矩陣與行列式教案

1、矩陣與行列式教案課程標(biāo)準(zhǔn)：歷年高考試題回顧：1(2008江蘇)選修42矩陣與變換在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線F，求F的方程1解：設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn) 則有 ，即，所以 又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，故，從而 所以，曲線的方程是 2.（2009上海理） 若行列式中，元素4的代數(shù)余子式大于0，則x滿足的條件是_ . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 9.1矩陣的概念教學(xué)目標(biāo)：1.了解矩陣的產(chǎn)生背景,并會(huì)用矩陣形式表示一些實(shí)際問(wèn)題。2了解矩陣的相關(guān)知識(shí),如行、列、元素、單位矩陣等的意義和表示。教學(xué)重點(diǎn)：矩陣的概念及其相關(guān)概念的理解與運(yùn)用。教學(xué)過(guò)程：一、

2、拓展性問(wèn)題導(dǎo)入1表矩陣：觀察下列幾個(gè)城市之間的航線距離（單位：英里）：城 市倫敦墨西哥城紐約巴黎北京東京倫 敦05 5583 4692145 0745 959墨西哥城5 55802 0905 7257 7537 035紐 約3 4692 09003 6366 8446 757巴 黎2145 7253 63605 1206 053北 京5 0747 7536 8445 12001 307東 京5 9597 0356 7576 0531 30702圖矩陣BACDA B C DABCD0 1 1 01 0 1 01 1 0 10 0 1 00 1 1 01 0 1 01 1 0 10 0 1 0矩陣

3、的重要性就在于它可以把一個(gè)幾何圖形變化成一個(gè)數(shù)值表，這樣我們就可以用數(shù)來(lái)研究了。3坐標(biāo)平面上的點(diǎn)（向量）矩陣設(shè)O(0, 0)，P(2, 3)，則向量 = (2, 3)，將的坐標(biāo)排成一列，并簡(jiǎn)記為 。yx23OP(2, 3)23234日常生活矩陣（1）某牛仔褲商店經(jīng)銷A、B、C、D、E五種不同牌子的牛仔褲，其腰圍大小分別有28英寸、30英寸、32英寸、34英寸四種，在一個(gè)星期內(nèi)，該商店的銷售情況可用下列矩陣形式表示：A B C D E28英寸 1 3 0 1 230英寸 5 8 6 1 232英寸 2 3 5 6 034英寸 0 1 1 0 3（2）某電視臺(tái)舉辦歌唱比賽，甲、乙兩名選手初、復(fù)賽成

4、績(jī)?nèi)缦拢撼踬悘?fù)賽甲8090乙86885將方程組中未知數(shù)的系數(shù)按原來(lái)的次序排列，并簡(jiǎn)記為思考：矩陣的定義改如何建構(gòu)？二、矩陣的定義及相關(guān)概念1.矩陣的定義：我們把形如，這樣的矩形數(shù)字陣列稱為矩陣。2.矩陣的表示：用記號(hào)A，B，C，或（aij）(其中i,j分別元素aij所在的行和列)表示矩陣。3.矩陣的要素：行列元素（1）、矩陣中的每個(gè)數(shù)字叫做矩陣元素。（2）、同一橫排中按原來(lái)次序排列的一行數(shù)（或字母）叫做矩陣的行（3）、同一豎排中按原來(lái)次序排列的一行數(shù)（或字母）叫做矩陣的列.4.二元一次方程組的求解引入矩陣的相關(guān)概念由上表可得：（1） 系數(shù)矩陣：二元一次方程組兩個(gè)方程的系數(shù)構(gòu)成的矩陣叫方程組的系

5、數(shù)矩陣，如 ， 因?yàn)槠溆袃尚袃闪?，記?注：矩陣可表示為其中m和n分別表示行數(shù)和列數(shù)（2） 增廣矩陣：二元一次方程組中的方程及其常數(shù)構(gòu)成的矩陣叫方程組的增廣矩陣，如 ，因?yàn)槠溆?行3列，記為。注：增廣矩陣表示時(shí)，字母A上要加一橫線。（3） 行向量：1行2列的兩個(gè)矩陣叫做系數(shù)矩陣的行向量。如：（1，2）（3，1）（4） 列向量：2行1列的兩個(gè)矩陣叫做系數(shù)矩陣的列向量。如： 思考：增廣矩陣的行向量和列向量是什么？（5） 單位矩陣：對(duì)角線元素為1，其余元素為0的矩陣叫做單位矩陣。如： 注：元素為1的對(duì)角線必須為左上與右下的對(duì)角線思考：為什么只能是左上與右下的對(duì)角線呢？（6） 方矩陣：行數(shù)和列數(shù)相等的

