工程圖學(xué)基礎(chǔ)：第4章 立體的投影及其表面交線

1、第4章 立體及表面交線4.1 4.1 平面立體平面立體4.2 4.2 曲面立體曲面立體4.3 4.3 平面與立體相交平面與立體相交4.4 4.4 兩曲面立體相交兩曲面立體相交基本體 按照一定規(guī)則形成的簡單立體稱為基本體，基按照一定規(guī)則形成的簡單立體稱為基本體，基本體分為本體分為平面立體平面立體和和曲面立體曲面立體兩類。兩類。4.1 4.1 平面立體平面立體4.1.1 4.1.1 棱柱棱柱4.1.2 4.1.2 棱錐棱錐 表面均為平面構(gòu)成的立體稱為平面立體，平面立表面均為平面構(gòu)成的立體稱為平面立體，平面立體上相鄰兩表面的交線稱為棱線。常見的平面立體有體上相鄰兩表面的交線稱為棱線。常見的平面立體有

2、棱柱、棱錐和棱臺等。棱柱、棱錐和棱臺等。 立體的投影及三視圖主視圖主視圖俯視圖俯視圖左視圖左視圖XYWYHZO三視圖的位置關(guān)系和投影規(guī)律長長高高寬寬寬寬上上上上下下下下左左左左右右右右前前前前后后后后主、俯視圖主、俯視圖 長對正長對正主、左視圖主、左視圖 高平齊高平齊俯、左視圖俯、左視圖 寬相等寬相等4.1.1 4.1.1 棱棱 柱柱 由由兩個底面和若干棱面兩個底面和若干棱面組成。棱面與棱面的交線叫組成。棱面與棱面的交線叫棱線，棱線，棱線相互平行棱線相互平行。1. 1. 棱柱的投影棱柱的投影aa（a）(b(b ）b b b bYaYa 2. 2. 棱柱表面上取點(diǎn)棱柱表面上取點(diǎn)4.1.2. 4.

3、1.2. 棱棱 錐錐 由一個底面和幾個棱面組成。棱線交于有限遠(yuǎn)的一由一個底面和幾個棱面組成。棱線交于有限遠(yuǎn)的一點(diǎn)點(diǎn)錐頂錐頂。1. 1. 棱錐的投影棱錐的投影YsYsBasa c b cCASb(c)as s b2. 2. 棱錐表面上取點(diǎn)棱錐表面上取點(diǎn)Y3Y3Y2Y2Y1Y1ss a ac b b (c )cs ba 1 11 r r2 223(3 )3 4.2 4.2 曲面立體曲面立體 表面由曲面或曲面和平面構(gòu)成的立體稱為曲面立表面由曲面或曲面和平面構(gòu)成的立體稱為曲面立體，常見的曲面立體有體，常見的曲面立體有圓柱圓柱、圓錐圓錐、圓球圓球和和圓環(huán)圓環(huán)等。等。 曲面可看作由一條母線按一定的規(guī)律運(yùn)動

4、所形成，曲面可看作由一條母線按一定的規(guī)律運(yùn)動所形成，運(yùn)動的線稱為母線，而曲面上任一位置的母線稱為素運(yùn)動的線稱為母線，而曲面上任一位置的母線稱為素線。母線繞軸線旋轉(zhuǎn)，則形成回轉(zhuǎn)面。線。母線繞軸線旋轉(zhuǎn)，則形成回轉(zhuǎn)面。4.2.1 圓 柱 圓柱由圓柱面、頂面、底面所圍成。圓柱面可看作直圓柱由圓柱面、頂面、底面所圍成。圓柱面可看作直線繞與它相平行的軸線旋轉(zhuǎn)而成。線繞與它相平行的軸線旋轉(zhuǎn)而成。 1. 1. 圓柱的投影圓柱的投影2. 2. 圓柱表面上取點(diǎn)圓柱表面上取點(diǎn)YdYdYbYb( )( )A(D)CBc 4.2.2 4.2.2 圓圓 錐錐 圓錐由圓錐面、底面所圍成。圓錐面可看作直線繞與圓錐由圓錐面、底

