09屆高三理科數(shù)學(xué)下冊第二次考試

1、本資料來源于七彩教育網(wǎng)09屆高三理科數(shù)學(xué)下冊第二次考試 數(shù)學(xué)試卷（理科） 總分：150分 時量：120分鐘 2009年4月5日聯(lián)合命題由 長郡中學(xué)；衡陽八中；永州四中；岳陽縣一中；湘潭縣一中；湘西州民中 隆回一中；澧縣一中；郴州一中；益陽市一中；桃源縣一中；株洲市二中一、選擇題：（本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中有且只有一項是符合題目要求的）.1集合的真子集的個數(shù)為 （ ）A3 B4 C7 D82復(fù)數(shù)（）2（其中i為虛數(shù)單位）的虛部等于 （ ）Ai B1 C1 D03設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則實數(shù)的值為 ( )A2 B1 C0 D34. 已知展開式中，各項系數(shù)的和

2、與其各項二項式系數(shù)的和之比為64，則展開式中的常數(shù)項等于 ( )A. 135 B. 270 C. 540 D. 12155下面四個命題：“直線a直線b”的充要條件是“a平行于b所在的平面”；“直線平面內(nèi)所有直線”的充要條件是“平面”；“直線a、b為異面直線”的充分不必要條件是“直線a、b不相交”；“平面平面”的必要不充分條件是“內(nèi)存在不共線三點到的距離相等”；其中正確命題的序號是 ( )A B C D6已知，則 （ ）A2 B C1D07已知O，A，B，C是不共線的四點，若存在一組正實數(shù)，使= ，則三個角AOB，BOC，COA （ ）A都是銳角 B至多有兩個鈍角 C恰有兩個鈍角 D至少有兩個鈍

3、角。8由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，所得的數(shù)是大于20000的偶數(shù)的概率為 （ ）A B C D 9雙曲線 1的左右焦點分別為F1 F2，在雙曲線上存在點P，滿足PF15PF2。則此雙曲線的離心率e的最大值為 （ ）A B C D210f (x)是定義在(0,+)上的非負可導(dǎo)函數(shù) ，且滿足 ，對任意的正數(shù)a b ，若a b，則必有 （ ）Aa f (a)b f (b) Ba f (a)b f (b) Ca f (b)b f (a) Da f (b)b f (a)二、填空題:（本大題共5個小題，共25分，將答案填寫在題中的橫線上）.11已知在平面直角坐標系中，O (0,0

4、), M (1,), N (0,1), Q (2,3), 動點P (x,y)滿足：01,01,則的最大值為12已知函數(shù)y=f(x),x1，1的圖象是由以原點為圓心的兩段圓弧及原點構(gòu)成（如圖所示）, 則不等式的的解集為 13已知1，則14若兩條異面直線所成的角為600，則稱這對異面直線為“理想異面直線對”，在連接正方體各頂點的所有直線中，“理想異面直線對”的對數(shù)為15已知拋物線的方程為，直線與拋物線交于A,B兩點，且以弦AB為直徑的圓與拋物線的準線相切，則弦AB的中點的軌跡方程為 ；當(dāng)直線的傾斜角為時，圓的半徑為 三、解答題:（本大題共6個小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

5、.16（本小題滿分12分）已知向量a(cos, sin), b(cos, sin), 且x0, .(1) 求a·b及ab；(2)若f (x)= a·b2ab的最小值為7, 求實數(shù)的值.17（本小題滿分12分）某公司科研部研發(fā)了甲乙兩種產(chǎn)品的新一代產(chǎn)品，在投產(chǎn)上市前，每種新一代產(chǎn)品都要經(jīng)過第一和第二兩項技術(shù)指標檢測，兩項技術(shù)指標的檢測結(jié)果相互獨立，每項技術(shù)指標的檢測結(jié)果都均有A ，B兩個等級，對每種新一代產(chǎn)品，當(dāng)兩項技術(shù)指標的檢測結(jié)果均為A級時，才允許投產(chǎn)上市，否則不能投產(chǎn)上市。(1)已知甲乙兩種新一代產(chǎn)品的每一項技術(shù)指標的檢測結(jié)果為A級的概率如下表所示，分別求出甲乙兩種新一

