車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(第三組)

1、車前燈線光源的優(yōu)化設(shè)計摘要汽車的車前燈是汽車的重要組成部分，它的照明亮度直接影響司機夜間行車的安全，工業(yè)上對車前燈的設(shè)計要求很是嚴格。題目給出了一汽車前照燈的數(shù)據(jù)和與照明度相關(guān)的要求，我們根據(jù)這些要求，運用微積分的思想（更具體的描述。）建立數(shù)學模型，求解出滿足光亮條件的線光源的長度。在求解線光源長度的模型建立中，我們運用微積分的思想建立模型的模型很理想化，但是實際計算起來很困難，于是我們在不是很影響結(jié)果的情況下，運用離散化數(shù)值積分法對模型進行了優(yōu)化，把求所有點簡化成了求部分重要點，最后降低了計算量，求得了結(jié)果。 （注意摘要在整體上的一致性。第二段是否可去掉，或者在第三段中加入適當內(nèi)容即可，或者

2、第二段是否可以放到第一段中？）該問題針對車前燈線光源的優(yōu)化設(shè)計提出了兩個問題。首先，針對第一問提出的“在滿足該設(shè)計規(guī)范的條件下，計算線光源長度，使得線光源的功率最小”問題，我們基于微積分的思想，建立了數(shù)學模型，并用離散化數(shù)值積分法對模型進行了優(yōu)化求解，得到最優(yōu)線光源長度為5.00mm。再來第二問要求“針對得到的線光源長度，在有標尺的坐標系中畫出測試屏上反射光的亮區(qū)”一問，我們用Matlab軟件帶入數(shù)據(jù)畫圖，很容易的得到了反射屏上的亮區(qū)圖。隨后第三問要求“討論該設(shè)計規(guī)范的合理性”，我們參考計算所得數(shù)據(jù)和工業(yè)設(shè)計上對車前燈的規(guī)格要求，考慮到燈的邊照和直射產(chǎn)生的眩光，對此題目的設(shè)計規(guī)范進行了合理的評

3、價。滿足條件的車前燈線光源最優(yōu)長度為5.00mm，從得到的亮區(qū)圖來看，符合實際生活，證明我們所建立的模型是合理的。只是建立在微積分思想上的原有模型計算起來很困難，我們不得不對模型進行了優(yōu)化。雖然結(jié)果較原有模型誤差變大啦，但離散化的數(shù)值積分方法應(yīng)用范圍很大，改進過的模型更具有實用性。 關(guān)鍵詞 汽車前照燈；微積分思想；光跡追蹤法；線光源；離散化數(shù)值積分法一、問題重述1.1問題背景在汽車工業(yè)中需要對汽車頭部的車燈進行設(shè)計和測試。由于汽車前照燈的照明效果對夜間行車安全影響很大，因而對前照燈的光學性能提出了嚴格的標準。本文將對汽車頭部車燈的光源進行優(yōu)化設(shè)計和改進。1.2目標任務(wù)研究對象為燈罩形狀旋轉(zhuǎn)拋物

4、面的汽車前照燈，車燈的對稱軸水平指向正前方。在車燈的焦平面上，水平方向放置一條均勻分布的線光源。現(xiàn)有一套設(shè)計規(guī)范，為了測試車燈的反射光，在焦點正前方25米處的A點數(shù)值地放置一測試屏，屏上引出一條水平的直線，沿直線方向在A點的同側(cè)取B點和C點。符合設(shè)計要求：C點的光照強度不小于某一額定值，B點的光照強度不小于該額定值的2倍。問題1 在滿足該設(shè)計規(guī)范的條件下，計算線光源長度，使得線光源的功率最小。問題2 針對得到的線光源長度，在有標尺的坐標系中畫出測試屏上反射光的亮區(qū)。問題3 討論該設(shè)計規(guī)范的合理性。二、模型的假設(shè)由于該問題升級到光學性能，我們需要對車燈的反射鏡光學性質(zhì)做必要的假設(shè)：1、假設(shè)光線經(jīng)