5、面所圍成。圓錐面可看作直線繞與它相交的軸線旋轉(zhuǎn)而成。它相交的軸線旋轉(zhuǎn)而成。1. 1. 圓錐的投影圓錐的投影2. 2. 圓錐表面上取點(diǎn)圓錐表面上取點(diǎn)Y1Y2Y1Y1(2 )22 1 11 輔助素線法輔助素線法輔助圓法輔助圓法4.2.3 4.2.3 圓圓 球球 圓球是由球面圍成的。球面可看作圓繞其直徑為軸圓球是由球面圍成的。球面可看作圓繞其直徑為軸線旋轉(zhuǎn)而成。線旋轉(zhuǎn)而成。 1. 1. 圓球的投影圓球的投影2. 2. 圓球表面上取點(diǎn)圓球表面上取點(diǎn)4.2.4 4.2.4 圓環(huán)圓環(huán) 圓環(huán)是由圓環(huán)面圍成的。圓環(huán)面可看作圓繞不通過圓環(huán)是由圓環(huán)面圍成的。圓環(huán)面可看作圓繞不通過圓心但在同一平面上的軸線旋轉(zhuǎn)而成。

6、圓心但在同一平面上的軸線旋轉(zhuǎn)而成。 (1) (1) 圓環(huán)的投影圓環(huán)的投影(2) (2) 圓環(huán)表面上取點(diǎn)圓環(huán)表面上取點(diǎn)4.3 4.3 平面與立體相交平面與立體相交4.3.2 4.3.2 平面與平面立體相交平面與平面立體相交4.3.3 4.3.3 平面與曲面立體相交平面與曲面立體相交4.3.1 4.3.1 截交線的性質(zhì)截交線的性質(zhì)4.3.1 截交線的性質(zhì) 平面與立體相交在立體表面產(chǎn)生交線稱為截交線，該平面與立體相交在立體表面產(chǎn)生交線稱為截交線，該平面稱為截平面。截交線是截平面和立體表面的共有線，平面稱為截平面。截交線是截平面和立體表面的共有線，截交線上的點(diǎn)是截平面與立體表面上的共有點(diǎn)，截交線上的點(diǎn)

7、是截平面與立體表面上的共有點(diǎn)，它既在截它既在截平面上又在立體表面上。由于任何立體都有一定的空間范平面上又在立體表面上。由于任何立體都有一定的空間范圍，所以截交線一定是封閉的線條，通常是一條圍，所以截交線一定是封閉的線條，通常是一條平面曲線平面曲線或者是由曲線和直線組成的或者是由曲線和直線組成的平面圖形平面圖形或或多邊形。多邊形。截平面截平面截交線截交線4.3.2 4.3.2 平面與平面立體相交平面與平面立體相交 由于平面立體是由平面圍成的由于平面立體是由平面圍成的,截交線是封閉的平面截交線是封閉的平面多邊形，多邊形的邊是截平面與平面立體表面的交線。求多邊形，多邊形的邊是截平面與平面立體表面的交

8、線。求截交線的問題可以簡化為求平面與平面的交線問題，進(jìn)而截交線的問題可以簡化為求平面與平面的交線問題，進(jìn)而簡化為求直線與平面交點(diǎn)的問題。簡化為求直線與平面交點(diǎn)的問題。例例1 求四棱柱斜切后的截交線求四棱柱斜切后的截交線 。例例2 求帶切口三棱錐的投影。求帶切口三棱錐的投影。sssbccbaabca1yyy題步驟解題步驟1 1 分析分析 截交線截交線的正面投影已知的正面投影已知，水平投影和側(cè)，水平投影和側(cè)面投影未知；面投影未知；2 2 求出截交線上求出截交線上的折點(diǎn)的折點(diǎn)、 、 ；3 3 順次地連接各順次地連接各點(diǎn)，作出截交線點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見，并且判別可見性

9、；性；4 4 整理輪廓線。整理輪廓線。4.3.3 4.3.3 平面與曲面立體相交平面與曲面立體相交 曲面立體截交線通常是封閉的曲面立體截交線通常是封閉的平面曲線平面曲線，或是由曲線，或是由曲線和直線所圍成的和直線所圍成的平面圖形平面圖形或或多邊形多邊形。 1. 1. 平面與圓柱相交平面與圓柱相交圓圓垂直軸線垂直軸線兩平行直線兩平行直線平行軸線平行軸線橢圓橢圓傾斜軸線傾斜軸線例例3 求斜切圓柱的截交線。求斜切圓柱的截交線。解題步驟解題步驟1 1 分析分析 截交線的水平截交線的水平投影為圓，側(cè)面投影為投影為圓，側(cè)面投影為橢圓；橢圓；2 2 求出截交線上的特殊求出截交線上的特殊點(diǎn)點(diǎn)A A、B B、C

