， d， u， ， 之間的關系，問速度 v多大，總淋雨里最少。計算 =0， =30°的總淋雨量.（ 3）、雨從背面吹來，雨線方向跑步方向在同一平面內，且與人體的夾角為 ，如圖 2.建立總淋雨量與速度 v 及參數(shù) a， b， c， d， u， ， 之間的關系，問速度 v多大，總淋雨量最小。計算 =30°的總淋雨量 .（ 4）、以總淋雨量為縱軸，速度v 為橫軸，對（ 3）作圖（考慮 的影響），并解釋結果的實際意義.（ 5）、若雨線方向跑步方向不在同一平面內，模型會有什么變化？二、問題分析淋雨量是指人在雨中行走時全

5、身所接收到得雨的體積，可表示為單位時間單位面積上淋雨的多少與接收雨的面積和淋雨時間的乘積?？傻茫毫苡炅浚?V ） =降雨量（ ）×人體淋雨面積（ S）×淋浴時間（時間（ t）=跑步距離（ d）÷人跑步速度（ v）由 得：淋雨量（ V ）=×S×d/vt）三、模型假設（1）、將人體簡化成一個長方體， 高 a=1.5m（頸部以下），寬 b=0.5m，厚 c=0.2m. 設跑步距離 d=1000m，跑步最大速度 vm=5m/s，雨速 u=4m/s，降雨量 =2cm/h，記跑步速度為 v；（2）、假設降雨量到一定時間時，應為定值；（3）、此人在雨中跑步

6、應為直線跑步；（4）、問題中涉及的降雨量應指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因為它可以直觀的表示降雨量的多少；四、定義與符號說明淋 雨 量V降 雨 量人體淋雨面積S淋浴時間t跑步距離d跑步速度v人 高a人 寬b人 厚c五、模型求解（一）、模型建立及求解：設不考慮雨的方向，降雨淋遍全身，則淋雨面積：S 2ab+2ac+bc雨中奔跑所用時間為：t=d/v總降雨量V ×S×d/v 2cm/h=2×10-2/3600 (m/s)將相關數(shù)據(jù)代入模型中，可解得：S2.2 （）V 0.00244446 (cm3)=2.44446 (L)、模型建立及求解：若雨從迎

7、面吹來， 雨線與跑步方向在同一平面內， 且與人體的夾角為 . ，則淋雨量只有兩部分：頂部淋雨量和前部淋雨量 . （如圖 1）設雨從迎面吹來時與人體夾角為.，且 0 °<<90°，建立 a，b，c，d，u，之間的關系為：（1）、考慮前部淋雨量：（由圖可知）雨速的水平分量為u sin且方向與 v相反，故人相對于雨的水平速度為：則前部單位時間單位面積淋雨量為：又因為前部的淋雨面積為：a b ，時間為： d/v于是前部淋雨量 V2為 ：即：V 2a b du sinv / u v（2）、考慮頂部淋雨量： （由圖可知）雨速在垂直方向只有向下的分量，且與 v無關，所以頂部單

8、位時間單位面積淋雨量為cos，頂部面積為b c，淋雨時間為d / v，于是頂部淋雨量為：V1b cd cos/ v由可算得總淋雨量 :代入數(shù)據(jù)求得：由V（ v) 函數(shù)可知：總淋雨量（V）與人跑步的速度（ v）以及雨線與人的夾角（）兩者有關。對函數(shù) V（v）求導，得：顯然： V <0， 所以 V為v的減函數(shù)， V隨v增大而減小。因此，速度 v=vm=5m/s ，總淋雨量最小。（）當 =0，代入數(shù)據(jù)，解得：3） 1.153 （L）（）當 =30°，代入數(shù)據(jù)，解得：V 0.0014025(m3) 1.403 （L）（三）、模型建立及求解：若雨從背面吹來， 雨線方向與跑步方向在同一平面

