橋梁結(jié)構(gòu)振動與穩(wěn)定分析

1、東南大學(xué)交通學(xué)院東南大學(xué)(20142015)年第一學(xué)期橋梁結(jié)構(gòu)振動與穩(wěn)定分析研究報告成 績：姓 名：高明天學(xué) 號：145511專 業(yè)：橋梁與隧道工程授課教師：萬 水日 期：2015年1月目錄2薄板的振動理論及應(yīng)用 2.1薄板的自由振動薄板自由振動的一般問題是這樣提出的：在一定的橫向荷載作用下處于平衡位置的薄板，受到干擾力的作用而偏離這一位置，當干擾力被除去以后，在該平衡位置附近作微幅振動。（1）試求薄板振動的頻率，特別是最低頻率。（2）設(shè)已知薄板的初始條件，即已知處撓度及初速度，試求薄板在任意瞬時的撓度。設(shè)薄板在平衡位置的撓度為，這時，薄板所受的橫向靜荷載為。則薄板的彈性曲面微分方程為： （a

2、)式（a)標示：薄板每單位面積上所受的彈性力和它所受的橫向荷載q成平衡。設(shè)薄板在振動過程中的任意瞬時t的撓度為，則薄板每單位面積上在該瞬時所受的彈性力，將與橫向荷載q及慣性力成平衡，即 （b)薄板的加速度是，因而每單位面積上的慣性力是其中為薄板每單位面積內(nèi)的質(zhì)量（包括薄板本身的質(zhì)量和隨同薄板振東的質(zhì)量），則式（b）可以改寫為 (c)將式（c）與式（a)相減，得到由于不隨時間改變，所以上式可以改寫成為 (d)命薄板在任意瞬時的撓度為，而式(d)成為或 （2-1）這就是薄板自由振動的微分方程。微分方程(2-1)有如下形式的解答： （2-2）在這里，薄板上每一點(x,y)的撓度，被標示成為無數(shù)多個簡

3、諧振動下的撓度相疊加，而每一個簡諧振動的頻率是。另一方面，薄板在每一瞬時t的撓度，則被標示成為無數(shù)多鐘振形下的撓度相疊加，而每一種振形下的撓度是由振形函數(shù)標示的。為了求出各種振形下的振形函數(shù)，以及與之相應(yīng)的頻率，我們?nèi)〈胧?2-1),然后消去因子，得出所謂振形微分方程 （2-3）如果由這一微分方程求得W的滿足邊界條件的非零解，即可由關(guān)系式 （e）求得相應(yīng)的頻率。自由振動的頻率，稱為自然頻率或固有頻率，它們完全決定于薄板的固有特性，而與外來因素?zé)o關(guān)。實際上，只有當薄板的為常量時，才有可能求得函數(shù)形式的解答。這時，命 （2-4)則方程（2-3)簡化為常系數(shù)微分方程 （2-5）現(xiàn)在就可能比較簡便地

4、求得W的滿足邊界條件的、函數(shù)形式的非零解，從而求得相應(yīng)的值，然后再用（2-4）式求出相應(yīng)的頻率。將求出的那些振形函數(shù)及相應(yīng)的頻率取為及，代入表達式（2-2），就有可能利用初始條件求得該表達式中的系數(shù)及。設(shè)初始條件為則由（2-2）式得于是可見，為了求得及，必將已知的初撓度及初速度展為的級數(shù)，這在數(shù)學(xué)處理上是比較困難的。因此，只有在特殊情況下，才有可能求得薄板自由振動的完整解答，即任一瞬時的撓度。在絕大多數(shù)的情況下，只能求得各種振形的振形函數(shù)及相應(yīng)的頻率。2.2四邊簡支的矩形薄板的自由振動 取振形函數(shù)為 （2a）其中m及n為整數(shù)，可以滿足邊界條件，代入（2-5）式，得 圖2-1為了這一條件在薄板中

