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文檔簡介

1、定積分曲面積分開曲面閉合曲面型曲面積分型曲面積分曲線積分開曲線閉合曲線型曲線積分型曲線積分重積分三重積分二重積分累次積分三次積分二次積分多元函數(shù)積分學(xué)計算方法總結(jié)多元函數(shù)積分學(xué)計算方法總結(jié)1累次積分2A1積分限是常數(shù)的二次積分2A2 積分限含函數(shù)的二次積分2重積分:2B1 積分區(qū)域為矩形的二重積分2B2 積分區(qū)域為平面區(qū)域的二重積分3B3 積分區(qū)域為無孔洞的立體區(qū)域的三重積分3B4 收斂的廣義重積分4曲線積分:4C1 I型曲線積分4C2 II型曲線積分4C3 全微分式II型曲線積分4C4 平面閉曲線的II型曲線積分4C5 平面非閉合曲線的II型曲線積分5曲面積分:5D1 I型曲面積分5D2 直

2、角坐標系的II型曲面積分5D3 向量式的II型曲面積分5D4 閉曲面情形的曲面積分6D5 開曲面情形的曲面積分6D6 循環(huán)常數(shù)6約定:,為已知常數(shù), 是已知的弧度, 是原空間直角坐標系分量, 是新變量同時也是變量代換函數(shù)記號, 是球坐標極坐標柱坐標系的分量, 是積分限函數(shù), 表示積分函數(shù), 表示現(xiàn)有變量的全微分, 是場向量函數(shù)的分量,均為的函數(shù).表示空間曲線,表示空間曲面,表示空間區(qū)域,表示取上述區(qū)域的邊界或變量的偏微分. 是帶方向的曲線, 是帶方向的曲面區(qū)域, (黑斜體)是法向量或者說曲面積分元.累次積分二次積分也寫作;三次積分A1積分限是常數(shù)的二次積分求法:,把x當作常數(shù),只對y求原函數(shù)并

3、求出積分值g(x)(可能和x無關(guān)).然后將它作為新的被積函數(shù),也就是計算,即可得到累次積分的積分值.性質(zhì):分量積分順序改變,積分值不變;分離分量因子后分別積分的乘積等于原積分值;被積函數(shù)可加性.A2積分限含函數(shù)的二次積分求法:先將x看成常數(shù),求出f關(guān)于y的原函數(shù)g(y)(可能含有x);再將作為關(guān)于x的新的被積函數(shù);最后算出定積分的值.重積分:二重積分;三重積分B1積分區(qū)域為矩形的二重積分求法:把積分區(qū)域的矩形化為區(qū)間的乘積的形式a,bc,d,被積函數(shù)不變,區(qū)間端點按分量順序作為二次積分的積分限.積分區(qū)域為長方體的三重積分求法類似.B2積分區(qū)域為平面區(qū)域的二重積分求法:定下分量的積分順序,如先y

4、后x,那么先寫出中所有點的x分量的最小值a,最大值b,以取得上述最值的點為端點,將的邊界分成下半邊界C(x)和上半邊界D(x).那么可以化為被積函數(shù)不變,先對積分區(qū)間為從C(x)到D(x)的y分量積分,再對積分區(qū)間為a,b的x分量積分的二次積分.積分區(qū)域為無孔洞的立體區(qū)域的三重積分也有類似的方法.性質(zhì):變量代換后積分值不變;如極坐標變換故有新的限制;球坐標變換故有新限制,.積分值與積分順序無關(guān),但對應(yīng)的累次積分不同;零函數(shù)或零測度集上的重積分必為零.三重積分的積分區(qū)域若是面、線、點,則積分值為零,二重積分的積分區(qū)域是線、點時,積分值為零.B3積分區(qū)域為無孔洞的立體區(qū)域的三重積分求法:定下分量的

5、積分順序,如先(y,z)后x,那么先解出的不等式(組)關(guān)于g(y,z)的解,即有平面區(qū)域.繼而有被積函數(shù)不變,視x為常數(shù),關(guān)于(y,z)的二重積分,隨后做關(guān)于x分量的第二次積分.類似的積分順序也可以是先(x, y)后z.B4收斂的廣義重積分求法:只要廣義重積分是收斂的,就可以按照一般重積分的求法求得收斂值.曲線積分:型曲線積分;型曲線積分C1I型曲線積分求法:首要任務(wù)是將積分曲線L的方程參數(shù)化,用參數(shù)t表示,并且表示出積分區(qū)間.將參數(shù)方程代入被積函數(shù),弧微分ds按公式計算即可得到定積分.C2II型曲線積分求法:將積分曲線L的方程參數(shù)化,用參數(shù)t表示,并且表示出積分區(qū)間.函數(shù)P,Q,R中的變量換

6、為t后乘上對應(yīng)分量關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)作為新的被積函數(shù),做關(guān)于t的積分.但注意這里的曲線是有向的,右手法則下逆時針取正,順時針取負.C3全微分式II型曲線積分求法:若(二元),且則該空間曲線微分是全微分式(恰當)的.對微分形式湊微分得到原函數(shù)F,再代入積分區(qū)間即可得結(jié)果.注意這里曲線也是有方向的.C4平面閉曲線的II型曲線積分求法:對場向量的分量函數(shù)P,Q求全微分,形如,并與原對應(yīng)分量取外微分,作為二重積分的微分形式.二重積分的區(qū)域是以L為邊界的曲面.C5平面非閉合曲線的II型曲線積分求法:補上一條連接端點的線段,然后以作為閉曲線化為二重積分,并加上的反方向的的曲線積分.性質(zhì):被積函數(shù)曲面與區(qū)域公用對

7、稱軸/對稱面時,前者在后者兩側(cè)(奇),則積分值為零,前者在后者的同側(cè)(偶),則積分值等于積分區(qū)域取一半的積分值的兩倍.函數(shù)中的分量交換后函數(shù)相似的,積分值相等.曲面積分:型曲面積分;型曲面積分:直角坐標式;向量式D1I型曲面積分求法:先針對S求出參數(shù)方程,分別對曲面向量求關(guān)于某兩個變量的偏導(dǎo)向量函數(shù)(可以是原來的變量,也可以代換成其他變量),然后取這兩者的外積的模,便可以得到普通的二重積分.性質(zhì):當S為變量的隱式時,替換成其中兩個變量時,法向量??梢杂闷珜?dǎo)的模來取代.D2直角坐標系的II型曲面積分求法:這種方法是將三部分分開計算的.若積分曲面是閉合的,且積分方向是曲面的內(nèi)側(cè)或外側(cè),則先將曲面合理分割.再確定曲面積分方向和曲面投影方向的關(guān)系,如計算的時候,若是S從x軸負方向投向yOz面的投影,且積分方向是向x軸正方向,則定積分取正號.接下來確定投影區(qū)域D,將S的關(guān)于x(或y或z)的顯式并代入P(或Q或R)中作為新的被積函數(shù).D3向量式的II型曲面積分求法:先針對S求出參數(shù)方程,分別對曲面向量求關(guān)于某兩個變量的偏導(dǎo)向量

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