定積分與微積分基本定理

1、【同步教育信息】一. 本周教學(xué)內(nèi)容：定積分與微積分基本定理二. 教學(xué)目的：1. 了解定積分的定義和定積分的幾何意義；2. 會(huì)用定積分求一些平面圖形的面積，變速直線運(yùn)動(dòng)的路程，變力所做的功。三. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：定積分的定義和定積分的幾何意義；微積分基本定理。知識(shí)分析知識(shí)點(diǎn)1：定積分的定義 1. 定積分的定義是由實(shí)際問題抽象概括出來的它的解決過程充分體現(xiàn)了變量“由直到曲”、“由近似到精確”、“由有限到無限”的極限的思想方法，定積分是由實(shí)際問題中提出的，對(duì)定積分概念說明如下：（1）把閉區(qū)間a，6用n1個(gè)分點(diǎn)（包括兩個(gè)端點(diǎn)）分為任意n個(gè)小區(qū)間，并非要求一定分成n等份，只是在有的問題中，為了解題方便，才用

2、n等分的方法去布列分點(diǎn)（2）在每個(gè)小區(qū)間上，點(diǎn)的取法是任意的，它可以取在小區(qū)間的中點(diǎn)，即，也可以取在小區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)，即或，還可以取在小區(qū)間的其他任何位置（i1，2，n）（3）從幾何意義上講，（i1，2，n）表示以為底邊，以為高的第i個(gè)小矩形的面積，而不是第i個(gè)小曲邊梯形的面積，和式表示n個(gè)小矩形的面積的和，而不是真正的曲邊梯形的面積，不過，和式可以近似地表示曲邊梯形的面積，一般說來，分法越細(xì)，近似程度也就越高（4）總和取極限時(shí)的極限過程為“”（），當(dāng)分割無限變細(xì)，即時(shí)，不一定能保證和式的極限值就是曲邊梯形的面積，只有在分點(diǎn)無限增多的同時(shí)，保證每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度也無限地縮小，才是真正的曲邊梯形的

3、面積（5）定積分是一個(gè)比較復(fù)雜的極限過程的極限值，定義實(shí)際上給出了定積分的一個(gè)計(jì)算方法，在實(shí)際問題中，由于它太繁瑣，故很少使用2. 定積分是一個(gè)數(shù)值（極限值），它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上、下限，而與積分變量用什么字母表示無關(guān)，即（稱為積分形式的不變性），另外定積分與積分區(qū)間a，b息息相關(guān)，不同的積分區(qū)間，定積分的積分上、下限不同，所得的值也不同，例如與的值就不同。3. 、的幾何意義上有不同的含意，絕不能等同看待，由于被積函數(shù)在閉區(qū)間a, b上可正可負(fù)，也就是它的圖象可以在x軸上方，也可以在x軸下方，還可以在x軸的上下兩側(cè)，所以表示由x軸、函數(shù)的曲線及直線xa，xb之間各部分面積的代數(shù)和

4、（如下圖（1）；而被積函數(shù)是非負(fù)的，所以表示在區(qū)間a, b上所有以為曲邊的正曲邊梯形的面（如圖（2）；而則是的絕對(duì)值，三者的值一般是不相同的知識(shí)點(diǎn)2：定積分的基本性質(zhì)假設(shè)函數(shù)在所討論的區(qū)間上都是可積的。性質(zhì)1：常數(shù)因子可能提到積分號(hào)前，即，（k為常數(shù)）這是由于性質(zhì)2：代數(shù)和積分等于積分的代數(shù)和，即因?yàn)檫@個(gè)性質(zhì)可以推廣到任意有限多個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的情況。性質(zhì)3：（定積分的可加性）如果積分區(qū)間a，b被點(diǎn)c分成兩個(gè)小區(qū)間a，c與c，b，則知識(shí)點(diǎn)3：微積分基本定理微積分基本公式使我們得到了求定積分的一般方法（簡(jiǎn)單方法），不需要根據(jù)定義求和式的極限，只要求出被積函數(shù)的任一原函數(shù)，再計(jì)算原函數(shù)在積分區(qū)間上的

5、改變量即可關(guān)鍵是要找到被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)微積分基本定理如果，且在a，b上可積，則，其中F（x）叫做f（x）的一個(gè)原函數(shù)。即【典型例題】例1. 求由直線和直線圍成的圖形面積解析：（1）分割將曲邊梯形分割成n個(gè)小曲邊梯形，用分點(diǎn)把區(qū)間0，1等分成n個(gè)小區(qū)間：，簡(jiǎn)寫作。每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為。過各分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，它們的面積分別記作，S1，S2，Si，Sn。（2）近似代替用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積：在小區(qū)間上任取一點(diǎn)（i1，2，n），為了計(jì)算方便，取為小區(qū)間的左端點(diǎn)，用以點(diǎn)坐標(biāo)為其一邊，以小區(qū)間長(zhǎng)度為鄰邊的小矩形面積近似代替第i個(gè)小曲邊梯形面積，可以近似地表示為。