6、代產(chǎn)品能投產(chǎn)上市的概率P甲P乙；第一項技術(shù)指標第二項技術(shù)指標甲0.80.85乙0.750.8(2)若甲乙兩種新一代產(chǎn)品能投產(chǎn)上市，可分別給公司創(chuàng)造100萬元150萬元的利潤；否則將分別給公司造成10萬元20萬元的損失，在1）的條件下，用分別表示甲乙兩種新一代產(chǎn)品的研發(fā)給公司創(chuàng)造的利潤，求的分布列及EE.18（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為等腰直角三角形，B = 900，D為棱BB1上一點，且面DA1 C面AA1C1C.1）求證：D點為棱BB1的中點；A1C1B1ACBA1D2）若二面角A A1D C的平面角為600，求的值。19（本小題滿分13分）設(shè)正項

7、數(shù)列的前項和為Sn，q為非零常數(shù)。已知對任意正整數(shù)n, m，當(dāng)n m時，總成立。1）求證數(shù)列是等比數(shù)列；2）若正整數(shù)n, m, k成等差數(shù)列，求證： 。20（本小題滿分13分）已知橢圓C：1（ab0）的離心率為，過右焦點F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點，N為弦AB的中點。1）求直線ON（O為坐標原點）的斜率KON ；2）對于橢圓C上任意一點M ，試證：總存在角（R）使等式：cossin成立。21（本小題滿分13分）我們知道：函數(shù)yf (x)如果存在反函數(shù)yf -1 (x)，則yf (x)的圖像與yf -1 (x)圖像關(guān)于直線yx對稱。若yf (x)的圖像與yf -1 (x)的圖像有公共點

8、，其公共點卻不一定都在直線yx上；例如函數(shù)f (x)。（1）若函數(shù)yf (x)在其定義域上是增函數(shù)，且yf (x)的圖像與其反函數(shù)yf -1 (x)的圖像有公共點，證明這些公共點都在直線yx上；（2）對問題：“函數(shù)f (x)a x (a1)與其反函數(shù)f -1 (x)logax的圖像有多少個公共點？”有如下觀點：觀點：“當(dāng)a1時兩函數(shù)圖像沒有公共點，只有當(dāng)0a1時兩函數(shù)圖像才有公共點”。觀點：“利用（1）中的結(jié)論，可先討論函數(shù)f (x)a x (a1)的圖像與直線yx的公共點的個數(shù)，為此可構(gòu)造函數(shù)F (x)a xx(a1)，然后可利用F (x)的最小值進行討論”。請參考上述觀點，討論函數(shù)f (x

9、)ax (a1)與其反函數(shù)f -1 (x)logax圖像公共點的個數(shù)。 數(shù)學(xué)試卷（理科）參考解答 題序12345678910答案ACACDBDBBC11. 4. 12. 1, )(0, ). 13. 。 14. 24. 15. （3分）、 （2分）。16.解：（1） a = (cos, sin), b = (cos, sin) a·b cos cossin（ sin）cos cossin sincos（）cos2x 3分又易知：a1,b1 ab2 a 2b 22 a·b 112 cos2x4cos2x ，且x0, ,ab2cosx. 6分（2) f (x) a·b

10、2abcos2x2(2cosx)2cos2x4cosx 12(cosx)2221 8分若0，當(dāng)cosx0時，f (x)取得最小值1，不合題意；若1，當(dāng)cosx1時，f (x)取得最小值14，由題意有147，得2；若01，當(dāng)cosx時，f (x)取得最小值221，由題意有2217，得±(舍去)。綜上所述：2。 12分17解： 1）由題意有： P甲 0.8×0.85 0.68 ； 3分P乙 0.75×0.8 0.6 。 6分2）隨機變量的分布列分別是：10010P0.680.3215020P0.60.49分E 100×0.68（10）×0.32 6