5、過鏡面發(fā)生全反射，沒有折射和能量的損失。工業(yè)設(shè)計中車前燈的反射鏡通常經(jīng)過真空鍍鋁，鋁鍍層的反射系數(shù)大約為90%，但為了該問題的簡化起見，我們假設(shè)其反射系數(shù)為100%；2、假設(shè)車燈的光束在傳播過程中不受中間介質(zhì)的干擾，且不考慮空氣對光能的吸收，無能量損耗。3、只考慮一次反射，不考慮二次或多次反射；4、假設(shè)線光源上一點在該面元所張立體角內(nèi)的發(fā)光強度是恒定的；5、由于拋物面的作用，是的反射光大大強于直射光，因此只考慮反射光在光屏上的強度。（證明見附錄1）三、符號說明表一 符號說明四、模型的建立與求解問題一 求功率最小的情況下線光源的長度 1） 模型的建立1.1 分析如何確定線光源的長度使得功率最小功

6、率公式為電阻公式為R=lSP=U2R(1.1)(1.2)聯(lián)立公式（1.1）和（1.2），可得線光源功率P總的方程為P總=SU2l(1.3)從方程（1.3）我們可以知道，線光源的功率與其長度成反比，即滿足題給的條件下，線光源的最大長度即為滿足功率最小的長度。1.2 建立旋轉(zhuǎn)拋物面的方程，并求出焦點F依照題意，作車前燈幾何模擬圖（見圖一），設(shè)旋轉(zhuǎn)拋物面的方程為 y+z=2px22 (1.4) 為解方程（1.4）中的p值，我們簡化旋轉(zhuǎn)拋物面方程，取該旋轉(zhuǎn)拋物面與xoy坐標平面的交線拋物線，其方程為y=2px2 (1.5) 已知該旋轉(zhuǎn)拋物面（拋物線）的開口半徑為36mm，深度為21.6mm，帶入方程（

7、1.5）中求解得p=30，從而得拋物線（旋轉(zhuǎn)拋物面）的焦距f=焦點F=(15,0,0)。p2=15和圖一1.3 運用微積分的思想求滿足要求的線光源的最長長度我們要求線光源上的光線經(jīng)過旋轉(zhuǎn)拋物面反射到測試屏上產(chǎn)生的光亮度E來確定滿足要求的線光源的長度，這里涉及對光線的射出點，反射點和到達點的尋找和計算。題目中已給出了屏上A(25015,0,0)，B(25015,1300,0)，C(25015,2600,0)三個點，且要求C點的光強度不小于某一額定值，B點的光強度不小于該額定值的兩倍。這就把求整個屏的光亮度要求簡化為求B，C兩點的光亮度，射入點從無窮多個簡化為兩個關(guān)鍵點。同樣，射出點和反射點也有無

8、窮多個，我們運用微積分的思想來確定各自滿足條件的“有用的”的點。1.3.1 運用微積分的思想求反射點因為線光源是均勻分布的，我們先求線光源上任意一點P(15,y0,0)發(fā)出的光線經(jīng)反射到達B，C點產(chǎn)生的光照度。旋轉(zhuǎn)拋物面上的點有無數(shù)個，設(shè)滿足光線由P經(jīng)過反射到達B，C兩點的點為Q(x,y,z)，我們用微積分的思想來求出所有的Q點。直接在整個旋轉(zhuǎn)拋物面上搜索所有滿足條件的Q點計算量大，我們用垂直于x軸的平面按某一步長沿x軸移動來切割拋物面，將旋轉(zhuǎn)拋物面剖分成m塊，分別記為s1,s2, sm(m)，由于每一塊si上的面積很小，可以近似當成一個圓來處理。則此圓的方程為y+z=2px(x為定值)22(

9、1.6)再對y(y按某一步長進行搜索，我們就有了確定的x和y值，如此就能求解z的值z= (1.7)這樣拋物面上的所有點都能搜索到，現(xiàn)在確定滿足條件的Q(x,y,z)。 光學上，對于一個全反射，其入射角（入射光線與法向量的夾角）等于反射角（反射光線與法向量的夾角），我們設(shè)過Q點的法向量為n，則由曲面法相量的求解公式曲線方程： Ax+By+Cz=022(1.8) (1.9)法向量方程： 2Ax+2By+C=0得到法向量為n(-60,2y,2z)。再分別得出入射向量PQ(x-15,y-y0,z)和反射向量QB(25015-x,1300-y,-z)，QC(25015-x,2600-y,-z)，則入射角