6、矩陣叫做方矩陣，簡(jiǎn)稱方陣。若行數(shù)與列數(shù)都為2，則 矩陣稱為二階矩陣。 思考：若行數(shù)與列數(shù)都為n的矩陣稱為什么？（7） 相等矩陣：行列數(shù)目相等并且對(duì)應(yīng)元素相等的兩個(gè)矩陣叫相等矩陣，記作：A=B。（8） 零矩陣：所有元素均為0的矩陣叫做零矩陣。（補(bǔ)充內(nèi)容，僅作了解）三、前后貫通，溶為一體1、 矩陣與集合的聯(lián)系與區(qū)別2、 矩陣與數(shù)列的聯(lián)系與區(qū)別3、 矩陣與向量的聯(lián)系與區(qū)別四、例題 例題1：某公司負(fù)責(zé)從兩個(gè)礦區(qū)向三個(gè)城市送煤：從甲礦區(qū)向城市A,B,C送煤的量分別是200萬(wàn)噸、240萬(wàn)噸160萬(wàn)噸；從乙礦區(qū)向城市A,B,C送煤的量分別是400萬(wàn)噸、360萬(wàn)噸、820萬(wàn)噸。 請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)矩陣來(lái)表示這些數(shù)據(jù)。

7、例題2：已知一個(gè)三元一次方程組試寫出其系數(shù)矩陣、增廣矩陣。例題3：已知,，若A=B，試求例題4：觀察下圖，這是一個(gè)有三個(gè)點(diǎn)A、B、C連接構(gòu)成的圖形，請(qǐng)用矩陣表示這一圖形的結(jié)構(gòu)。ACB例題4：用矩陣變換法求方程組的解。解：該方程的增廣矩陣為A=設(shè)、分別表示矩陣的第1、2行，對(duì)矩陣A進(jìn)行下列變換： ×（2），同時(shí)不變得：×3+，同時(shí)不變得： ×，同時(shí)不變得： ×（1）+，同時(shí)不變得：×，同時(shí)不變得：由最后一個(gè)矩陣可知：從上例中可以看出，通過(guò)對(duì)線性方程增廣矩陣的變換可以得到方程組的解，這里所用的矩陣變換主要有三種：（1） 互換矩陣的兩行（2） 把某一

8、行同乘（除）以同一個(gè)非零的數(shù)（3） 把某一行乘以同一個(gè)數(shù)，再加到另一行通過(guò)上述三種變換，使線性方程的系數(shù)矩陣變?yōu)閱挝痪仃嚂r(shí)，其增廣矩陣的最后一列向量給出了方程組的解。例題5：用矩陣變換法求方程組 的解。（高斯消去法）解：該方程組的增廣矩陣為A= 設(shè)、分別表示矩陣的第1、2、3行，對(duì)矩陣A進(jìn)行下列變換：（注意：這里的、隨著矩陣的變化在變化）+，同時(shí)×（2）+得×5×2得（這里的、是上一個(gè)矩陣的三行） ×，同時(shí)×得 ×+，同時(shí)×（3）+得×2+得 由最后一個(gè)矩陣可知總結(jié)例題，我們看到增廣矩陣的變換也無(wú)非是反復(fù)地對(duì)矩陣進(jìn)

9、行兩種基本操作：(1)用一個(gè)非零的數(shù)乘以某行的各個(gè)元素；(2)用一個(gè)非零的數(shù)乘以某行的各個(gè)元素，然后加到另一行相應(yīng)的元素上去這種操作叫做矩陣的初等變換把矩陣的兩行互換位置，也是初等變換綜上所述，高斯消去法實(shí)質(zhì)上就是按順序有規(guī)則地反復(fù)利用矩陣的初等變換，把增廣矩陣化成如下形式的過(guò)程這種方法可以推廣到元素和方程數(shù)更多的線性方程組上去同學(xué)們可以思考一下對(duì)四元線性方程組的矩陣變換過(guò)程及結(jié)果的形式五：作業(yè)1. 小王是個(gè)氣象愛好者，他根據(jù)多年收集的資料，發(fā)現(xiàn)了當(dāng)?shù)靥鞖庥腥缦碌囊?guī)律：晴天的次日是晴天的概率為 ；晴天的次日是陰天的概率為 ；晴天的次日是雨天的概率為 。陰天的次日為晴天、陰天、雨天的概率分別是

