Chapter One隨機(jī)事件及其概率(Random Events and Probability)

1、Chapter OneChapter One隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)事件及其概率(Random Events and Probability) 1.1 隨機(jī)事件隨機(jī)事件(Random Events) 1.2 概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的統(tǒng)計(jì)定義 (The Statistic Definition of Probability)1.3 古典概型古典概型(Classical Probability)1.4 條件概率條件概率(Conditional Probability)1.5 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性(Independence of Events)1.1 隨機(jī)事件隨機(jī)事件(Random Events) 一、

2、一、 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)(Random experiment) 1. 拋一枚硬幣，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況。拋一枚硬幣，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況。2. 將一枚硬幣拋三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)。將一枚硬幣拋三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)。3. 拋一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。拋一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。4. 記錄車站售票處一天內(nèi)售出的車票數(shù)。記錄車站售票處一天內(nèi)售出的車票數(shù)。5. 在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命。在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命。6. 記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度。記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度。這些試驗(yàn)都具有以下的特點(diǎn)：這些試驗(yàn)都具有以下的特點(diǎn)： .可以在相同的條件下

3、重復(fù)地進(jìn)行；可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行； .每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事 先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果； .進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì) 出現(xiàn)。出現(xiàn)。 在概率論中，我們將具有上述三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱在概率論中，我們將具有上述三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)(Random experiment)。 二、二、 樣本空間樣本空間(Sampling space) 1.1： 把隨機(jī)試驗(yàn)把隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果的所有可能結(jié)果組成的集合稱為組成的集合稱為E的樣本空間，記為的樣本空間，記為S。樣本

4、空間的。樣本空間的元素，即元素，即E的每個(gè)結(jié)果的每個(gè)結(jié)果,稱為樣本點(diǎn)稱為樣本點(diǎn)(Sampling point)。 例如，上面的例如，上面的6個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間分別為：個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間分別為： 這里的這里的n是售票處一天內(nèi)準(zhǔn)備出售的車票數(shù)是售票處一天內(nèi)準(zhǔn)備出售的車票數(shù)n x表示最低溫度，表示最低溫度，y表示最高溫度表示最高溫度 1,SH T20,1,2,3S 31,2,3,4,5,6S 41,2, Sn5|0St t601( , )|Sx yTxyT三、三、 隨機(jī)事件隨機(jī)事件(Random event) 1.2：在隨機(jī)試驗(yàn)中：在隨機(jī)試驗(yàn)中,可能發(fā)生也可能不可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事情就叫隨機(jī)

5、事件發(fā)生的事情就叫隨機(jī)事件(Random event)。隨機(jī)事件常用大。隨機(jī)事件常用大寫字母寫字母A,B,C,表示，它是樣本空間表示，它是樣本空間S的子集合。的子集合。 在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)子集在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)子集A中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱事件時(shí)，稱事件A發(fā)生。發(fā)生。 對于一個(gè)試驗(yàn)，在每次試驗(yàn)中必然發(fā)生的事件，稱為對于一個(gè)試驗(yàn)，在每次試驗(yàn)中必然發(fā)生的事件，稱為E的必然事件的必然事件(Certain event)；在每次試驗(yàn)中都不發(fā)生的事；在每次試驗(yàn)中都不發(fā)生的事件，稱為件，稱為E的不可能事件的不可能事件(Impossible event)。 四、四、 事件間的關(guān)系與運(yùn)

6、算事件間的關(guān)系與運(yùn)算 (Relation and operation of events) 設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為的樣本空間為S，而，而A,B,Ak(k=1,2,)是是S的子集。的子集。 1.事件的包含與相等事件的包含與相等(Inclusion and equivalent relation) 記為記為 2.事件的和事件的和(Union of events) 記為記為 3.事件的積事件的積(Product of events) 記為記為 AB knkA1knkA1 4.事件的差事件的差(Difference of events) 記為記為 5.互不相容事件互不相容事件(互斥互斥)(Inco

