量子力學初步

1、1量子力學初步2本章內容Contentschapter 23波函數及其統(tǒng)計解釋波函數及其統(tǒng)計解釋wave function and its statistical explanation薛定諤方程薛定諤方程Schrodinger equation隧道效應隧道效應tunnel effect不確定關系不確定關系uncertainty relation3第一節(jié)wave function and its statistical explanation2 3 - 14引言 量子力學是描述微觀粒子運動規(guī)律的學科。它是現代物理學的理論支柱之一，被廣泛地應用于化學、生物學、電子學及高新技術等許多領域。 本章主

2、要介紹量子力學的基本概念及原理，并通過幾個具體事例的討論來說明量子力學處理問題的一般方法。5波函數回顧：德布羅意關于物質的波粒二象性假設速度為質量為的自由粒子一方面可用 能量 和 動量 來描述它的粒子性另一方面可用 頻率 和 波長 來描述它的波動性 波函數是描述具有波粒二象性的微觀客體的量子狀態(tài)的函數，知道了某微觀客體的波函數后，原則上可得到該微觀客體的全部知識。下面從量子力學的基本觀點出發(fā)，建立自由粒子的波函數。6自由粒子波函數在量子力學中用復數表達式：應用歐拉公式取實部 應用德布羅意公式即即即的自由粒子的波函數為沿 X方向勻速直線運動 在波動學中，描述波動過程的數學函數都是空間、時間二元函

3、數一列沿 X 軸正向傳播的平面單色簡諧波的波動方程沿 方向勻速直線運動的自由粒子的波函數為7續(xù)上在量子力學中用復數表達式：應用歐拉公式取實部 應用德布羅意公式即即即沿 方向勻速直線運動的自由粒子的波函數為的自由粒子的波函數為沿 X方向勻速直線運動 在波動學中，描述波動過程的數學函數都是空間、時間二元函數一列沿 X 軸正向傳播的平面單色簡諧波的波動方程自由粒子的波函數 自由粒子的能量和動量為常量，其波函數所描述的德布羅意波是平面波。不是常量，其波函數所描述的德布羅意波就不是平面波。對于處在外場作用下運動的非自由粒子，其能量和動量外場不同，粒子的運動狀態(tài)及描述運動狀態(tài)的波函數也不相同。微觀客體的運

4、動狀態(tài)可用波函數來描述，這是量子力學的一個基本假設。8概率密度 設描述粒子運動狀態(tài)的波函數為 ，則 空間某處波的強度與在該處發(fā)現粒子的概率成正比；在該處單位體積內發(fā)現粒子的概率（概率密度）與 的模的平方成正比。是的共軛復數德布羅意波又稱 概率波概率波波函數又稱 概率幅概率幅取比例系數為1，即1926 年提出了對 波函數的統(tǒng)計解釋9波函數歸一化因概率密度故在 矢端的體積元 內發(fā)現粒子的概率為 在波函數存在的全部空間 V 中必能找到粒子，即在全部空間 V 中 粒子出現的概率為1。此條件稱為 波函數的歸一化條件滿足歸一化條件的波函數稱為 歸一化波函數波函數具有統(tǒng)計意義，其函數性質應具備三個標準條件：

5、10概率波與經典波德布羅意波（概率波）不同于 經典波（如機械波、電磁波）德布羅意波經 典 波是振動狀態(tài)的傳播不代表任何物理量的傳播波強（振幅的平方）代表通過某點的能流密度波強（振幅的平方）代表粒子在某處出現的概率密度概率密度分布取決于空間各點波強的比例，并非取決于波強的絕對值。能流密度分布取決于空間各點的波強的絕對值。 因此，將波函數在空間各點的振幅同時增大 C倍，不影響粒子的概率密度分布，即 和C 所描述德布羅意波的狀態(tài)相同。 因此，將波函數在空間各點的振幅同時增大 C倍，則個處的能流密度增大 C 倍，變?yōu)榱硪环N能流密度分布狀態(tài)。波函數存在歸一化問題。波動方程無歸一化問題。波函數存在歸一化問

6、題。11波函數標準條件波函數的三個標準條件：連續(xù)因概率不會在某處發(fā)生突變，故波函數必須處處連續(xù)；單值因任一體積元內出現的概率只有一種，故波函數一定是單值的；有限因概率不可能為無限大，故波函數必須是有限的；以一維波函數為例，在下述四種函數曲線中，只有一種符合標準條件符合不符合不符合不符合12算例某粒子的波函數為歸一化波函數概率密度概率密度最大的位置令求積分得：積分得：得得 到到 歸歸 一一 化化 波波 函函 數數 ：概率密度得得令求極大值的求極大值的 x 坐標坐標解得解得另外兩個解另外兩個解處題設處題設處處最大13隨堂小議結束選擇結束選擇請在放映狀態(tài)下點擊你認為是對的答案請在放映狀態(tài)下點擊你認為

