第二章§2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布(續(xù))

1、12內(nèi)容復(fù)習(xí)內(nèi)容復(fù)習(xí)一、離散型一、離散型一元一元2.二元二元二、連續(xù)型二、連續(xù)型一元一元2.二元二元問題提出問題提出：如何利用：如何利用“自變量自變量”的分布（已知）的分布（已知）來推來推出出“因變量因變量”的分布的分布。 順序是：順序是： g( ) g( ,)3一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布1. 一元函數(shù)一元函數(shù) g( )利用利用“關(guān)系表關(guān)系表”求出求出“因變量因變量”取每個可能值的概取每個可能值的概率。率。 列出列出“因變量因變量”與與“自變量自變量”可能值的關(guān)系表；可能值的關(guān)系表；., 2 , 1),(,)( ixgyxPpgiiii ，設(shè)設(shè)互互不不相相同同，則

2、則若若,21yy )(iiixPpyP ，則則個個相相同同有有若若)(21ryyyrjjj ) (111 rijrijjiixPpyP 42. 二元函數(shù)二元函數(shù)對于對于 g ( , )，已知，已知,jiijyxPp 求求 的分布律。的分布律。(,)kiiPzg xy ,ijPxy ijp (,),.ijijg x yp若若中中有有值值相相同同的的 應(yīng)應(yīng)將將相相應(yīng)應(yīng)的的相相加加合合并并5)( )(gR ：確確定定的的值值域域 第第一一步步；( ),( )yRFy ：對對任任意意 求求 的的分分布布函函數(shù)數(shù)第第二二步步( )F yPy ()Pyg ( )PG y ( )( )G yfx dx ()

3、( )( ),( )( )G yFyfyyRfx dx ：對對 求求導(dǎo)導(dǎo)，得得 第第三三步步( )( )yRfy ，取取 第第四四步步：當(dāng)當(dāng)0 0分分布布函函數(shù)數(shù)法法二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布（難點、重點）二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布（難點、重點）1. 一元函數(shù)一元函數(shù)( )( ),( )(,fxFxg 已已知知?)( yf 求求( ),( )( ),( )F yyRfyyR 0 0 6重要結(jié)果重要結(jié)果),(2 N)| ,()0(22 bbaNbba 特別：特別：)1, 0(N ab,1()1| , 022 bba標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)化72. 二元函數(shù)二元函數(shù)一般方法及步驟：一般方法及步驟：?)(),

4、(),(),( zfgyxf 求求設(shè)設(shè)所用公式：所用公式： GdxdyyxfGP),(),( 利用分布函數(shù)及公式計算利用分布函數(shù)及公式計算)(zF )(zPzF ),(zgP zyxgdxdyyxf),(),( 求導(dǎo)求導(dǎo))()(zFzf 8（1）和的分布）和的分布 （P.67）?)(,),(),( zfyxf 求求設(shè)設(shè) 解解)(zPzF zP zyxdxdyyxf),(G xzdyyxfdx),(計算計算)()(zFzf 下面導(dǎo)出直接用下面導(dǎo)出直接用 f (x,y)計算計算 的公式。的公式。)(zf 這是一般方法！這是一般方法！9 dxxzxfzFzf),()()( 當(dāng)當(dāng) 與與 獨立時，有卷積

5、公式：獨立時，有卷積公式： dxxzfxfzf)()()( dyyfyzfzf)()()( 或或)( 10例例5 (P.68) 其其它它。, 0; 0, 0,2),()2(yxeyxfyx),( 設(shè)設(shè) ).(zf ，求求 解法解法1（一般方法）（一般方法）)(zPzF zP zyxdxdyyxf),(; 0)(, 0),(0 zFyxfz 因因此此時時，當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)z0時，在時，在R(G與與f(x,y) 的非零值區(qū)域之交集的非零值區(qū)域之交集)上積分：上積分：R0zyx 0G011 zxzyxdyedxzF00)2(2)( zzee221 所以所以 . 0, 0; 0),(2)(2zzeezfzz

6、212,0;( )0,0.zzeezFzz 12 . 0, 0; 0,2)(2yyeyfy 解法解法2（卷積公式）（卷積公式）由由2.3例例6，例，例11知知 與與 相互獨立相互獨立, . 0, 0; 0,)(xxexfx dxxzfxfzf)()()( 由由卷積公式卷積公式有有. 0)()(00, 0 xzfxfzxxzx 時時，即即時時（如如圖圖），僅僅當(dāng)當(dāng)xz xz0 xz0, 0)(0 zfz 時時，當(dāng)當(dāng) zxzxdxeezfz0)(22)(0 時，時，當(dāng)當(dāng))(22zzee 積分方向積分方向 . 0, 0; 0),( 2)(2zzeezfzz 其其它它。, 0; 0, 0,2),()2