5、面上的所有各點都能滿足，也就是在x和y取任意值時都滿足，必須有 （2b）將式（b）代入（2-4）式，得出自然頻率的公式 （2c）命m及n取不同的整數(shù)值，可以求得相應(yīng)于不同振形的自然頻率 （2-6）當薄板以這一頻率振動時，振形函數(shù)為而薄板的撓度為 （2d)則薄板在自由振動中任一瞬時的總撓度為 （2e)初撓度及初速度標示成振形函數(shù)的級數(shù)為： （2f)按照級數(shù)展開的公式，有 （2-7）根據(jù)初始條件由式（2e)及式（2f)得由此得 代入式（2e),即得完整的解答如下： （2-8）2.3兩對邊簡支的矩形薄板的自由振動設(shè)薄板的x=0及x=a的兩邊為簡支邊。取振形函數(shù)為 （3a)其中Ym只是y的函數(shù)，可以滿

6、足該簡支邊的邊界條件。將式（3a）代入（2-5），得出常微分方程 （3b）它的特征方程式 圖2-2而這個代數(shù)方程的四個根是 （3c）大多數(shù)情況，而式（3c)所示的四個跟是兩實兩虛，可以寫做注意，取正實數(shù) （3d)則上述四個跟成為及，而式（b)的解答可以寫成從而得振形函數(shù)的表達式 （2-9）在少數(shù)情況下，而式（3c)所示的四個跟都是實根。這時，取正實數(shù) （3e）則振形函數(shù)的表達式成為 （2-10）其中至由y=0及y=b處的四個邊界條件求出。2.4圓形薄板的自由振動薄板的自由振動微分方程仍然是（2-1），即 （4a)但其中，而 仍把方程（4a）的解答取為無數(shù)多簡諧振動的疊加，即 （4b）為了求出及

7、相應(yīng)的，取 （4c）代入方程（a)，仍得 （其） （4d）方程（4d）可以改寫為 也就是 （4e）顯然（4e）的解也是（4d)的解。取 ， n=0,1,2,. （4f）將式（4f)代入式（4e）,得常微分方程或引用量綱一的變量而得這一微分方程的解答是 （4g）其中及分別為實宗量的、n階的第一種及第二種貝塞爾函數(shù)，及分別為虛宗量的、n階的第一種及第二種貝塞爾函數(shù)。將式（4g）代入（4f）,即得。 （2-11）其中至由邊界條件求出。2-5用差分法求自然頻率基于方程（2-3），在任一典型結(jié)點0，有。利用差分公式，可得 其中h是網(wǎng)格間距。引用量綱一的常數(shù) （2-13）則上列差分方程為。（2-14）其中

8、可以通過邊界條件求得，有了代入（2-13）就可以得到。2-6用能量法求2-6.1瑞利法前邊已提到，薄板的瞬時撓度可以表示成為 （6a）如果以薄板經(jīng)過平衡位置的瞬時作為初瞬時（t=0），則有由此可見A=0。將常數(shù)B歸入，則式（a)簡化為 （6b）速度的表達式為 （6c）為了簡便，假定薄板并不受有靜荷載，于是靜撓度，而薄板的平衡位置就相應(yīng)于無撓度時的平面狀態(tài)。這樣，由式（6b)及式（6c）可見，當薄板距平衡位置最遠時，則有，從而有。這時，薄板的動能為零而形變勢能達到最大值。這個最大勢能是 （2-15）如果在薄板只有夾支邊和簡支邊的情況下，上式簡化為 （2-16）當薄板經(jīng)過平衡位置時，我們有，,速度

9、達到最大值。這時，薄板的形變勢能為零，而動能達到最大值。按照式（6c),這個最大動能是 （2-17）根據(jù)能量守恒定理有，即這是的一組m個齊次線性方程。為了W具有非零解，必須具有非零解，因而該線性方程組的系數(shù)行列式必須等于零。這樣就得出求解的方程。2-6.2里茨法為了求得比較精確的最低自然頻率，里茨建議把振形函數(shù)取為 （2-18）其中是滿足邊界條件的設(shè)定函數(shù)，是互不依賴的待定函數(shù)。選使得為最小，即 （2-19）這是的一組m個齊次線性方程。為了W具有非零解，必須具有非零解，因而該線性方程組的系數(shù)行列式必須等于零。這樣就得出求的方程。對于圓形薄板，宜用極坐標進行分析。為此，振形函數(shù)須改用極坐標表示，