10、 C、D D；3 3 求出若干個一般點(diǎn)求出若干個一般點(diǎn)、 、 ；4 4并且判別可見性，光滑并且判別可見性，光滑且順次地連接各點(diǎn)，作且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線；出截交線；5 5 整理輪廓線。整理輪廓線。特殊點(diǎn)：特殊點(diǎn)：是指繪制曲線時有影響的各種點(diǎn)。是指繪制曲線時有影響的各種點(diǎn)。極限位置點(diǎn)極限位置點(diǎn) 曲線的最高、最低、最前、最后、最左和曲線的最高、最低、最前、最后、最左和最右點(diǎn)。最右點(diǎn)。轉(zhuǎn)向輪廓點(diǎn)轉(zhuǎn)向輪廓點(diǎn) 曲線上處于曲面投影轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)，曲線上處于曲面投影轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)，它們是區(qū)分曲它們是區(qū)分曲 線可見與不可見部分的分界點(diǎn)。線可見與不可見部分的分界點(diǎn)。特征點(diǎn)特征點(diǎn) 曲線本身具有特征的點(diǎn)，

11、如橢圓長短軸上四個曲線本身具有特征的點(diǎn)，如橢圓長短軸上四個端點(diǎn)。端點(diǎn)。結(jié)合點(diǎn)結(jié)合點(diǎn) 截交線由幾部分不同線段組成時結(jié)合處的點(diǎn)截交線由幾部分不同線段組成時結(jié)合處的點(diǎn)aaabbbcdcdBADC12341 (2 )3 (4 )1234c (d )圓柱截交線橢圓的趨勢圓柱截交線橢圓的趨勢橢圓的長、短軸隨截橢圓的長、短軸隨截平面與圓柱軸線夾角平面與圓柱軸線夾角的改變而改變。的改變而改變。45什么情況下投影為什么情況下投影為圓呢圓呢? ?截平面與軸線成截平面與軸線成4545夾角時夾角時例例4 求截切圓柱的水平投影和側(cè)面投影。求截切圓柱的水平投影和側(cè)面投影。解題步驟解題步驟1 1 分析分析 截交線的水平投影

12、截交線的水平投影為圓的一部分，側(cè)面投影為為圓的一部分，側(cè)面投影為矩形；矩形；2 2 求出截交線上的點(diǎn)求出截交線上的點(diǎn)、；3 3 順次地連接各點(diǎn)，作出截順次地連接各點(diǎn)，作出截交線并判別可見性；交線并判別可見性；4 4 整理輪廓線。整理輪廓線。例例5 求帶槽圓柱筒的側(cè)面投影。求帶槽圓柱筒的側(cè)面投影。e (f )d (c )h (g )a (b )f(g)a(d)b(c)e(h)c (g)b (f)a (e)d (h)2. 2. 平面與圓錐相交平面與圓錐相交 =90=90 90900 0 過錐頂過錐頂兩相交直線兩相交直線圓圓橢圓橢圓拋物線拋物線雙曲線雙曲線例例6 求正平面與圓錐的截交線。求正平面與圓

13、錐的截交線。解題步驟解題步驟1 1 分析分析 截交線的水平投影截交線的水平投影和側(cè)面投影已知，正面投影和側(cè)面投影已知，正面投影為雙曲線并反映實(shí)形；為雙曲線并反映實(shí)形；2 2 求出截交線上的特殊點(diǎn)求出截交線上的特殊點(diǎn)、；3 3 求出一般點(diǎn)求出一般點(diǎn) ；4 4 光滑且順次地連接各點(diǎn)，光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見作出截交線，并且判別可見性；性；5 5 整理輪廓線。整理輪廓線。11 1 2 (3 )4 (5 )4 5 2 3 2453例例7 求帶缺口圓錐的水平投影和側(cè)面投影。求帶缺口圓錐的水平投影和側(cè)面投影。111”2(3)2”3”235(6)5”6”65444”3. 3. 平面與圓

14、球相交平面與圓球相交平面與圓球相交平面與圓球相交,截交線為截交線為 圓圓例例8 求帶凹槽半球的水平投影和側(cè)面投影。求帶凹槽半球的水平投影和側(cè)面投影。分析并想象出圓球穿孔后的投影。分析并想象出圓球穿孔后的投影。4. 4. 平面與組合回轉(zhuǎn)體相交平面與組合回轉(zhuǎn)體相交 首先分析復(fù)合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成的以首先分析復(fù)合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成的以及它們的連接關(guān)系及它們的連接關(guān)系，然后然后分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接。截交線，并依次將其連接。5.4 5.4 兩曲面立體相交兩曲面立體相交4.4.1 4.4.1 相貫線的性質(zhì)相貫線的性質(zhì)4.4.2 4.4.2