7、(yxeyxfyx13例例6 ., 0, 10, 1其它其它xxfX ., 0, 10, 1其它其它yyfY ZZXYFz 設(shè)設(shè)的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為，則則有有設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X與與Y相互獨立，都服從區(qū)間相互獨立，都服從區(qū)間(0,1)上的上的均勻分布，令均勻分布，令Z=X+Y，試求隨機(jī)變量，試求隨機(jī)變量Z的密度函數(shù)。的密度函數(shù)。解一：解一：由題意可知由題意可知 1,01,01 ( , )0,.XYxyf x yfx fy 則則其其它它( )()()ZFzP ZzP XYz ( , )xy zf x y dxdy 14( )()()ZFzP ZzP XYz ( , )xy zf x y d

8、xdy 1, 01,01 ( , )0,.XYxyf x yfx fy 其其它它x011yxyz 01z 2z 00z 12z001zzxdxdy 111001011zz xzdxdydxdy 2xyz z1z xyz zxyz 11001dxdy 2 2z2 21 2zz 1 15220, 0, 012( )21, 1221, 2ZzzzF zzzzz , 01( )( )2, 120, ZZzzfzF zzz 其其它它16例例6 ., 0, 10, 1其它其它xxfX ., 0, 10, 1其它其它yyfY ，則有，則有的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量zfYXZZ dxxzfx

9、fzfYXZ設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X與與Y相互獨立，都服從區(qū)間相互獨立，都服從區(qū)間(0,1)上的上的均勻分布，令均勻分布，令Z=X+Y，試求隨機(jī)變量，試求隨機(jī)變量Z的密度函數(shù)。的密度函數(shù)。解二：解二：由題意可知由題意可知01, 01xzx 當(dāng)當(dāng)時時,fX(x) fY(z-x)不為不為0.17 . 0 zfZ zZdxzf01. z dxxzfxfzfYXZ 111zZdxzf.2 z 01, 01xzx 綜上綜上, 可得可得 Z=X+Y的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 ,01,2,12,0,.Zzzfzzz 其其它它xzxz 1xz 011218正態(tài)分布的可加性（正態(tài)分布的可加性（P.83 22題）題）

10、且且相相互互獨獨立立，則則設(shè)設(shè)),(),(222211 NN推廣：推廣： 且且相相互互獨獨立立，則則設(shè)設(shè)), 2 , 1)(,(2niNiii ),(12211 niiiniiiniiiaaNa 是是不不全全為為零零的的常常數(shù)數(shù)。其其中中naaa,21),(22221221 babaNba 另外：另外：泊松分布的可加性，二項分布的可加性，泊松分布的可加性，二項分布的可加性， 見見P.83的的23題和題和24題。題。(1 4)(2 8)2NN 設(shè)設(shè) ， ， ，且且相相互互獨獨立立， 則則 3 3( )N3212 ，2248 2 23 3( 768 ) N， 19 在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變

11、量及其分在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量布，如果知道了隨機(jī)變量 的概率分布，那么的概率分布，那么的的全部概率特征也就知道了全部概率特征也就知道了. 然而，在實際問題中，概率分布一般是較難然而，在實際問題中，概率分布一般是較難確定的確定的. 而在一些實際應(yīng)用中，人們并不需要知而在一些實際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了數(shù)字特征就夠了.20 例如，某班的學(xué)習(xí)情況可概括地用例如，某班的學(xué)習(xí)情況可概括地用“平均成績平均成績”來評價，而不需知道學(xué)習(xí)成績服從什么分布；又如來評價，而不需知道

12、學(xué)習(xí)成績服從什么分布；又如在研究水稻品種優(yōu)劣時，時常是關(guān)心稻穗的在研究水稻品種優(yōu)劣時，時常是關(guān)心稻穗的平均稻平均稻谷粒數(shù)谷粒數(shù)；再如檢查一批棉花的質(zhì)量時，既需要注意；再如檢查一批棉花的質(zhì)量時，既需要注意纖維的平均長度，又需要注意纖維長度與平均長度纖維的平均長度，又需要注意纖維長度與平均長度的偏離程度，的偏離程度， 從上面的例子看到，與隨機(jī)變量有關(guān)的某些從上面的例子看到，與隨機(jī)變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖然不能完整地描述隨機(jī)變量，但能描述數(shù)值，雖然不能完整地描述隨機(jī)變量，但能描述隨機(jī)變量在某些方面的重要特征。隨機(jī)變量在某些方面的重要特征。21 因此，在對隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)因此，在對隨機(jī)變量的