10、；雨天的次日為晴天、陰天、雨天的概率分別是 。 請(qǐng)將上述數(shù)據(jù)用矩陣進(jìn)行表示。2. 課本P79，練習(xí)9.1的第13題。3. 設(shè)A=，B=若A=B，求x、y、m、n的值。4. 用矩陣表示下列關(guān)系圖BACD5. 練習(xí)部分P48，9.1B組第2題。9.2矩陣的運(yùn)算教學(xué)目標(biāo)：1.熟練掌握矩陣的加法、減法、數(shù)乘、乘法運(yùn)算法則。2理解矩陣數(shù)乘時(shí)，滿足的交換率和結(jié)合律。3.明確矩陣乘法運(yùn)算時(shí)，滿足的條件，同時(shí)理解矩陣乘法不滿足交換律。4.會(huì)用矩陣記號(hào)表示線性方程組。教學(xué)重點(diǎn)：矩陣乘法的概念與運(yùn)算、矩陣乘法運(yùn)算滿足的條件、學(xué)會(huì)利用矩陣的運(yùn)算判斷方程組解的情況。教學(xué)過(guò)程：一、 矩陣的加法、減法運(yùn)算法則：將兩個(gè)行數(shù)

11、和列數(shù)都相等的矩陣的對(duì)應(yīng)位置上的元素相加（相減），i=1,2,3,m；j=1,2,n,所得的矩陣稱為兩個(gè)矩陣的和（差），記作A+B（AB）。例1：已知A=，B=,求A+B與AB注意：（1）矩陣的加減法運(yùn)算要求兩個(gè)矩陣必須行數(shù)和列數(shù)相等 （2）必須是對(duì)應(yīng)位置上元素相加減 （3）矩陣加減法運(yùn)算的結(jié)果仍舊是矩陣，而且與原來(lái)的矩陣行數(shù)和列數(shù)相等二、 矩陣的數(shù)乘運(yùn)算1.法則：矩陣與一個(gè)實(shí)數(shù)的乘積為矩陣的數(shù)乘運(yùn)算。矩陣的數(shù)乘運(yùn)算時(shí)，要求矩陣中的每個(gè)元素都與該實(shí)數(shù)相乘，得到的新的矩陣為運(yùn)算結(jié)果。 即：當(dāng)A=與實(shí)數(shù)a乘積為aA=例2：已知A=，B=，求3A+2B和A2B注意：數(shù)乘運(yùn)算時(shí)，一定要所有元素都發(fā)生數(shù)

12、乘。2.矩陣數(shù)乘的運(yùn)算律 Aa=aA (交換律) c(A+B)=Ac+Bc (結(jié)合律) 證明由學(xué)生自己實(shí)踐獲得。思考：矩陣的加減法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算與向量的相關(guān)運(yùn)算的相似性三、 利用矩陣判斷線性方程組有解的條件1. 線性方程組只含未知量x,y,z的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)的方程組。2. 線性方程組的系數(shù)矩陣為，其兩個(gè)列向量為、則原方程組可表示為x+y=。注：線性方程組的這種表示叫做用矩陣記號(hào)表示線性方程組。 例3，判斷線性方程組解的情況解：方程組的系數(shù)矩陣為，其兩個(gè)列向量為、則原方程組可表示為x+y=。根據(jù)平面向量分解定理可知：當(dāng)向量和不平行時(shí)，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y使得上式成立，即有且僅有一組解。當(dāng)向量和

