定積分與微積分基本定理

1、【同步教育信息】一. 本周教學(xué)內(nèi)容：定積分與微積分基本定理二. 教學(xué)目的：1. 了解定積分的定義和定積分的幾何意義；2. 會用定積分求一些平面圖形的面積，變速直線運動的路程，變力所做的功。三. 重點、難點：定積分的定義和定積分的幾何意義；微積分基本定理。知識分析知識點1：定積分的定義 1. 定積分的定義是由實際問題抽象概括出來的它的解決過程充分體現(xiàn)了變量“由直到曲”、“由近似到精確”、“由有限到無限”的極限的思想方法，定積分是由實際問題中提出的，對定積分概念說明如下：（1）把閉區(qū)間a，6用n1個分點（包括兩個端點）分為任意n個小區(qū)間，并非要求一定分成n等份，只是在有的問題中，為了解題方便，才用

2、n等分的方法去布列分點（2）在每個小區(qū)間上，點的取法是任意的，它可以取在小區(qū)間的中點，即，也可以取在小區(qū)間的兩個端點，即或，還可以取在小區(qū)間的其他任何位置（i1，2，n）（3）從幾何意義上講，（i1，2，n）表示以為底邊，以為高的第i個小矩形的面積，而不是第i個小曲邊梯形的面積，和式表示n個小矩形的面積的和，而不是真正的曲邊梯形的面積，不過，和式可以近似地表示曲邊梯形的面積，一般說來，分法越細，近似程度也就越高（4）總和取極限時的極限過程為“”（），當(dāng)分割無限變細，即時，不一定能保證和式的極限值就是曲邊梯形的面積，只有在分點無限增多的同時，保證每個小區(qū)間的長度也無限地縮小，才是真正的曲邊梯形的

3、面積（5）定積分是一個比較復(fù)雜的極限過程的極限值，定義實際上給出了定積分的一個計算方法，在實際問題中，由于它太繁瑣，故很少使用2. 定積分是一個數(shù)值（極限值），它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上、下限，而與積分變量用什么字母表示無關(guān)，即（稱為積分形式的不變性），另外定積分與積分區(qū)間a，b息息相關(guān)，不同的積分區(qū)間，定積分的積分上、下限不同，所得的值也不同，例如與的值就不同。3. 、的幾何意義上有不同的含意，絕不能等同看待，由于被積函數(shù)在閉區(qū)間a, b上可正可負，也就是它的圖象可以在x軸上方，也可以在x軸下方，還可以在x軸的上下兩側(cè)，所以表示由x軸、函數(shù)的曲線及直線xa，xb之間各部分面積的代數(shù)和

4、（如下圖（1）；而被積函數(shù)是非負的，所以表示在區(qū)間a, b上所有以為曲邊的正曲邊梯形的面（如圖（2）；而則是的絕對值，三者的值一般是不相同的知識點2：定積分的基本性質(zhì)假設(shè)函數(shù)在所討論的區(qū)間上都是可積的。性質(zhì)1：常數(shù)因子可能提到積分號前，即，（k為常數(shù)）這是由于性質(zhì)2：代數(shù)和積分等于積分的代數(shù)和，即因為這個性質(zhì)可以推廣到任意有限多個函數(shù)的代數(shù)和的情況。性質(zhì)3：（定積分的可加性）如果積分區(qū)間a，b被點c分成兩個小區(qū)間a，c與c，b，則知識點3：微積分基本定理微積分基本公式使我們得到了求定積分的一般方法（簡單方法），不需要根據(jù)定義求和式的極限，只要求出被積函數(shù)的任一原函數(shù)，再計算原函數(shù)在積分區(qū)間上的

5、改變量即可關(guān)鍵是要找到被積函數(shù)的一個原函數(shù)微積分基本定理如果，且在a，b上可積，則，其中F（x）叫做f（x）的一個原函數(shù)。即【典型例題】例1. 求由直線和直線圍成的圖形面積解析：（1）分割將曲邊梯形分割成n個小曲邊梯形，用分點把區(qū)間0，1等分成n個小區(qū)間：，簡寫作。每個小區(qū)間的長度為。過各分點作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，它們的面積分別記作，S1，S2，Si，Sn。（2）近似代替用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積：在小區(qū)間上任取一點（i1，2，n），為了計算方便，取為小區(qū)間的左端點，用以點坐標(biāo)為其一邊，以小區(qū)間長度為鄰邊的小矩形面積近似代替第i個小曲邊梯形面積，可以近似地表示為。