13、研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的字特征是重要的 . .在這些數(shù)字特征中，最常用的是在這些數(shù)字特征中，最常用的是數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)2223引例引例1 分賭本問題分賭本問題(產(chǎn)生背景產(chǎn)生背景) A, B 兩人賭技相同兩人賭技相同, 各出各出賭金賭金100元元,并約定先勝三局者為并約定先勝三局者為勝勝, 取得全部取得全部 200 元元.由于出現(xiàn)意由于出現(xiàn)意外情況外情況 ,在在 A 勝勝 2 局局 B 勝勝1 局時局時,不得不終止賭博不得不終止賭博, 如果要分賭金如果要分賭金,該如何分配才算公平該如何分配才算公平?數(shù)學(xué)期望的概念數(shù)學(xué)期望的概念 24A 勝勝

14、2 局局 B 勝勝 1 局局前三局前三局:后二局后二局:把已賭過的三局把已賭過的三局(A 勝勝2局局B 勝勝1局局)與上述結(jié)果與上述結(jié)果相結(jié)合相結(jié)合,即即 A、B 賭完五局賭完五局,A AA B B AB BA 勝勝B 勝勝分析分析 假設(shè)繼續(xù)賭兩局假設(shè)繼續(xù)賭兩局,則結(jié)果有以下四種情況則結(jié)果有以下四種情況:A AA B B AB B25因此因此, A 能能“期望期望”得到的數(shù)目應(yīng)為得到的數(shù)目應(yīng)為 41043200 ),(150 元元 而而B 能能“期望期望”得到的數(shù)目得到的數(shù)目, 則為則為43041200 ).(50 元元 故有故有, 在賭技相同的情況下在賭技相同的情況下,A, B 最終獲勝的最

15、終獲勝的可能性大小之比為可能性大小之比為, 1:3即即A 應(yīng)獲得賭金的應(yīng)獲得賭金的 而而 B 只能獲得賭金的只能獲得賭金的,43.4126因而因而A期望所得的賭金即為期望所得的賭金即為的的 “期望期望”值值,等于等于 的的可能值與其概率之積可能值與其概率之積的累加的累加.).元 即為即為若設(shè)若設(shè)隨機(jī)變量隨機(jī)變量 為為:在在 A 勝勝2局局B 勝勝1局的前提局的前提下下, 繼續(xù)賭下去繼續(xù)賭下去 A 最終所得的賭金最終所得的賭金.則則 所取可能值為所取可能值為:2000其概率分別為其概率分別為:434127 設(shè)某射擊手在同樣的條設(shè)某射擊手在同樣的條件下件下,瞄準(zhǔn)靶子相繼射

16、擊瞄準(zhǔn)靶子相繼射擊90次次,(命中的環(huán)數(shù)是一個隨機(jī)變量命中的環(huán)數(shù)是一個隨機(jī)變量).射中次數(shù)記錄如下射中次數(shù)記錄如下引例引例2 射擊問題射擊問題試問試問:該射手每次射擊平均命中靶多少環(huán)該射手每次射擊平均命中靶多少環(huán)?5432101513220103090159013902902090109030命中環(huán)數(shù)命中環(huán)數(shù) k命中次數(shù)命中次數(shù)頻率頻率knnnk28解解平均射中環(huán)數(shù)平均射中環(huán)數(shù)射射擊擊次次數(shù)數(shù)射射中中靶靶的的總總環(huán)環(huán)數(shù)數(shù) 9030520410315213120 90305902049010390152901319020 .37. 3 50kknnk2950kknnk 平均射中環(huán)數(shù)平均射中環(huán)數(shù)頻