9、內， 且與人體的夾角為 則淋雨量只有兩部分：頂部淋雨量和后部淋雨量 . （如圖 2）設雨從背部吹來時與人體夾角為， 且0°90°, 建立 a，b，c，d，u，之間的關系為：（1）、先考慮頂部淋雨量：當雨從背面吹來，而對于人頂部的淋雨量V1 ，它與模型中一樣，雨速在垂直方向只有向下的分量，同理可得：usinv， vu sin（2）、后部淋雨量：人相對于雨的水平速度為：vusin， vu sinusinv / u ，vu sin從而可得，人背部單位時間單位面積淋雨量為：vusin / u ，vu sinV 3a b du sinv / u ， vu sin可得人背部淋雨量為：V

10、 3a b dvu sin/ u ， vu sin而總淋雨量： V=V1 V3Vb cdcos/ va b d(u sinv) / u ， vu sin從而有： Vb cdcos/ va b d( vusin ) / u ， vu sinVb dc cosa sin/ v，vu sina / uVb dc cosa sin/ v，vu sin化簡式得：a / uV0.2cos1.5sin/ v，vu sin0.375 / 360V0.2cos1.5sin/ v，vu sin代入相關數(shù)據(jù)化簡得：0.375 / 360由V（v) 函數(shù)可知：總淋雨量（ V）與人跑步的速度（ v）以及雨線與人的夾角（

11、 ）兩者有關。（）、當 vu sin時，且 0° 90°，可得： c cos a sin >0對式求導，易知 V <0；所以，總淋雨量（ V）隨著速度（ v）的增加而減少，因此， vu sin總淋雨量最小。（）、當 v >u sin 時，且 0° 90°，對式求導，V解得：( ) 、當 1.5sin1.5sin0.2cos2（180 v） 0.2 cos <0時，即： tan <2/15, 即V<0；從而推出，總淋雨量（ V）隨著速度（ v）的增加而減少，所以，速度v=vm ，總淋雨量最小。（）、當 1.5sin 0.

12、2 cos >0時，即 ： tan >2/15, 即V>0；從而推出，總淋雨量（ V）隨著速度（ v）的增加而增加，所以，當速度（ v）取最小，即v=u sin 總淋雨量最小。當 30°， tan >2/15 ，由模型分析的，當 v=u sin =4×1/2=2 （m/s）總淋雨量最小，且 V=0.0002405（ m3）=0.2405(L)四：根據(jù)問題 3中所求的降雨量然后對式子分別求導可以畫出如下的圖VVtan <c/atan >c/aOOu sinvvu sin結果的實際意義：從背面吹來時，只要滿足：tan >c/a 則v=

13、u sin 時V最小，相當于人的前面背面都不會淋雨，只有頂部淋雨.五：模型五簡歷及求解當雨線方向與跑步方向不在同一平面是，它又分為雨從前斜方后后斜方飄來（1）雨從前斜方飄來，設它與前面形成的夾角為 ，與頂部形成的夾角為 ，與側面形成的夾角為 。方法與二三模型的方法相同。 前面的淋雨量 V1=ab(u+u sin ) d/v; 頂部的淋雨量為V2=bcu sin d/v; 側面的淋雨量為 V3=acu sin d/v ?？偟牧苡炅烤蜑?V=V1+V2+V3.(2) 雨從后斜方飄來時，它與后面形成的夾角為 ，與頂部形成的夾角為 ，與側面形成的夾角為 。頂部和側面的淋雨量都不變， 只有后面淋雨量與雨

14、速與人的速度相對關系有關。頂部的淋雨量為 V1=bcu sin d/v; 側面的淋雨量為 V2=acu sin d/v 。usinv ，vu sin人相對于雨的水平速度為：vusin，vu sin ，V 3a b dusinv / u ，vu sin則人背部淋雨量為：V 3a b dvusin / u ，vu sin則人的總淋雨量為 V=V1+V2+V3六、模型分析（1）在該模型中考慮到雨的方向問題，這個模型跟模型二相似，將模型二與模型三綜合起來跟實際的生活就差不多很相似了 。 由這三個模型可以得出在一定的速度下人跑的越快淋雨量就越少。（2）若雨迎面吹來時，跑得越快越好（3）若雨從背面吹來時，分