《模態(tài)分析與綜合技術》04復雜振動系統(tǒng)-01有限元分析

1、第第5章章 有限元分析有限元分析每一種自然現象的背后都有相應的物理規(guī)律(萬萬物皆規(guī)律物皆規(guī)律)，對現象的描述可以借助相關的定理或定律表現為各種代數的、微分的、或積分的方程，這些方程通常稱為數學模型數學模型（控制方程控制方程）。對于很多的實際工程問題，推導并得到這些方程并不十分困難，卻很難從這些方程中獲得解析的數學解。 對于這類實際工程問題的解決方案通常如下框圖所示： 工程中的問題(力學、物理等)各種方程及相應的定解條件(邊界條件及初始條件)線性的、邊界規(guī)則的問題數值分析法精確解近似解非線性的、邊界不規(guī)則的問題解析法第第5章章 有限元分析有限元分析第第5章章 有限元分析有限元分析借助相關的定理或

2、定律得到其代數的、微分的、或積分的方程幾乎不可能，即想得到其控制方程控制方程很難是利用數學近似的方法對真實物理系統(tǒng)(幾何和載荷工況)進行模擬。還利用簡單而又相互作用的元素，即單元，就可以用有限數量的未知量去逼近無限未知量的真實系統(tǒng)。從而通過計算機得到其龐大的控制方程控制方程。 第第5章章 有限元分析有限元分析 有限元方法有限元方法( (FEM) )是計算機問世以后迅速發(fā)展起來的一種分析方法。對于復雜系統(tǒng)，人們多采用數值方法給出近似的滿足工程精度要求的解答，有限元方法就是一種應用十分廣泛的數值分析方法數值分析方法，也是工程科學的重要工具，其重要性僅次于數學。第第5章章 有限元分析有限元分析幾何體

3、幾何體 載荷載荷 物理系統(tǒng)物理系統(tǒng)拉伸拉伸熱熱電磁電磁5.2 物理系統(tǒng)舉例物理系統(tǒng)舉例5.3 有限元模型和離散方程建立有限元模型和離散方程建立真實系統(tǒng)真實系統(tǒng)有限元模型有限元模型 有限元方法是處理連續(xù)介質問題的一種普遍方有限元方法是處理連續(xù)介質問題的一種普遍方法，法，離散化離散化是有限元方法的基礎。是有限元方法的基礎。是真是真實系統(tǒng)離散化、理想化的數學抽象。實系統(tǒng)離散化、理想化的數學抽象。第第5章章 有限元分析有限元分析 1 建模方法建模方法 眾所周知，一個連續(xù)體有無限多個自由度(屬于無限維空間無限維空間)，有限元方法則是將它轉化成一個有限自由度(屬于有限維空間有限維空間)，建立有限元方程，求

4、其近似解。由于利用了分片插值技術分片插值技術，連續(xù)體(區(qū)域)的形狀可以不受任何限制。而這一難題正是以前其他分析方法所難以克服的。建立有限元方程大體有三類方法： 第第5章章 有限元分析有限元分析5.3 有限元模型和離散方程建立有限元模型和離散方程建立2 自由度、節(jié)點和單元自由度、節(jié)點和單元用于描述一個物理場的響應特性。描述系統(tǒng)位形需要的獨立坐標數。（機械系統(tǒng)） 結構結構 位移位移 熱熱 溫度溫度 電電 電位電位 流體流體 壓力壓力 磁磁 磁位磁位 方向方向 自由度自由度結構自由度結構自由度ROTZYROTYXROTXZ場場變量：可以是標量，也可以是矢量。(最后處理的實際上都是標量) 第第5章章

5、有限元分析有限元分析5.3 有限元模型和離散方程建立有限元模型和離散方程建立 有限元有限元模型由一些模型由一些簡單形狀的簡單形狀的單元單元組成，組成，單元之間通單元之間通過過節(jié)點節(jié)點連接連接，并承受一，并承受一定定載荷載荷。節(jié)點節(jié)點單元單元載荷載荷載荷載荷第第5章章 有限元分析有限元分析2 自由度、節(jié)點和單元自由度、節(jié)點和單元5.3 有限元模型和離散方程建立有限元模型和離散方程建立l 每個單元的特性是通過一些每個單元的特性是通過一些線性方程線性方程式來式來描述的。描述的。l 作為一個整體，單元形成了整體結構的數作為一個整體，單元形成了整體結構的數學模型學模型。 信息是通過單元之間的公共節(jié)點傳遞

6、的。信息是通過單元之間的公共節(jié)點傳遞的。即通過公共節(jié)點的協(xié)調條件來完成從單元到整即通過公共節(jié)點的協(xié)調條件來完成從單元到整體的轉換。體的轉換。第第5章章 有限元分析有限元分析2 自由度、節(jié)點和單元自由度、節(jié)點和單元5.3 有限元模型和離散方程建立有限元模型和離散方程建立具有公共節(jié)點的單元具有公共節(jié)點的單元之間存在信息傳遞之間存在信息傳遞 .AB.1 node.分離但節(jié)點重疊的單元分離但節(jié)點重疊的單元A和和B之間沒有信息傳遞之間沒有信息傳遞(需進行節(jié)點合并處理需進行節(jié)點合并處理).AB.2 nodes第第5章章 有限元分析有限元分析2 自由度、節(jié)點和單元自由度、節(jié)點和單元5.3 有限元模型和離散方