17、率隨機(jī)波動頻率隨機(jī)波動隨機(jī)波動隨機(jī)波動 50kknnk n 50kkpk隨機(jī)波動隨機(jī)波動 穩(wěn)定值穩(wěn)定值 “平均射中環(huán)數(shù)平均射中環(huán)數(shù)”的穩(wěn)定值的穩(wěn)定值? “平均射中環(huán)數(shù)平均射中環(huán)數(shù)”等于等于射中環(huán)數(shù)的射中環(huán)數(shù)的可能值與其概率之積可能值與其概率之積的的累加累加30一、一、 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義定義111,1,2,.,( ).( ).kkkkkkkkkkkPxpkx px pEEx p 設(shè)設(shè)離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的分分布布律律為為若若級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂 則則稱稱級級數(shù)數(shù)為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望 記記為為即即隨機(jī)變量隨機(jī)變量可能值與其概率之

18、積可能值與其概率之積的的累加累加隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的含義隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的含義E()是一個實數(shù)是一個實數(shù),而非變量而非變量,它是一種它是一種加權(quán)平均加權(quán)平均,與與一般的平均值不同一般的平均值不同 , 它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值, 也稱也稱均值均值.31為為他們射擊的分布律分別他們射擊的分布律分別乙兩個射手乙兩個射手、甲甲,試問哪個射手技術(shù)較好試問哪個射手技術(shù)較好?實例實例1 誰的技術(shù)比較好誰的技術(shù)比較好? ?乙射手乙射手擊中環(huán)數(shù)擊中環(huán)數(shù)概率概率10982 . 05 . 03 . 0甲射手甲射手擊中環(huán)數(shù)擊中環(huán)數(shù)概率概率10983

19、. 01 . 06 . 032解解1()80.390.1100.69.3(),E 環(huán)環(huán)2()80.290.5100.39.1(),E 環(huán)環(huán)12,. 設(shè)設(shè)甲甲、乙乙射射手手擊擊中中的的環(huán)環(huán)數(shù)數(shù)分分別別為為故甲射手的技術(shù)比較好故甲射手的技術(shù)比較好.乙射手乙射手擊擊中中環(huán)環(huán)數(shù)數(shù)概概率率10982 .05 .03 .0甲射手甲射手擊擊中中環(huán)環(huán)數(shù)數(shù)概概率率10983 . 01 . 06 . 033實例實例2 如何確定投資決策方向如何確定投資決策方向? ? 某人有某人有10萬元現(xiàn)金，想投資于某萬元現(xiàn)金，想投資于某項目，預(yù)估成功的機(jī)會為項目，預(yù)估成功的機(jī)會為 30%，可得，可得利潤利潤8萬元萬元 ， 失敗的

20、機(jī)會為失敗的機(jī)會為70%，將，將損失損失 2 萬元若存入銀行，同期間的萬元若存入銀行，同期間的利率為利率為5% ，問是否作此項投資，問是否作此項投資?解解設(shè)設(shè) X 為投資利潤，則為投資利潤，則),( 17 . 023 . 08)(萬萬元元 XE存入銀行的利息存入銀行的利息:),(5 . 0510萬萬元元 %故應(yīng)選擇投資故應(yīng)選擇投資.Xp82 3 . 07 . 034三個常見離散型分布的期望三個常見離散型分布的期望例例1 設(shè)設(shè)pqP10 則則 E = p。)10(ppqE 如如：某產(chǎn)品的次品率：某產(chǎn)品的次品率p=0.05,則則E =0.05.含義含義：任取一件，：任取一件，“平均平均”有有0.0

21、5件次品。件次品。35例例2 設(shè)設(shè) ，則，則 E = 。 解解, 2 , 1 , 0,! kekkPk 0!kkekkE 11)!1(kkke 0!1mmmekm ee 例例3 設(shè)設(shè) B n, p ，則，則 E = np。 由性質(zhì)導(dǎo)出更易。由性質(zhì)導(dǎo)出更易。Rxkxekkx 0,!36二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1()iiP xx iixxf)(小區(qū)間小區(qū)間xi, xi+1)陰影面積近似為陰影面積近似為iixxf)()(1iiixxxf離散化：離散化：( )f x 1( )kkkx pE 離離散散型型1( )iixxf x dx xi與與xi+1很接近很接近, 所以區(qū)

22、所以區(qū)間間xi, xi+1)中的值可以中的值可以用用xi來近似代替來近似代替.ix()iif xx 37二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望( )f x 1( )kkkx pE 離離散散型型ix()iif xx ()iiif xExx 連連續(xù)續(xù)型型 0( )(l)imiiixEf xx 連連續(xù)續(xù)型型()fx dxx 382.連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義( ),( )d,( )d,( ).( )( )d .f xx f xxx f xxEEx f xx 設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的概概率率密密度度為為若若積積分分絕絕對對收收斂斂 則則稱稱積