7、是對的答案下列波函數中合理的是下列波函數中合理的是（1 1） ；（2 2） ；（3 3） ；（4 4）14小議鏈接1結束選擇結束選擇請在放映狀態(tài)下點擊你認為是對的答案請在放映狀態(tài)下點擊你認為是對的答案下列波函數中合理的是下列波函數中合理的是（1 1） ；（2 2） ；（3 3） ；（4 4）15小議鏈接2結束選擇結束選擇請在放映狀態(tài)下點擊你認為是對的答案請在放映狀態(tài)下點擊你認為是對的答案下列波函數中合理的是下列波函數中合理的是（1 1） ；（2 2） ；（3 3） ；（4 4）16小議鏈接3結束選擇結束選擇請在放映狀態(tài)下點擊你認為是對的答案請在放映狀態(tài)下點擊你認為是對的答案下列波函數中合理的是

8、下列波函數中合理的是（1 1） ；（2 2） ；（3 3） ；（4 4）17小議鏈接4結束選擇結束選擇請在放映狀態(tài)下點擊你認為是對的答案請在放映狀態(tài)下點擊你認為是對的答案下列波函數中合理的是下列波函數中合理的是（1 1） ；（2 2） ；（3 3） ；（4 4）18第二節(jié)Schrodinger equation2 3 - 219薛定諤方程引言經典力學牛頓力學方程根據初始條件可求出經典質點的運動狀態(tài)經典質點有運動軌道概念不考慮物質的波粒二象性量子力學 針對物質的波粒二象性微觀粒子無運動軌道概念運動狀態(tài)波函數量子力學方程是否存在一個根據某種條件可求出微觀粒子的20基本算符 量子力學中的 算符是表示

9、對某一函數進行某種數學運算的符號。在量子力學中，一切力學量都可用算符來表示。這是量子力學的一個很重要的特點。算 符劈形算符數學運算符號拉普拉斯算符動量算符動能算符哈密頓算符含動、勢能位矢算符力 學 量 算 符 統(tǒng)稱 舉 例若 作用在某函數 上的效果和 與某一常量 的乘積相當，即則稱為 的 本征值稱為 的 本征函數所描述的狀態(tài)稱為 本征態(tài)力學量的可能值是它的本征值力學量的平均值由下述積分求出21薛定諤方程1925年德國物理學家薛定諤提出的非相對論性的量子力學基本方程獲1933年諾貝爾物理學獎（1887-19611887-1961）當其運動速度遠小于光速時它的波函數 所滿足的方程為質量為 的粒子在

10、勢能函數為 的勢場中運動 它反映微觀粒子運動狀態(tài)隨時間變化的力學規(guī)律，又稱含時薛定諤方程。式中， 為哈密頓算符，22可分離變量，寫成解釋：若則積分解得將常量 歸入 中，得定態(tài)波函數此外，對得 定態(tài)薛定諤方程故常量時間的函數空間的函數由對應一個可能態(tài)有一常量定態(tài)薛定諤方程勢場只是空間函數即若粒子所在的有一個能量定值含時薛定諤方程定態(tài)波函數對應于一個可能態(tài)，則定態(tài)薛定諤方程23其概率密度與時間無關所描述的狀態(tài)。它的重要特點是：所謂“定態(tài)”，就是波函數具有 形式定態(tài)波函數中的 稱為 振幅函數（有時直稱 為波函數）。的函數形式也應滿足統(tǒng)計的條件連續(xù)、單值、有限的標準條件；歸一化條件；對坐標的一階導數存

11、在且連續(xù)（使定態(tài)薛定諤方程成立）。定態(tài)問題是量子力學最基本的問題，我們僅討論若干典型的定態(tài)問題。若已知勢能函數 ，應用定態(tài)薛定諤方程可求解出 ，并得到定態(tài)波函數續(xù)上24態(tài)跌加原理 為薛定諤方程的兩個解，分別代表體系的兩個可能狀態(tài)。設為它們的線性疊加即為復常數將上式兩邊對時間求偏導數并乘以因都滿足薛定諤方程即這表明：體系兩個可能狀態(tài)的疊加仍為體系的一個可能態(tài)。稱為 態(tài)疊加原理25一維無限深勢阱粒子在某力場中運動，若力場的勢函數 U 具有下述形式該勢能函數稱作一維無限深勢阱。 應用定態(tài)薛定諤方程可求出運動粒微觀系統(tǒng)中，有關概率密度、能量這是一個理想化的物理模型，子的波函數，有助于進一步理解在量子化