6、（3）作和因?yàn)槊恳粋€(gè)小矩形的面積都可以作為相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值，所以n個(gè)小矩形面積的和就是曲邊梯形面積S的近似值，即（4）求極限當(dāng)公點(diǎn)數(shù)目愈多，即x愈小時(shí)，從上圖可以看出，和式的值就愈接近曲邊梯形的面積S。因此，當(dāng)，即時(shí)，和式的極限，就是所求的曲邊梯形的面積。因?yàn)樗杂芍本€x0，x1，y0和yx（x-1）圍成的圖形的面積是。點(diǎn)評(píng)：求曲邊梯形的面積分四個(gè)步驟，每一步都很繁瑣，特別是作和這一步是關(guān)鍵一環(huán)，由于涉及許多知識(shí)，對(duì)和號(hào)“”的理解和運(yùn)用很陌生，如何進(jìn)行“”的運(yùn)算；在其中誰(shuí)是變量誰(shuí)是常量必須清楚，直到算得沒有“”號(hào)為止，這一步的計(jì)算很容易出錯(cuò)，因此一定要細(xì)致、認(rèn)真。例2. 計(jì)算定積分

7、（1）；（2）；（3）。解析：（1）因?yàn)槭堑囊粋€(gè)原函數(shù)，由微積分基本公式有。（2）或（3）例3. 計(jì)算由所圍成圖形的面積解析：如圖，為了確定圖形的范圍，先求出這兩條曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，解方程組，得出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0或x1因此所求圖形的面積【小結(jié)】求面積的解題步驟：（1）畫出圖形；（2）確定圖形范圍，通過解方程組求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)，定出積分上、下限；（3）確定被積函數(shù)，注意分清被積函數(shù)的上、下位置；（4）寫出平面圖形面積的定積分表達(dá)式，（5）運(yùn)用微積分基本公式計(jì)算定積分，求出平面圖形的面積例4. 一輛汽車的速度時(shí)間曲線如圖所示，求此汽車在這1 min行駛的路程。解析：由速度時(shí)間曲線易知，由變速直線

8、運(yùn)動(dòng)的路程公式可得答：此汽車在這1min行駛的路程是1350m。點(diǎn)評(píng)：（1）由定積分的幾何意義知，表示由曲線，直線ta，tb及v0圍成圖形的面積，故有以下解法：由定積分的定義容易知道，此汽車在這1min行駛的路程s等于梯形OABC的面積，即（2）變速直線運(yùn)動(dòng)的路程物體做變速直線運(yùn)動(dòng)經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)在時(shí)間區(qū)間a，b上的定積分，即。【模擬試題】一. 選擇題。1. 下列式子正確的是（）A. B. C. D. 2. 下列值等于1的積分是（）A. B. C.D. 3. 已知自由落體的速率vgt，則落體從t0到tt0所走的路程為（）A. B. C. D. 4. 如果1kg力能拉長(zhǎng)彈簧1cm，為

9、了將彈簧拉長(zhǎng)6cm，所耗費(fèi)的功為（）A. 0.18B. 0.26C. 0.12D. 0.285. 的值為（）A. 2B. C. 2D. 26. （）A. B. C. D. 二. 填空題7. 。8. 若，則k。9. 由拋物線y2x和直線x1所圍成圖形的面積為。10. 若，則a、b、c大小關(guān)系是。三. 解答題。11. 求由曲線與直線x+y2圍成的面積。12. 求曲線yx2與直線yx，y2x所圍成的圖形的面積?！驹囶}答案】一. 選擇題。1. B 2. C 3. C 4. A 5. C 6. A二. 填空題。7. 8. 1 9. 10. 三. 解答題。11. 解析：如圖，先求出拋物線與直線的交點(diǎn)，解方程組，得即兩個(gè)交點(diǎn)為（1，1），（2，4）。直線為y2x，則所求面積S為：。12. 解析：如圖，yx2與yx交點(diǎn)為（0，0），（1，1）；yx2與y2x交點(diǎn)為（0，0），（2，4）。所求面積S：【勵(lì)志故事】一分鐘智慧風(fēng)來了，竹子的枝干被風(fēng)吹彎；風(fēng)走了，竹子又站得直直的，好像風(fēng)沒來過一樣。云來