23、積分分的的值值為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望 記記為為即即1()kkkE Xx p 離離 散散型型39解解 xxfxXEd)()(xxxde5150 因此因此, 顧客平均等待顧客平均等待5分鐘就可得到服務(wù)分鐘就可得到服務(wù).例例4 顧客平均等待多長時間顧客平均等待多長時間? ? 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間 X(以分計以分計)服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布,其概率密度為其概率密度為試求顧客等待服務(wù)的平均時間試求顧客等待服務(wù)的平均時間? . 0, 0, 0,e51)(5xxxfx5 50 0e ed()xx 55550 00 0eeeedxxxx 5 5

24、 40例例5 某動物的壽命（年）某動物的壽命（年）X為隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為為隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為2 25 50505,( ),.BAxF xxx ,A B求求 (1) (1) 的的值值；(2) (2) 這這種種動動物物的的平平均均壽壽命命。解解由由分分布布函函數(shù)數(shù)的的性性質(zhì)質(zhì)1 1()lim( )xFF x 2 21 1()lim ()xBFAx 1 1A ( )F x又又連連續(xù)續(xù)2 25 55050lim ()( )xBAFx 10102525B2 25 5B 412 2252515150505,( ),.xF xxx 分分布布函函數(shù)數(shù)3 350505 50505,( ),.xf xxx

25、 密密度度函函數(shù)數(shù)這這種種動動物物的的平平均均壽壽命命: : xxfxXEd)()(3 35 55050dxxx 2 25 55050d xx 5 55050 x 0 01 10 01 10 0 年年42三個連續(xù)型分布的期望三個連續(xù)型分布的期望例例 設(shè)設(shè) Ua,b，則，則 E 2ba 例例 設(shè)設(shè) 則則 E .),( e 1例例 設(shè)設(shè) 則則 E .),(2 N 43三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望問題的提出：問題的提出： 設(shè)已知隨機(jī)變量設(shè)已知隨機(jī)變量的分布，我們需要計算的不是的分布，我們需要計算的不是的期望，而是的期望，而是的某個函數(shù)的某個函數(shù)=g()的期望，那么應(yīng)該的期望，

26、那么應(yīng)該如何計算呢？如何計算呢？ 一種方法是，因為一種方法是，因為g()也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來的分布求出來. 一旦一旦我們知道了我們知道了g()的分布，就可以按照期望的定義把的分布，就可以按照期望的定義把Eg()計算出來計算出來.44 那么是否可以不先求那么是否可以不先求g()的分布而只根據(jù)的分布而只根據(jù)的的分布求得分布求得Eg()呢？呢？ 使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g()的的分布，一般是比較復(fù)雜的分布，一般是比較復(fù)雜的 .451. 一元離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)

27、期望一元離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望kxX kkpxXP 2101 1p2p3p4p).(,)(2YEXXgY求求若若 解解的分布律的分布律先求先求2XY 2XY p4102p31pp 4p隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為的分布律為46則有則有)()()(2XEXgEYE 42124)(10pppp 422212221)1(0pppp .)(41kkkxXPxg 因此離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為因此離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為若若 Y=g(X), 且且, 2, 1, kpxXPkk則有則有1 1( )( ()().kkkE YE g Xg x

28、p 定理定理472. 一元連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望一元連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望( )( ()( ) ( )d .E YE g Xg x f xx 若若 X 是連續(xù)型的是連續(xù)型的,它的分布密度為它的分布密度為 f (x) , 則則3. 二元隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望二元隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1 1() (,)( ),( , )(,),.ijijijE ZE g X Yg xX Ygypx y 設(shè)設(shè)為為離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量為為二二元元函函數(shù)數(shù) 則則.),(ijpYX的聯(lián)合概率分布為的聯(lián)合概率分布為其中其中定理定理48() (,)( , ) ( , )dd .E ZE g X Yg x

29、y f x yxy 則則數(shù)數(shù)為為二二元元函函為為連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量設(shè)設(shè),),(,)2(yxgYX).,(),(yxfYX的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為其中其中49XY1231 0120.10.10.10.10.10.0030.2(),() .E Y XEXY 求求 例例2 設(shè)設(shè) ( X , Y ) 的分布律為的分布律為501 0121 21031p),(YXXY)1, 1( 2 . 0)0 , 1(1 . 0)1 , 1(1 . 0) 1, 2( 1 . 0)1 , 2(1 . 0)0 , 3(3 . 0)1 , 3(1 . 0/YX 的的分分布布律律為為XY1231 0120.1