7、程建立有限元模型和離散方程建立 節(jié)點自由度是隨連接該節(jié)點所在節(jié)點自由度是隨連接該節(jié)點所在變化變化的。的。JI三維桿單元三維桿單元 (鉸接鉸接)UX, UY, UZJKLI二維或軸對稱實體單元二維或軸對稱實體單元UX, UYPOMNKJIL三維實體熱單元三維實體熱單元TEMPLKI三維四邊形殼單元三維四邊形殼單元UX, UY, UZ,JROTX, ROTY, ROTZIJ三維梁單元三維梁單元ROTX, ROTY, ROTZUX, UY, UZ,POMNKJIL三維實體結構單元三維實體結構單元UX, UY, UZ第第5章章 有限元分析有限元分析2 自由度、節(jié)點和單元自由度、節(jié)點和單元5.3 有限元

8、模型和離散方程建立有限元模型和離散方程建立單元形函數單元形函數是一種數學函數，是一種數學函數，規(guī)定了從節(jié)規(guī)定了從節(jié)點點DOF值到單元內所有點處值到單元內所有點處DOF值的計算方法值的計算方法。因此，單元形函數提供了一種描述單元內部結。因此，單元形函數提供了一種描述單元內部結果的果的“形狀形狀”。（。（假設模態(tài)假設模態(tài)）單元形函數描述的是給定單元的一種假定單元形函數描述的是給定單元的一種假定的特性。的特性。單元形函數與真實工作特性吻合好壞程度單元形函數與真實工作特性吻合好壞程度直接影響求解精度。直接影響求解精度。FEA僅僅求解節(jié)點處的僅僅求解節(jié)點處的DOF值。值。第第5章章 有限元分析有限元分析

9、3 形函數形函數5.3 有限元模型和離散方程建立有限元模型和離散方程建立 二次曲線的線性近似二次曲線的線性近似 ( (不理想結果不理想結果) )節(jié)點節(jié)點真實的二次曲線真實的二次曲線.單元單元.二次近似二次近似 ( (接近于真實的二次近似擬合接近于真實的二次近似擬合) ) ( (最理想結果最理想結果) )節(jié)點節(jié)點單元單元.第第5章章 有限元分析有限元分析5.3 有限元模型和離散方程建立有限元模型和離散方程建立3 形函數形函數 DOF值可以精確或不太精確地等于在節(jié)點處值可以精確或不太精確地等于在節(jié)點處的真實解，但單元內的平均值與實際情況要吻合的真實解，但單元內的平均值與實際情況要吻合得很好。得很好

10、。如果單元形函數不能精確描述單元內部的如果單元形函數不能精確描述單元內部的DOF，就不能很好地得到導出數據，因為這些導出數，就不能很好地得到導出數據，因為這些導出數據是通過單元形函數推導出來的。據是通過單元形函數推導出來的。當選擇了某種單元類型時，也就十分確定地當選擇了某種單元類型時，也就十分確定地選擇并接受該種單元類型所假定的單元形函數。選擇并接受該種單元類型所假定的單元形函數。第第5章章 有限元分析有限元分析5.3 有限元模型和離散方程建立有限元模型和離散方程建立3 形函數形函數在選定單元類型并隨之確定了形函數的情況在選定單元類型并隨之確定了形函數的情況下，必須確保分析時有足夠數量的單元和

11、節(jié)點來精下，必須確保分析時有足夠數量的單元和節(jié)點來精確描述所要求解的問題。確描述所要求解的問題。第第5章章 有限元分析有限元分析5.3 有限元模型和離散方程建立有限元模型和離散方程建立3 形函數形函數要用有限元方法的理論來解決實際問題離不開計算機(硬件)和程序(軟件)，大體要完成以下四方面的工作：數據儲存應用有限元方法求解實際問題時，在計算過程中要存貯大量數據(原始、中間原始、中間和最終最終結果)。對于一個中等規(guī)模以上的算題，數據量相當可觀。例如，一個不到500個節(jié)點的板殼結構(中等規(guī)模)的算題，要占用大約18MB的外存空間，在處理規(guī)模稍大的算題時一定要有足夠的外存空間外存空間。 數據管理為了

12、充分利用存貯空間，編制程序時要注意到存貯空間的利用率。第第5章章 有限元分析有限元分析5.4 有限元程序有限元程序 數值計算計算成本主要取決于數值運算的時間，盡量選用先進的計算方法，提高求解效率求解效率。迭代步長。 前處理及后處理為了減少人工準備原始數據的工作量，程序要有盡可能完善的“自動生成自動生成“功能。即由程序產生一部分原始數據。盡管如此，對于中等規(guī)模以上的算題來說，準備原始數據仍然是一件繁重的工作。數據是否沒有差錯，往往決定著一次計算的成敗。分析計算結果也是一件繁重的工作，一個好的程序應有較完善的后處理功能后處理功能。例如，將計算結果繪制成圖形或曲線。 第第5章章 有限元分析有限元分析5.4 有限元程序有限元程序第第5章章 有限元分析有限元分析5.5 有限單元方法處理問題的基本步驟有限單元方法處理問題的基本步驟(i)用預先選定的單元類型來創(chuàng)建有限元網格；(ii)給單元及節(jié)點編號；(iii)創(chuàng)建幾何特性(例如：坐標系，橫截面的面積等)。(i)對各典型單元創(chuàng)建與其微分方程等價的變分形式；(ii)推導或選擇單元插值函數,計算相關的單元矩陣。第第5章章 有限元分析有限元分析5.5 有限單元方法處理問題的基本步驟有限單元方法處理問題的基本步驟(i)給