15、相貫線的作圖方法相貫線的作圖方法4.4.3 4.4.3 相貫線的特殊情況相貫線的特殊情況4.4.4 4.4.4 組合相貫線組合相貫線4.4.1 4.4.1 相貫線的性質(zhì)相貫線的性質(zhì) 立體與立體相交在兩個立體表面產(chǎn)生的交線稱為相立體與立體相交在兩個立體表面產(chǎn)生的交線稱為相貫線。貫線。 相貫線是兩曲面立體表面的相貫線是兩曲面立體表面的共有線共有線，相貫線上的點(diǎn)，相貫線上的點(diǎn)是兩曲面立體表面的是兩曲面立體表面的共有點(diǎn)共有點(diǎn)。 不同的立體以及不同的相貫位置、相貫線的形狀不不同的立體以及不同的相貫位置、相貫線的形狀不同。兩回轉(zhuǎn)體相貫，相貫線一般是同。兩回轉(zhuǎn)體相貫，相貫線一般是封閉的空間曲線封閉的空間曲線

16、, , 特特殊情況下為平面曲線或直線。殊情況下為平面曲線或直線。相貫線性質(zhì)圖例相貫線性質(zhì)圖例4.4.2 4.4.2 相貫線的作圖方法相貫線的作圖方法1.1.表面取點(diǎn)法表面取點(diǎn)法 當(dāng)相貫的兩立體表面的某一投影具有積聚性時，相當(dāng)相貫的兩立體表面的某一投影具有積聚性時，相貫線的一個投影必積聚在這個投影上，相貫線的其余投貫線的一個投影必積聚在這個投影上，相貫線的其余投影可按著曲面立體表面取點(diǎn)的方法求出影可按著曲面立體表面取點(diǎn)的方法求出, ,這種求作相貫這種求作相貫線的方法稱為線的方法稱為表面取點(diǎn)法表面取點(diǎn)法。例例1 已知兩圓柱的三面投影已知兩圓柱的三面投影,求作其相貫線的投影。求作其相貫線的投影。yy

17、yy1aba (b )cddbac分分 析析求特殊點(diǎn)求特殊點(diǎn)求一般點(diǎn)求一般點(diǎn)判別可見性判別可見性完成相貫線完成相貫線2341 (3 )c (d )3 (4 )1 (2 )2 (4 )求相貫線的一般步驟（1）分析）分析 首先分析兩曲面立體的幾何形狀、相對大小首先分析兩曲面立體的幾何形狀、相對大小和相對位置，然后分析相貫線是空間曲線，還是處于特殊情和相對位置，然后分析相貫線是空間曲線，還是處于特殊情況分析兩曲面立體對投影面的相對位置，兩曲面立體的投影況分析兩曲面立體對投影面的相對位置，兩曲面立體的投影是否有積聚性。分析相貫線哪個投影已知的，哪個投影是要是否有積聚性。分析相貫線哪個投影已知的，哪個投

18、影是要求作的。求作的。（2）求特殊點(diǎn)）求特殊點(diǎn) 相貫線上的特殊點(diǎn)包括極限位置點(diǎn)、輪相貫線上的特殊點(diǎn)包括極限位置點(diǎn)、輪廓轉(zhuǎn)向點(diǎn)、曲線特征點(diǎn)和結(jié)合點(diǎn)四種。廓轉(zhuǎn)向點(diǎn)、曲線特征點(diǎn)和結(jié)合點(diǎn)四種。（3）求一般點(diǎn)）求一般點(diǎn) 根據(jù)需要求出若干個一般點(diǎn)。根據(jù)需要求出若干個一般點(diǎn)。 （4）判別可見性）判別可見性 當(dāng)相貫線上的點(diǎn)同時處于兩立體表面當(dāng)相貫線上的點(diǎn)同時處于兩立體表面的可見部分時這些點(diǎn)才可見，否則不可見。的可見部分時這些點(diǎn)才可見，否則不可見。 （5）完成相貫線）完成相貫線 順次光滑連接各點(diǎn)，作出相貫線。補(bǔ)順次光滑連接各點(diǎn)，作出相貫線。補(bǔ)全可見與不可見部分的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓線，并擦除被切割全可見與不可見部分