7、mpatible events) 記為記為 6.對立事件對立事件(Opposite events) 記為記為 7.事件運(yùn)算滿足的定律事件運(yùn)算滿足的定律 交換律交換律(Exchange law)： 結(jié)合律結(jié)合律(Combination law)： 分配律分配律(Distributive law)： 對偶律對偶律(Dual law)： BAABAABBA)()(CBACBA)()()(BCACCBABABABAABExample 1.1 向指定目標(biāo)射三槍，觀察射中目標(biāo)的情況。用向指定目標(biāo)射三槍，觀察射中目標(biāo)的情況。用A1、A2、A3分別表示事件分別表示事件“第第1、2、3槍擊中目標(biāo)槍擊中目標(biāo)”，試

8、用，試用A1、A2、A3 表示以下各事件：表示以下各事件： 1.只擊中第一槍；只擊中第一槍；2.只擊中一槍；只擊中一槍； 3.三槍都沒擊中；三槍都沒擊中；4.至少擊中一槍。至少擊中一槍。Solution : 1. 2. 3. 4.123A A A123123123A A AA A AA A A123A A A123123123123123123123A A AA A AA A AA A AA A AA A AA A A1.2 概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的統(tǒng)計(jì)定義(The Statistic Definition of Probability)一、一、 頻率頻率(Frequency) 1.3:設(shè)設(shè)E為任

9、一隨機(jī)試驗(yàn)，為任一隨機(jī)試驗(yàn)，A為其中為其中任一事件，在相同條件下，把任一事件，在相同條件下，把E獨(dú)立的重復(fù)做獨(dú)立的重復(fù)做n次，次，nA表示事件表示事件A在這在這n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)次試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)(稱為頻數(shù)稱為頻數(shù))。比。比值值 稱為事件稱為事件A在這在這n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率(Frequency).nnAfAn)(二、二、 概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的統(tǒng)計(jì)定義 (The statistic definition of probability) Definition 1.4 設(shè)有隨機(jī)試驗(yàn)，若當(dāng)試驗(yàn)的設(shè)有隨機(jī)試驗(yàn)，若當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)充分大時(shí)，事件的發(fā)生頻率穩(wěn)定在某數(shù)附近次數(shù)充分大時(shí)，事件的

10、發(fā)生頻率穩(wěn)定在某數(shù)附近擺動(dòng)，則稱數(shù)為事件的概率擺動(dòng)，則稱數(shù)為事件的概率(Probability)，記為：，記為：注：注：1 事件出現(xiàn)的概率是事件的一種屬性。也就事件出現(xiàn)的概率是事件的一種屬性。也就是說完全決定于事件本身的結(jié)果，是先于試驗(yàn)客是說完全決定于事件本身的結(jié)果，是先于試驗(yàn)客觀存在的。觀存在的。 2 概率的統(tǒng)計(jì)定義只是描述性的。概率的統(tǒng)計(jì)定義只是描述性的。 3 通常只能在充分大時(shí)，以事件出現(xiàn)的頻率通常只能在充分大時(shí)，以事件出現(xiàn)的頻率作為事件概率的近似值。作為事件概率的近似值。 pAP)(三、三、 概率的性質(zhì)概率的性質(zhì) (The property of probability) 1.3 古典

11、概型古典概型 (Classical Probability)一、一、 古典概型（等可能概型）古典概型（等可能概型）(Classical probability) “概型概型”是指某種概率模型。是指某種概率模型。“古典概型古典概型”是一是一種最簡單、最直觀的概率模型。如果做某個(gè)隨機(jī)試種最簡單、最直觀的概率模型。如果做某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)時(shí)，只有有限個(gè)事件可能發(fā)生，且事件滿足下面驗(yàn)時(shí)，只有有限個(gè)事件可能發(fā)生，且事件滿足下面三條：三條： 1 發(fā)生的可能性相等發(fā)生的可能性相等(等可能性等可能性)； 2 在任意一次試驗(yàn)中至少有一個(gè)發(fā)生在任意一次試驗(yàn)中至少有一個(gè)發(fā)生(完備性完備性)； 3 在任意一次試驗(yàn)中至多有一個(gè)發(fā)生在任意一次試驗(yàn)中至多有一個(gè)發(fā)生(互不相容互不相容). 具有上述特性的概型稱為古典概型。具有上述特性的概型稱為古典概型。稱為基本事件。稱為基本事件。nAAA,21 等可能概型中事件概