10、即 （2-20）與此相應(yīng)，也須改用極坐標表示，可得（2-21）當全部邊界為夾支邊時，可得 （2-22）同樣，也須改用極坐標表示，可得 （2-23）對于圓形薄板的軸對稱自由振動，可得 （2-24）當全部邊界為夾支邊時，可得 （2-25）最大動能的公式（2-23）則簡化為 （2-26）當薄板上尚有集中質(zhì)量隨同薄板振動時，還須按照設(shè)定的振形函數(shù)W，求出集中質(zhì)量的最大動能，計入，然后進行計算。2-7用能量法求自然頻率舉例例題1：圖2-3中所示的夾支邊矩形薄板，用瑞利法求最低。把振形函數(shù)取為 （7a）可以滿足位移邊界條件。代入公式（2-16），得到 圖2-3將式(7a)代入公式（2-17），假定為常量，

11、得于是由得出 從而得到 （7b）對于正方形薄板，a=b，我們得到 與精確解答幾乎一致。例題2：考慮四邊簡支的矩形薄板，圖2-4，用里茨法求最低自然頻率。取振形函數(shù)為（7c）可以滿足位移邊界條件（同時也能滿足內(nèi)力邊界條件）。代入公式（2-16），得 圖2-4將式（7c)代入公式（2-17），假定為常量，得于是由得出命方程的系數(shù)行列式等于零（即該系數(shù)等于零），得到與精確解相同例題3：考慮半徑為a的夾支邊圓板，用瑞利法求最低自然頻率。取振形函數(shù)為 （7d）可以滿足邊界條件。代入公式（2-25），得將式（7d)代入公式（2-26），假定為常量，得命，即得比精確解答只大出1%。2-8薄板的受迫振動現(xiàn)在來

12、討論薄板在振動力荷載作用下進行的振動，即所謂受迫振動。薄板的受迫振動微分方程，可以和自由振動微分方程同樣的導(dǎo)出如下。設(shè)薄板只受橫向靜荷載q=q(x,y)而不受任何動力荷載，在發(fā)生靜撓度以后處于平衡狀態(tài)，則薄板每單位面積上所受的彈性力，將與靜荷載成平衡，即 （8a）設(shè)薄板在動力荷載的作用下進行振動，而在振動過程中任一瞬時的撓度為，則薄板每單位面積上所受的彈性力，將與靜荷載q、動荷載及慣性力成平衡，即 （8b）將慣性力代入上式以后，得 （8c）將式（8c）與式（8a）相減，得由于不隨時間而變，所以上式可以改寫為 （8d）注意就是薄板在任一瞬時的、從平衡位置量起的w，即可由上式得 （2-27）這就是

13、薄板受迫振動微分方程。為了求解薄板的受迫振動問題，必須首先求解該薄板的自由振動問題，求出它的各種振形的振形函數(shù)以及相應(yīng)的自然頻率，然后將它所受的動力荷載展為振形函數(shù)的級數(shù)，即 （2-28）現(xiàn)在，把微分方程（2-27）的解答取為如下的形式： （2-29）將（2-28）及（2-29）兩式代入（2-27）式，得 （8e）另一方面，由（2-5）及（2-4）兩式可得 （8f)在將式（8f）代入式（8e)的左邊，然后比較兩邊的系數(shù)，得 （8g)常微分方程（8g）的解答可以標示成為 （8h）其中的是任一特解。系數(shù)及則必由初始條件來確定，與自由振動的情況下相同。將式（8h)代入（2-29）式，即得薄板在任一瞬

14、時的撓度： （2-30）例題：設(shè)簡支邊矩形薄板受有動力荷載 （8i）這標示：動力荷載的分布形式保持不變，但它的數(shù)量卻以頻率周期性地隨時間變化。已知簡支邊矩形薄板的振形函數(shù)為 （8j）首先把動力荷載的表達式（8i）展為振形函數(shù)的級數(shù)： （8k）即按照重三角級數(shù)的展開公式，我們有 （8l）現(xiàn)在，將式（8k）及式（8j)一并代入（2-28）式，即可見而常微分方程（8g）成為這一微分方程的特解可以取為于是由（2-30）式得撓度的表達式（8m）并從而得到速度的表達式（8n）設(shè)動力荷載開始作用時，薄板是靜止地處于平衡位置，則初始條件為，由后一條件得，從而由前一條件得代入式（8m）,即得撓度的最后解答（8o）其中的系數(shù)如式（8l)所示。當動力荷載的頻率趨于薄板的某一個自然頻率時，解答（8o）中相應(yīng)的一項將具有0/0的形式，不便討論。因此，利用關(guān)系式將上述一項變換為當趨于時，