12、等概念。26續(xù)上求解阱內阱外只有因及要連續(xù)、有限，薛定諤方程才成立，在阱外故粒子在無限深勢阱外出現的概率為零。 設質量為 的微觀粒子， 處在一維無限深勢阱中，該勢阱的勢能函數為阱外阱內建立定態(tài)薛定諤方程一維問題27續(xù)上求解求定態(tài)薛定諤方程的通解阱內即令得此微分方程的通解為其三角函數表達形式為式中 和 為待定常數根據標準條件確定常數和并求能量 的可能取值以及在邊界 和處又因得的取值應與阱外 連續(xù)，邊界處的故得及時阱內 不合理 舍去的負值和正值概率密度相同。同一取得28續(xù)求解求歸一化定態(tài)波函數由上述結果阱外阱內及得應滿足歸一化條件得積分歸一化定態(tài)波函數概率密度29勢阱問題小結能量量子化極不明顯，可

13、視為經典連續(xù)。間距太小間距太小在微觀粒子可能取如，電子9.110 31 kg處在寬度 10 - - 10 m ( 原子線度)的勢阱中算得 37.7 eV能量量子化明顯處在寬度 10 2 m ( 宏觀尺度)的勢阱中算得 37.7 10 - -15 eV 能量量子化是微觀世界的固有現象從能級絕對間隔看，從能級相對間隔看，則的各種能態(tài)中，隨著 值增大，逐漸向經典過渡。一維無限深勢阱中的微觀粒子 （小結）能量 量子化稱 基態(tài)能或 零點能相鄰能級的能量間隔波函數好比駐波概率密度的 稱節(jié)點位置節(jié)點位置極大的 稱最概然位置最概然位置增大, ,節(jié)點數增多,最概然位置間隔變小。 很大，概率密度趨近經典均勻分布。

14、30勢壘粒子在某力場中運動，若力場的勢函數 U 具有下述形式該勢能函數稱作一維矩形勢壘。按經典力學觀點，在量子力學中，能量 的粒子不可能穿越勢壘。后才能下結論。應求解定態(tài)薛定諤方程23-331隧道效應區(qū)區(qū)區(qū) 式中 得上述微分方程的解為設：一矩形勢壘的勢能函數 在勢函數定義的全部空間粒子的波函數都應滿足薛定諤方程一質量為 、能量為的粒子由 區(qū)向勢壘運動32續(xù)上區(qū)區(qū)區(qū)入射波反射波透射波區(qū)無反射，入入射波反反射波透透射波根據邊界條件 和 處和必須連續(xù)，可求方程中各系數的關系。透射粒子數入射粒子數透射系數透入為描述粒子透過勢壘的概率引入為原設為勢壘寬度估算表明 可見，粒子能穿過比其能量更高的勢壘， 這

15、種現象稱為 勢壘貫穿 亦稱 隧道效應。這是微觀粒子波動性的表現。 隧道效應已被許多實驗所證實，并在半導體器件、超導器件、物質表面探測等現代科技領域中有著重要的應用。33掃描隧道顯微鏡三、掃描隧道顯微鏡（STM）兩金屬的平均逸出電勢壘高度金屬1金屬2逸出電勢壘高金屬1逸出電勢壘高金屬2 金屬中的電子由于隧道效應有可能穿越比其能量更高的表面勢壘（逸出電勢壘）而逸出金屬表面，在金屬外表面附近形成電子云，電子云的分布形式與金屬晶體的結構和表面性質有關。 若兩塊金屬表面相距 很近，至使表面的電子云發(fā)生相互重疊，此時若在兩金屬間加一微弱電壓 （操作電壓），則會有微弱的電流 （隧道電流） 從一金屬流向另一金