30、0.10.10.10.10.0030.1111 0.2 0 0.1 1 0.10.10.1 0 0.30.1223YEX .151 解解() (, )(,)ijijijE ZE g X Yg x yp 10110111120.20.10.10.100.1 00.3221013.1330YEX .151 51p),(YX)1, 1( 2 . 0)0 , 1(1 . 0) 1 , 1 (1 . 0) 1, 2( 1 . 0)1 , 2(1 . 0)0 , 3(3 . 0)1 , 3(1 . 02)(YX 41091944 . 091 . 002 . 013 . 04)(2 YXE得得. 5 XY1

31、231 0120.10.10.10.10.10.0030.2 2()XY 的的分分布布律律為為52例例3 設(shè)某種電子元件的壽命（單位：小時）設(shè)某種電子元件的壽命（單位：小時） X的的 密度函數(shù)為密度函數(shù)為2e,0( )0,.axa xxf x 其其它它2,( )YXE Y 求求(1)(1)該該元元件件的的平平均均壽壽命命,(2),(2)若若求求解解該該元元件件的的平平均均壽壽命命()E X( )xf x dx 20eaxxdxa x 220eaxa xdx 20(e)axax d 200e2eaxaxaxaxdx 02(e)axxd 002 e2eaxaxxdx 02eaxa 2a 532e,

32、0( )0,.axa xxf x 其其它它2,( )YXE Y (2)(2)若若求求2( )()E YE X 2( )x f x dx 220eaxxdxa x 230eaxa xdx 30(e)axax d 3200e3eaxaxaxaxdx 203(e)axx d 2003e6 eaxaxxxdx 06(e)axxda 0066eeaxaxxdxaa 206eaxa 26a 54例例4 在國際市場上，每年對我國某種出口商品的需在國際市場上，每年對我國某種出口商品的需求量求量X是一個隨機(jī)變量，在是一個隨機(jī)變量，在2000,4000上服從均勻上服從均勻分布。若每售出分布。若每售出1噸，可得外匯

33、噸，可得外匯3萬美元，若售不出萬美元，若售不出而積壓，每噸需保養(yǎng)費而積壓，每噸需保養(yǎng)費1萬美元，問組織多少貨源，萬美元，問組織多少貨源，才能使得平均收益最大？才能使得平均收益最大？解解, yR設(shè)設(shè)組組織織的的貨貨源源量量為為 收收益益為為1,20004000( )20000,.Xxfx 其其 它它3 ,3(),yyXRXyXyX 3 ,( )4,yyXRg XXyyX 平均收益平均收益( ( )E R X( )( )Xg x fx dx 400020001( )2000g x dx 553 ,( )4,yyXRg XXyyX ( ( )E R X400020001( )2000g x dx 4

34、00020001(4)32000yyxy dxydx 220001(2)3 (4000)2000yxyxyy 2217000(2000)1000yy 21(3500)82500001000y 3500y 所所以以當(dāng)當(dāng) ，平平均均收收益益最最大大( ( )E R X56例例5(,)0,2 0,1X Y 設(shè)設(shè)在在上上服服從從二二維維均均勻勻分分布布2,()ZX YE Z 求求解解() (,)( , ) ( , )dd .E ZE g X Yg x y f x yxy (,)X Y 的的聯(lián)聯(lián)合合密密度度函函數(shù)數(shù),( , )0,2 0,1( , )0,.x yf x y 其其它它1 12 2()E Z

35、2 21 12 20 00 01 12 2ddxx yy 21212 200001 12 2dd .xx yy 1 12 22 22 20 00 01 14 4dx yx 2 22 20 01 14 4dxx 2 23 30 01 11212x 2 23 3 57四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)證明證明: 設(shè)設(shè)Xf(x)，則，則()( )E cXcxf x dx ( )()cxf x dxcE X 1. 設(shè)設(shè) C 是常數(shù)是常數(shù), 則有則有.)(CCE 證明證明.1)()(CCCEXE 2. 設(shè)設(shè) X 是一個隨機(jī)變量是一個隨機(jī)變量,C 是常數(shù)是常數(shù), 則有則有).()(XCECXE 例如例如, 5)( XE)(3)3(XEXE 則則