11、4.8 ；E 150×0.6（20）×0.4 82 。 12分18解： 1）過點D作DE A1 C 于E點，取AC的中點F，連BF EF。面DA1 C面AA1C1C且相交于A1 C，面DA1 C內(nèi)的直線DE A1 C直線DE面AA1C1C 3分又面BA C面AA1C1C且相交于AC，易知BFAC，BF面AA1C1C由此知：DEBF ，從而有D，E，F(xiàn)，B共面，又易知BB1面AA1C1C，故有DBEF ，從而有EFAA1，又點F是AC的中點，所以DB EF AA1 BB1，A1C1B1ACBA1DHEFG所以D點為棱BB1的中點； 6分2）解法1：延長A1 D與直線AB相交于

12、G，易知CB面AA1B1B，過B作BHA1 G于點H，連CH，由三垂線定理知：A1 GCH，由此知CHB為二面角A A1D C的平面角； 9分設(shè)AA1 2b ，ABBC ；在直角三角形A1A G中，易知 AB BG。在直角三角形DB G中，BH ，在直角三角形CHB中，tanCHB ，據(jù)題意有： tan600 ，解得：，所以 。 12分2）解法2：建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)AA1 2b ，ABBC ，A1C1B1ACBA1DyOxZ則D（0,0,b）, A1 (a,0,2b), C (0,a,0) 所以， 8分設(shè)面DA1C的法向量為則 可取又可取平面AA1DB的法向量cos 10分 據(jù)題意有

13、：，解得： 12分說明：考生的其他不同解法，請參照給分。19解： 1）因為對任意正整數(shù)n, m，當(dāng)n m時，總成立。所以當(dāng)2時：，即，且也適合，又0，故當(dāng)2時：（非零常數(shù)），即是等比數(shù)列。 5分2）若，則。所以。 7分若，則，。 8分所以。 10分又因為。所以。綜上可知：若正整數(shù)n, m, k成等差數(shù)列，不等式 總成立。當(dāng)且僅當(dāng)時取“”。 13分20解： 1）設(shè)橢圓的焦距為2c,因為，所以有，故有。從而橢圓C的方程可化為： 2分易知右焦點F的坐標為（），據(jù)題意有AB所在的直線方程為： 3分由，有： 設(shè)，弦AB的中點，由及韋達定理有： 所以，即為所求。 5分2）顯然與可作為平面向量的一組基底，由

14、平面向量基本定理，對于這一平面內(nèi)的向量，有且只有一對實數(shù)，使得等式成立。設(shè)，由1）中各點的坐標有：，所以。 7分又點在橢圓C上，所以有整理為。 由有：。所以 又AB在橢圓上，故有 將，代入可得：。 11分對于橢圓上的每一個點，總存在一對實數(shù)，使等式成立，而在直角坐標系中，取點P（），設(shè)以x軸正半軸為始邊，以射線OP為終邊的角為，顯然 。也就是：對于橢圓C上任意一點M ，總存在角（R）使等式：cossin成立。 13分21解； 1）設(shè)點M（x0, y0）是函數(shù)y f (x)的圖像與其反函數(shù)y f -1 (x)的圖像的公點，則有：y0f (x0) ， y0 f -1 (x0)，據(jù)反函數(shù)的意義有：x

15、0 f (y0)。 2分所以：y0 f (x0)且同時有x0 f (y0)。若x0 y0 ，因為函數(shù)y f (x) 是其定義域上是增函數(shù)，所以有：f (x0) f (y0) ，即y0 x0 與 x0 y0矛盾，這說明x0 y0是錯誤的。同理可證x0 y0也是錯誤的。所以x0 y0 ，即函數(shù)y f (x)的圖像與其反函數(shù)y f -1 (x)的圖像有公共點在直線y x上； 5分2）構(gòu)造函數(shù)F (x)a xx(a1)因為F (x) a xlna 1（a 1）， 6分令F (x) a xlna 10，解得：x 。所以當(dāng)x 時：F (x)0，F(xiàn) (x)在區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)x 時：F (x)0，F(xiàn) (x)在區(qū)間上是減函數(shù)。所以F (x)的最小值為F (x)min