16、屬，并可表示為實驗表明， 只要改變 0.1 n m(原子直徑線度）， 就會引起 變化一千倍左右。掃描隧道顯微鏡利用隧道效應中的這種靈敏特性，將一金屬做成極細的探針（針尖細到一個原子大?。?，在另一金屬樣品表面附近掃描，它能夠以原子級的空間分辨率去觀察物質表面的原子結構。若勢壘寬度 和勢壘平均高度 分別以 n m 和 eV 為單位時， 約為1。34續(xù)上電子云Si (111)表面 77 元胞的STM圖像亮點表示突起，暗部表示下凹電子測控及數據處理系統(tǒng)電子測控及數據處理系統(tǒng)計算機顯示系統(tǒng)計算機顯示系統(tǒng)橫向分辨率達 0.1 n m縱向分辨率達 0.005 n m真空或介質沿XY逐行掃描的同時，自控系統(tǒng)根

17、據反饋信號調節(jié)針尖到樣品表層原子點陣的距離，使 保持不變。針尖的空間坐標的變化反映了樣品表面原子陣列的幾何結構及起伏情況。經微機編碼可顯示表面結構圖像。STM可用于金屬、半導體、絕緣體和有機物表面的研究。是材料科學、生命科學和納米科學與技術的有力武器。Atomic Resolution STM on Si (111) 35不確定關系海森伯因創(chuàng)立用矩陣數學描述微觀粒子運動規(guī)律的矩陣力學，獲1932年諾貝爾物理獎（注：不確定關系又稱測不準關系，在上述表達式中的 和 都具有統(tǒng)計含義，分別代表有關位置和動量的方均根偏差。）稱為海森伯位置和動量的不確定關系，它說明，同時精確測定微觀粒子的位置和動量是不可

18、能的。微觀粒子不能同時具有確定的位置和動量，位 置 的 不 確 定 量 該方向動量的不確定量同一時刻的關系1927年，德國物理學家海森伯提出23-436續(xù)上電子束縫寬衍射圖樣電子通過單縫時發(fā)生衍射，概略地用一級衍射角所對應的動量變化分量 粗估其動量的不確定程度得即考慮到高于一級仍會有電子出現取從電子的單縫衍射現象不難理解位置和動量的不確定關系衍射圖樣單縫衍射一級暗紋條件德布羅意波長 縫寬 可用來粗估電子通過單縫時其位置 x 的不確定程度。 根據右圖可粗估 為了減小位置測量的不確定程度，可以減小縫寬 ，但與此同時，被測電子的動量的不確定量 卻變大了。與 的關系。同時為零，即微觀粒子的位置和動量不

19、可能同時精確測定，這是微觀粒子具有波粒二象性的一種客觀反映。不確定關系可用來劃分經典力學與量子力學的界限，如果在某一具體問題中，普朗克常數可以看成是一個小到被忽略的量，則不必考慮客體的波粒二象性，可用經典力學處理。通常也作為不確定關系的一種簡明的表達形式，它表明和不可能37例題一質量速度速度不確定量某飛行中的子彈m = = 0.01 kgv = = 500 m / / sv = = 0.1 v 某原子中的電子m e = = 9.110 31 kgv e = = 210 6 m / / sv e = = 0.1 v e 試應用不確定關系分別估算下述電子和子彈的位置不確定量根據位置和動量不確定關系

20、 子 彈0.10.41.110 34(m) 電 子0.10.42.910 10(m)電子的位置不確定量大到與原子的線度數量級（10 10 m ）相同，因此，不可能精確測定電子處在原子中的位置。子彈的位置不確定量比原子的線度還要小許多個數量級，小到任何精密儀器都無法觀測。因此，對宏觀物體運動的描述，不受位置和動量的不確定關系的限制。38例題二 10 6 m s - -1若以氫原子的線度10 10 m 作為電子一氫原子中的電子速度 的數量級為電子速度的不確定量電子的質量 me為9.1110 - -31 kg的坐標不確定量由不確定關系因該電子速度遠小于光速，可不考慮相對論效應，用 代入得5.7910

21、 5 m s 1已大到與 的大小相當。39隨堂小議（1 1）粒子的坐標是不能）粒子的坐標是不能精確確定的；精確確定的；（2 2）粒子的動量是不能）粒子的動量是不能精確測定的；精確測定的；（3 3）粒子的坐標和動量都）粒子的坐標和動量都是不能精確確定的；是不能精確確定的；（4 4）以上結論都不對。）以上結論都不對。不確定關系說明不確定關系說明結束選擇結束選擇請在放映狀態(tài)下點擊你認為是對的答案請在放映狀態(tài)下點擊你認為是對的答案40小議鏈接1（1 1）粒子的坐標是不能）粒子的坐標是不能精確確定的；精確確定的；（2 2）粒子的動量是不能）粒子的動量是不能精確測定的；精確測定的；（3 3）粒子的坐標和動量都）粒子的坐標和動量都是不能精確確