常微分方程：一階常微分方程模型

1、一階常微分方程模型人口模型 指數(shù)增長(zhǎng)模型（Malthus模型）1798年Malthus提出了著名的人口指數(shù)增長(zhǎng)模型，這個(gè)模型的基本假設(shè)是：人口的增長(zhǎng)率為 常數(shù)，即單位時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量與當(dāng)時(shí)的人口成正比。0( ),( )(0), ()( )( ),tx tx txxrx ttx trx tt記時(shí)刻 的人口為當(dāng)考察一個(gè)國(guó)家的人口時(shí)，很大，可當(dāng)作連續(xù)變量考慮，設(shè)人口增長(zhǎng)率為常數(shù) 則( )x t于是滿(mǎn)足微分方程0(0)dxrxdtxx0 ( )0rtx tx er解得，當(dāng)時(shí)，該解表明人口將按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)。模型的缺陷：人口爆炸Malthus的解決辦法：戰(zhàn)爭(zhēng)和瘟疫模型適用于：人口增長(zhǎng)率長(zhǎng)期穩(wěn)定不變的

2、國(guó)家和地區(qū) Logistic模型（阻滯增長(zhǎng)模型） ( )(1) ()0,mmmxxr xrxrxxr x假設(shè)人口增長(zhǎng)率是人口的減函數(shù)，最簡(jiǎn)單的假設(shè)是為的線(xiàn)性函數(shù)，其中 稱(chēng)為固有增長(zhǎng)率，表示自然資源所容納的最大人口數(shù)量，此式說(shuō)明因此有0(1)1 (0)mdxxrxdtxxx（ ）Logistic這個(gè)模型稱(chēng)為阻滯增長(zhǎng)模型（或模型）這是一個(gè)Bernoulli方程，令，1zx,mdzrrzdtx 則方程化為運(yùn)用一階線(xiàn)性非齊次方程的解題方法可得1( )rtmz tCex1 ( )1rtmx tCex即，再由初值條件可得0( )1 (1)mrtmxx txex 20世紀(jì)初美國(guó)曾用這一模型預(yù)測(cè)人口，取660

3、3.9 10 (1790),0.31,197 10mxrx年人口19301960,mx直到年計(jì)算結(jié)果都能與實(shí)際數(shù)據(jù)較好地吻合，后來(lái)的誤差就越來(lái)越大，原因是到年美國(guó)實(shí)際人口已大于這是因?yàn)殡S著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，一個(gè)國(guó)家能容納的最大人口數(shù)也是可以改變的。01mLogisticxtxrt 模型也適合描述商品銷(xiāo)售狀況，在自然推銷(xiāo)的銷(xiāo)售方式，即無(wú)廣告宣傳費(fèi)（口碑相傳）的方式下，設(shè)表示時(shí)刻已售出的商品量，表示商品的最大需求量，表示時(shí)銷(xiāo)售量的增長(zhǎng)率，則商品銷(xiāo)售量也滿(mǎn)足（ ）。傳染病模型一、(SI模型)不考慮病人治愈的傳染模型 模型假設(shè)：為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，總?cè)藬?shù)N不變 1( )( )ts ti t人群分為易感染者和已感

4、染者，時(shí)刻 這兩類(lèi)人數(shù)分別為和。(2)每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù) ，成為日接觸率，健康者只要被病人有效接觸就立即變成病人。 模型建立(2)( )/( ) ( )/,ts tNi t s tNdiisNdt由假設(shè)，第 天每個(gè)病人可使個(gè)健康者變?yōu)椴∪?，共有個(gè)健康者被感染，即有00( )( ), (0),(1) (0)s ti tNiidiiidtNii又因?yàn)橛泟t有10( )(1),2()2 ln(1) (*)mmiNg iiiNNdidiidtdtNti模型分析：因?yàn)榈淖畲笾迭c(diǎn)為所以當(dāng)時(shí)達(dá)最大值，這個(gè)時(shí)刻為10 ( )1(1)tLogisticNi tNei這就是上節(jié)出現(xiàn)的模型，解得 模

5、型檢驗(yàn)(1)(*) *mmtt是中的 就是病人增加最快的時(shí)刻，即傳染病的高峰期， （ ）式說(shuō)明 與 成反比，因?yàn)槿战佑|率代表該地區(qū)的衛(wèi)生水平， 越小衛(wèi)生水平越高，這說(shuō)明改善衛(wèi)生環(huán)境可以推遲傳染病高峰期的到來(lái)。(2), tiN 時(shí)，即最后全是病人，這是該模型的 缺點(diǎn)，原因是沒(méi)有考慮病人可以治愈。二、(SIS模型) 病人可以治愈但無(wú)免疫力的傳染病模型 模型假設(shè)(1),(2)(3) SI條件同模型。病人每天被治愈的占病人總數(shù)的比例為 ，稱(chēng)為日治愈率， 病人治愈后成為仍可被感染的健康者。 模型建立0(3),/ (0)SIdisi Nidtii由假設(shè)模型應(yīng)改為()1010() , ( )() , tNN

6、eii tNNti 解得/,1(1),1, ( )0, 1Ni 定義則可知 模型檢驗(yàn)1由 的定義和是傳染病的平均傳染期，由 的定義和是一個(gè)傳染期內(nèi)每個(gè)病人有效接觸的平均人數(shù)，稱(chēng)為接觸數(shù)。01 1( )11( )lim ( )(1)ti ti tii tN是一個(gè)閾值， 當(dāng)時(shí)病人單調(diào)下降趨于零，當(dāng)時(shí)的增減性與 有關(guān)，但是 的增函數(shù)。三、(SIR模型) 病人可以治愈且有免疫力的傳染病模型 模型假設(shè)(1).( ), ( ), ( ).(2) ,(0)0.ts t i t r tr 人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者。時(shí)刻的數(shù)量分別記為同前兩個(gè)模型，取 模型建立00(1), ( )( )( )/,

7、(0), (0)s ti tr tNdisi Nidtdridtii ss由假設(shè)由假設(shè)(2),( ), ( )i t s t這是一個(gè)關(guān)于未知函數(shù)的非線(xiàn)性方程組，無(wú)法求出它們的解析解。雪堆融化00.3720018Skr一個(gè)半球體狀的雪堆，其體積融化的速率與半球面面積 成正比，比例常數(shù)假設(shè)在融化過(guò)程中雪堆始終保持半球體狀，已知半徑為 的雪堆在開(kāi)始融化的 小時(shí)內(nèi)，融化了其體積的 ，問(wèn)雪堆全部融化需要多少小時(shí)？（考研）0000,trktCrrCrrktr 積分得由初值條件可得，于是。32222,2,3,22,.tVrSrdVdrdrkSrkrkdtdtdt 解法一：設(shè)雪堆在時(shí)刻 的體積為側(cè)面積為由題設(shè)知，即即3330000121 21,(3 ),838 36ttVVrkrkr又由即得0(