10、=PQ,n，反射角B=n,QB,C=n,QC。最后列出光線入射角和反射角的余弦值cos=-60x-15+2yy-y+2z2cosC=(1.10)2-6025015-x+2y2600-y-2z(1.11)cosB=-6025015-x+2y1300-y-2z2 (1.12) 對余弦值進行檢驗，若cos=cos (1.13) 則證明入射角等于反射角，此時的Q是滿足條件的，反之則不能滿足條件，應(yīng)舍去，繼續(xù)檢驗下一點，知道所有的點檢驗完，那么所有滿足條件的反射點Q就都求出來了。1.3.2 運用微積分的思想計算B，C兩點的光亮度之比光學上，由光源射向測試屏的亮度遵循以下公式E=Icos(r1+r2)2

11、(1.14)為便于計算，令I(lǐng)等于一個單位1，即I=1 (1.15) 所有Q的值都在1.3.1里求出來了，每一個Q對應(yīng)一個或兩個E值，把分別對應(yīng)B和C兩點的E值進行累加，就得到了B點的光亮度EB和C點的光亮度EC。1.3.3 運用微積分的思想計算線光源的長度通過以上的計算，我們算出了線光源上一點射出的光線在B，C兩點產(chǎn)生的光強度。由于所取步長精度的不同，在計算Q點時并不能取完旋轉(zhuǎn)拋物面上的所有值，所以計算出來的Q點并不是所有的滿足條件的點，那么由此計算出來的EB和EC的值并不是完全精確的，我們不能直接由EB和EC的值來確定滿足條件的線光源的點，而是用他們的比值來確定。題目中已經(jīng)提到，線光源是均勻

12、分布的，我們可以當線光源是點光源的積分，再對EB和EC進行積分，用積分的比值作約束條件，l的最大值為目標函數(shù)，建立非線性規(guī)劃函數(shù)模型，如下maxf(x)=l(0<l<60)l(1.16)2l-2EB2kl2-l2ECk其中k為一額定值。運用Matlab軟件求解，得出滿足條件的最大線光源長度。2） 模型的優(yōu)化1、D點的確定優(yōu)化已給出的模型中，我們確定一條光線到達B，C兩點的條件是入射角等于反射角，由于確定角的方程很復(fù)雜，我們在只求入射角，能滿足E能求解的情況下，直接用反射向量的計算公式 NPQ QD=-22N+PQ N計算反射向量，再把反射向量方程與反射屏的方程聯(lián)立 NPQ QD=-

13、22N+PQ NxD=25015便能求的反射光線到達測試屏的點的坐標，設(shè)為D=(xD,yD,zD)，而我們之前要求的B，C兩點也轉(zhuǎn)化成了滿足各自條件的D點，再通過對D點的選取確定滿足條件的光線。2、擴大B，C兩點的范圍由于點的取定是依據(jù)步長的，步長越小，能取到的點就越多，相應(yīng)的計算量也就越大。而實際上，用計算機求出所有的點是不可能的，我們對B，C兩點的定義也不能完全細化為一個點。為了便于實現(xiàn)計算機程序?qū)栴}的求解，我們對已有的模型進行了一定的優(yōu)化。題目所給的要求只關(guān)于B，C兩點的光亮度，實際上由于光的散射，一點的光亮度和周圍很小范圍內(nèi)的光亮度是沒有很大差別的，為了計算時能更容易的搜索出滿足條件

14、的D點，我們把B，C兩點擴大成為兩個以B，C兩點為圓心的圓，半徑取很小的值，那么入射光線能否到達B，C兩點的條件即變成了D點能否能落在以B，C兩點為圓心的圓內(nèi)，這樣就更便于計算機對滿足條件的光線的搜索了。3） 模型的求解求解以上模型運用的計算框圖見附錄3。最終解得的滿足條件的最優(yōu)線光源長度為l=5.00mm。問題二 根據(jù)問題一計算得到的線光源長度，作出反射屏上的亮區(qū)圖圖二 測試屏上的亮光區(qū)為了分析亮區(qū)圖的組成，我們還作出了線光源上特定的點所形成的亮區(qū)圖，如下1、線光源中點亮區(qū)圖圖三 線光源中心點產(chǎn)生的亮光區(qū)2、線光源左端點（y<0）亮區(qū)圖圖四 線光源左端點產(chǎn)生的亮光區(qū)3、線光源右端點（y