19、的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓線，并擦除被切割掉的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓線。掉的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓線。圓柱表面交線的三種情況圓柱表面交線的三種情況 兩外表面相交兩外表面相交外表面與內(nèi)表面相交外表面與內(nèi)表面相交兩內(nèi)表面相交兩內(nèi)表面相交兩正交圓柱兩正交圓柱相貫線相貫線的的變化趨勢（一）變化趨勢（一）兩正交圓柱兩正交圓柱相貫線相貫線的的變化趨勢（二）變化趨勢（二）例例2 2 求軸線交叉垂直圓柱相貫線的投影。求軸線交叉垂直圓柱相貫線的投影。 a“(b“)abc“cabcddde“(f “)efefghyyg“(h“)gh2. 2. 輔助平面法輔助平面法 假想用一個平面在相貫兩立體的相貫區(qū)域內(nèi)去截切相假想用一個平面在相貫兩

20、立體的相貫區(qū)域內(nèi)去截切相貫的兩立體，分別在兩立體表面上產(chǎn)生截交線，兩截交線貫的兩立體，分別在兩立體表面上產(chǎn)生截交線，兩截交線交點(diǎn)就是兩立體表面與輔助平面三者的交點(diǎn)就是兩立體表面與輔助平面三者的共有點(diǎn)共有點(diǎn)，即相貫線，即相貫線上的點(diǎn)。這個假想的平面是上的點(diǎn)。這個假想的平面是輔助平面輔助平面。作出一系列的輔助。作出一系列的輔助平面，求出相貫線上一系列點(diǎn)的投影，依次光滑連接，即平面，求出相貫線上一系列點(diǎn)的投影，依次光滑連接，即得相貫線的投影。得相貫線的投影。 (1) (1)所選輔助平面與兩曲面立體表面的輔助截交線的所選輔助平面與兩曲面立體表面的輔助截交線的投影應(yīng)是簡單易畫的投影應(yīng)是簡單易畫的直線直線

21、或或圓圓。常選用特殊位置平面作。常選用特殊位置平面作為輔助面。為輔助面。 (2)(2)輔助平面應(yīng)位于兩曲面立體的共有區(qū)域內(nèi)，否則輔助平面應(yīng)位于兩曲面立體的共有區(qū)域內(nèi)，否則得不到共有點(diǎn)。得不到共有點(diǎn)。選擇輔助平面的原則：選擇輔助平面的原則：yyPW2PV24yy4 PV1PW13PV3PW351112 22453 35 例例3 求圓柱與圓錐正交時相貫線的投影。求圓柱與圓錐正交時相貫線的投影。例例4 求鉛垂圓臺與半球的相貫線的投影。求鉛垂圓臺與半球的相貫線的投影。PV2yy55343543112122yy4 PH1PV3PV44.4.3 4.4.3 相貫線的特殊情況相貫線的特殊情況 相貫線一般是封

22、閉的空間曲線相貫線一般是封閉的空間曲線, 特殊情況下為平特殊情況下為平面曲線或直線。面曲線或直線。（1 1）兩個回轉(zhuǎn)體具有公共軸線時，其表面的相貫線為垂直軸線的圓）兩個回轉(zhuǎn)體具有公共軸線時，其表面的相貫線為垂直軸線的圓（2 2）外切于同一球面的圓錐、圓柱相交時，其相貫線為兩條平面曲線）外切于同一球面的圓錐、圓柱相交時，其相貫線為兩條平面曲線橢圓橢圓 （3 3）兩圓錐共錐頂相貫線為）兩圓錐共錐頂相貫線為相交兩直線相交兩直線 （4 4）兩圓柱軸線平行相貫）兩圓柱軸線平行相貫線為線為平行兩直線平行兩直線4.4.4 4.4.4 組合相貫線組合相貫線 三個或三個以上的立體相交在一起，稱為組合相三個或三個以上的立體相交在一起，稱為組合相貫。這時相貫線由若干條相貫線組合而成。貫。這時相貫線由若干條相貫線組合而成。 處理組合相貫線，關(guān)鍵在于分析，找出有幾個兩處理組合相貫線，關(guān)鍵在于分析，找出有幾個兩兩曲面立體相交在一起，從而確定其有幾段相貫線結(jié)兩曲面立體相交在一起，從而確定其有幾段相貫線結(jié)合在一起。合在一起。例例6 求作物體相貫線的投影。求作物體相貫線的投影。本 章 小 結(jié) 1.1.掌握立體的投影特性和作圖方法及立體掌握立體的投影特性和作圖方法及立體表面上取點(diǎn)、取線