13、平行時(shí)，對(duì)于任意的x,y =+都與或平行，若向量與平行，則方程組有無(wú)數(shù)組解；若向量與不平行，則方程組無(wú)解。注意：平面向量可以表示成矩陣的行向量，也可以表示成矩陣的列向量。 在處理矩陣題目的過(guò)程中，要能夠及時(shí)與向量的相關(guān)知識(shí)發(fā)生聯(lián)系。四、矩陣的乘法運(yùn)算（重點(diǎn)） 1. 矩陣乘法法則: =2.矩陣乘法的推廣：n行k列的矩陣A和k行m列的矩陣B（其中m，n，k）,可以計(jì)算乘積，且乘積有意義。(矩陣可以進(jìn)行乘法運(yùn)算的充要條件)例4:（1）已知A=，B=,計(jì)算AB，A2 （2）已知A=，B=，計(jì)算AB,BA (3)已知A=，B=，C=計(jì)算AB,AC注意：（1）零矩陣的引入 （2）矩陣乘法滿足交換律嗎？例5

14、：已知A=,B=求AB例6：已知A=,B=求AB思考：例5與例6的題目求BA有結(jié)果嗎？例7.已知A=,B=,求AB思考：這樣的矩陣乘積是什么呢？ 3. 矩陣乘法的運(yùn)算律：（1） 矩陣乘法不滿足交換律 對(duì)于二階矩陣A，B，盡管AB，BA均有意義但一般ABBA。（2） 矩陣乘法滿足結(jié)合律（AB）CA（BC）（可利用例5的第三題進(jìn)行論證，學(xué)生實(shí)踐）（3） 矩陣乘法不滿足消去律例8. 已知：A=，B，C，計(jì)算AB，AC。注意：此題說(shuō)明矩陣乘法不滿足消去律。雖然有AB=AC，但4.二階矩陣與平面向量的乘積 （1）、 向量=（x，y）和平面上的點(diǎn)P（x，y）都可以看成行矩陣（x，y），也可以看出列矩陣。其

15、中（x，y）稱為行向量，稱為列向量。習(xí)慣上我們把平面內(nèi)向量的坐標(biāo)（x，y），寫出列向量的形式。 （2）、行矩陣與列矩陣的乘法法則為： = 矩陣與列向量的乘法法則為：=例9. 計(jì)算 的乘積，同時(shí)說(shuō)明向量發(fā)生了什么變化。（3）、一般地，對(duì)與平面上的任意一點(diǎn)（向量）（x，y），若按照對(duì)應(yīng)法則T，總能對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)平面點(diǎn)（向量），則稱T為一個(gè)變換，簡(jiǎn)記為： T：（x，y） 或 T：例10.某牛仔褲商店經(jīng)銷A、B、C、D、E五種不同牌子的牛仔褲，其腰圍大小分別有28英寸、30英寸、32英寸、34英寸四種，在一個(gè)星期內(nèi)，該商店的銷售情況可用下列矩陣形式表示：假設(shè)不同牌子的每條牛仔褲的平均利潤(rùn)分別為：A為3

16、0元，B為35元，C為40元，D為25元，E為40元，試求該商店在這一星期的總利潤(rùn)？五、作業(yè)1. 課本P82，9.2練習(xí)第1-2題2. 練習(xí)部分 P51,習(xí)題9.2B組第1題3. 練習(xí)部分P52, 習(xí)題9.2B組第3題4. 練習(xí)部分P49, 習(xí)題9.2A組第3題5. 練習(xí)部分P49, 習(xí)題9.2A組第4題6. 練習(xí)部分P52, 習(xí)題9.2B組第4題7. 練習(xí)部分P52, 習(xí)題9.2B組第5題探索與實(shí)踐矩陣的變換一、向量變換與坐標(biāo)變換 二、圖形變換的幾種類型 1.相似變換例1，已知：矩陣A=發(fā)生如下變換 T：= ，觀察圖形的變化特征。解：=所得矩陣表示的圖形如圖所示注意：當(dāng)按矩陣變換時(shí)，得到的圖像變?yōu)榱嗽瓉?lái)的n倍。2.恒等變換例2，已知：矩陣A=發(fā)生如下變換 T：= ，觀察圖形的變化特征。解：=所得矩陣表示的圖形如圖所示3.伸縮變換 例3，已知：矩陣A=發(fā)生如下變換 T：= ，觀察圖形的變化特征。解：=所得矩陣表示的圖形如圖所示 注意：伸縮變換后的圖形，一定