15、>0）亮區(qū)圖圖五 線光源右端點產(chǎn)生的亮光區(qū)問題三 設(shè)計規(guī)范合理性的討論1、合理的方面：（1）該設(shè)計規(guī)范中將測試屏放置在焦點前方25m處，這符合國際通用準則和我國現(xiàn)行標準，是完全合理的。（2）規(guī)范中要求C點的光強度不小于某一額定值，B點的光強度不小于該額定值的兩倍，這也是合理的，因為現(xiàn)實生活中也要求汽車正前方光最強，兩側(cè)弱一些。汽車通常采用兩燈式或四燈式，當前照燈全亮時，方能照清前面100米遠的道路。2、不合理的方面：規(guī)范只考慮了遠光光束，而汽車車燈發(fā)出的光束應(yīng)具有遠光和近光兩種光束。遠光是在對面無來車的道路上行駛時使用的光束；近光是在交會車或市區(qū)明亮道路上行駛時使用的光束。交會車時，為了

16、不使對方駕駛員眩目，還必須考慮近光的配光。五、模型檢驗（1） 運用光跡追蹤法對模型進行檢驗光屏上的一點可以認為是汽車前照燈可發(fā)光部分所成的像，光跡追蹤的目的就是根據(jù)光路可逆原理確定從該店發(fā)出的一條試探光線，入射回反射屏后是否能與燈絲相交。若相交，說明在線光源上存在一點P，可以照射到改點，否則，這條試探光線是無效的。顯然，對應(yīng)于不用的線光源長度l，與其相交有不用的試探光線，即對應(yīng)著光屏上光亮度的不同分布。我們按照題給的B、C兩點的光亮度要求，根據(jù)之前我們計算出的數(shù)據(jù)，返回去求的線光源的長度，與結(jié)果進行對比驗證。經(jīng)計算，我們求的滿足光亮度分布要求的線光源長度為l=4.18mm，與之前求得的線光源的

17、長度l=5.00mm十分接近，從而驗證了我們模型的正確性。（2） 與國家汽車工業(yè)中的標準規(guī)格進行比較驗證目前汽車前照燈實用的適宜光源，主要是H4和H7型鹵鎢燈。這種燈的燈泡特點是焦距為20-40mm，燈絲長度為5-7mm。即燈絲的長度與反射面的焦距之比在 7區(qū)間內(nèi)。我們算出的燈絲長度l=5.00mm4020,5，已知旋轉(zhuǎn)拋物面的焦距f=15mm，二者的比值為，在區(qū)間, 內(nèi)，所以我們的結(jié)果是合34020157理的。六、模型的評價優(yōu)點1、該模型是運用光的反射定律經(jīng)過嚴格的論證建立起來的，結(jié)果較精確，能很好的符合題目的要求；2、目前許多光學分析軟件的分析計算方法和本模型大體是一致的，所以該模型也適合

18、于其他主要應(yīng)用反射來照明時燈絲的優(yōu)化問題，有很強的實用性；3、運用計算機仿真得到的反射光的亮區(qū)符合現(xiàn)實生活中的情況，因此模型具有一定的真實性；4、模型優(yōu)化運用的離散化數(shù)值積分法在工程上有一定的參考價值；缺點1、該模型考慮的只是燈絲為直線的情況，而現(xiàn)實生活中的燈絲往往是彎曲的，其發(fā)光情況要比直線復(fù)雜得多，因此沒有考慮；2、在光線的傳播過程中，介質(zhì)對光的能量有很大的影響，因其因素眾多，為簡化計算，所以模型也沒有考慮；3、由范西特-澤尼克定理可知，物體的照明始終是部分想干的，而本模型沒有考慮相干光對結(jié)果的影響，會引起與實際結(jié)果的偏差；4、我們在求解時是將連續(xù)的線光源和拋物面離散化處理，以求得逼近值。

19、但多次的計算結(jié)果表明，計算時步長的選取對結(jié)果會產(chǎn)生較大的影響。我們處于降低計算量的角度考慮，沒有將步長取得很小，這是導(dǎo)致結(jié)果誤差的主要因素；5、當線光源用多個點光源來等效時，若點的個數(shù)不夠多，會引起剛光和陰影邊界的走樣現(xiàn)象；參考文獻 （本文是重現(xiàn)優(yōu)秀論文的結(jié)果嗎？）1楊起帆 何勇 談之奕，數(shù)學建模競賽：浙江大學學生獲獎?wù)撐狞c評，杭州：浙江大學出版社，2005。2，2002年大學生數(shù)模競賽A題，3xlkaka123，車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計02高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽A題參考答案02A0_百度文庫，4Duane Hanselman，Bruce littlefield著；朱仁峰譯，精通Matla