6、（3）作和因為每一個小矩形的面積都可以作為相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值，所以n個小矩形面積的和就是曲邊梯形面積S的近似值，即（4）求極限當(dāng)公點數(shù)目愈多，即x愈小時，從上圖可以看出，和式的值就愈接近曲邊梯形的面積S。因此，當(dāng)，即時，和式的極限，就是所求的曲邊梯形的面積。因為所以由直線x0，x1，y0和yx（x-1）圍成的圖形的面積是。點評：求曲邊梯形的面積分四個步驟，每一步都很繁瑣，特別是作和這一步是關(guān)鍵一環(huán)，由于涉及許多知識，對和號“”的理解和運用很陌生，如何進行“”的運算；在其中誰是變量誰是常量必須清楚，直到算得沒有“”號為止，這一步的計算很容易出錯，因此一定要細致、認真。例2. 計算定積分

7、（1）；（2）；（3）。解析：（1）因為是的一個原函數(shù)，由微積分基本公式有。（2）或（3）例3. 計算由所圍成圖形的面積解析：如圖，為了確定圖形的范圍，先求出這兩條曲線的交點的橫坐標(biāo)，解方程組，得出交點的橫坐標(biāo)為x0或x1因此所求圖形的面積【小結(jié)】求面積的解題步驟：（1）畫出圖形；（2）確定圖形范圍，通過解方程組求出交點橫坐標(biāo)，定出積分上、下限；（3）確定被積函數(shù)，注意分清被積函數(shù)的上、下位置；（4）寫出平面圖形面積的定積分表達式，（5）運用微積分基本公式計算定積分，求出平面圖形的面積例4. 一輛汽車的速度時間曲線如圖所示，求此汽車在這1 min行駛的路程。解析：由速度時間曲線易知，由變速直線

8、運動的路程公式可得答：此汽車在這1min行駛的路程是1350m。點評：（1）由定積分的幾何意義知，表示由曲線，直線ta，tb及v0圍成圖形的面積，故有以下解法：由定積分的定義容易知道，此汽車在這1min行駛的路程s等于梯形OABC的面積，即（2）變速直線運動的路程物體做變速直線運動經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)在時間區(qū)間a，b上的定積分，即。【模擬試題】一. 選擇題。1. 下列式子正確的是（）A. B. C. D. 2. 下列值等于1的積分是（）A. B. C.D. 3. 已知自由落體的速率vgt，則落體從t0到tt0所走的路程為（）A. B. C. D. 4. 如果1kg力能拉長彈簧1cm，為

9、了將彈簧拉長6cm，所耗費的功為（）A. 0.18B. 0.26C. 0.12D. 0.285. 的值為（）A. 2B. C. 2D. 26. （）A. B. C. D. 二. 填空題7. 。8. 若，則k。9. 由拋物線y2x和直線x1所圍成圖形的面積為。10. 若，則a、b、c大小關(guān)系是。三. 解答題。11. 求由曲線與直線x+y2圍成的面積。12. 求曲線yx2與直線yx，y2x所圍成的圖形的面積?！驹囶}答案】一. 選擇題。1. B 2. C 3. C 4. A 5. C 6. A二. 填空題。7. 8. 1 9. 10. 三. 解答題。11. 解析：如圖，先求出拋物線與直線的交點，解方程組，得即兩個交點為（1，1），（2，4）。直線為y2x，則所求面積S為：。12. 解析：如圖，yx2與yx交點為（0，0），（1，1）；yx2與y2x交點為（0，0），（2，4）。所求面積S：【勵志故事】一分鐘智慧風(fēng)來了，竹子的枝干被風(fēng)吹彎；風(fēng)走了，竹子又站得直直的，好像風(fēng)沒來過一樣。云來