20、b 7，北京：清華大學出版社，2006。5趙靜 但琦，數(shù)學建模與數(shù)學實驗，北京：高等教育出版社；海德堡：施普林格出版社，2000。6呂林根 許子道，解析幾何，北京：高等教育出版社，2006。附錄（計算框圖，程序，假設(shè)證明） （附錄單位另起一頁。）附錄1 假設(shè)4的證明 (該證明應(yīng)該放到正文中，比較有特色。)直射光線I0部分建模數(shù)字模型公式 dI0()l=ED+(H-)l22d lL然后沿著光源對上式進行線積分，I0(l)=L/2-L/2dI0(l)DLD+H22 =-EDLarctan-(L/2)2L/2-L/22ED+(H-l)L2dl這樣，我們就完成了I0部分未經(jīng)拋物面反射的光線問題的求解。

21、本題中，證明了反射光線大大強于直射光線，因此本次建模中不考慮直射光線的影響。附錄2 模型計算的程序（1） 圖三的程序function f=A_2002(l)if l>60|l<=0error(線光源的長度在（0-60）范圍內(nèi)！)endSTEP_1=input('輸入離散化線光源需要的步長STEP_1(如0.2):'); L=-l/2:STEP_1:l/2;STEP_2=input('輸入切割拋物面需要的步長STEP_2(如0.1)：');X=0:STEP_2:21.6;STEP_3=input('輸入在圓形切割面上取點的步長（如pi/60）:

22、');CIRCLE=0:STEP_3:2*pi;n_L=length(L);n_X=length(X);n_CIRCLE=length(CIRCLE);E_B=0;E_C=0;point=;ppoint=;for i=1:n_Lfor j=1:n_CIRCLER=sqrt(60.*X);Y=sin(CIRCLE(j).*R;Z=cos(CIRCLE(j).*R;PQ=X-15;Y-L(i);Z;N=-30*ones(1,n_X);Y;Z;for k=1:n_XN_length(k)=sqrt(N(1,k)2+N(2,k)2+N(3,k)2);PQ_length(k)=sqrt(PQ(1

23、,k)2+PQ(2,k)2+PQ(3,k)2);QD(:,k)=-2*dot(N(:,k),PQ(:,k)/dot(N(:,k),N(:,k)*N(:,k)+PQ(:,k);end%a=acos(sum(PQ.*N)./(sqrt(N_length).2).*sqrt(PQ_length).2);a=acos(sum(PQ.*N)./(N_length.*PQ_length);D(1,:)=25015-X;D(2,:)=(D(1,:)-X)./QD(1,:).*QD(2,:)+Y;D(3,:)=(D(1,:)-X)./QD(1,:).*QD(3,:)+Z;DD(1,:)=21.6-X;DD(2

24、,:)=(DD(1,:)-X)./QD(1,:).*QD(2,:)+Y;DD(3,:)=(DD(1,:)-X)./QD(1,:).*QD(3,:)+Z;for k=1:n_Xif sqrt(DD(2,k)2+DD(3,k)2)>36D(2,k)=0;D(3,k)=0;endif sqrt(D(2,k)-1300)2+D(3,k)2)<=30R1=sqrt(Y(k)-L(i)2+(X(k)-15)2+Z(k)2);R2=sqrt(Y(k)-D(2,k)2+(X(k)-D(1,k)2+(Z(k)-D(3,k)2);E_B=E_B+cos(a(k)./(R1+R2).2;elseif s

25、qrt(D(2,k)-2600)2+D(3,k)2)<=30R1=sqrt(Y(k)-L(i)2+(X(k)-15)2+Z(k)2);R2=sqrt(Y(k)-D(2,k)2+(X(k)-D(1,k)2+(Z(k)-D(3,k)2);E_C=E_C+cos(a(k)./(R1+R2).2;endendppoint=ppoint,D(2,:);D(3,:);endpoint=point,ppoint;endK=E_B/E_C;disp('B、C兩點光照強度的比值為：' num2str(K)plot(point(1,:),point(2,:),'.')（2） 圖四、圖五、圖六的程序%Ïß¹âÔ´ÉÏij¸öµã¹âÔ´µÄ¹âÕÕͼfunction f=A_2002_picture(l)if l>60|l<=0error(線光源的長