《幾何學(xué)》題庫(kù)及答案

1、幾何學(xué)題庫(kù)及答案第7頁(yè)共12頁(yè)填空題);1 .若| a + b |=| a- b | ,則矢量a , b應(yīng)滿足的條件為（2 .兩矢量a , 6夾角為 ，則cos =（）；3 .平面x 2y 5z 3 0的法式化方程為（）；4 .通過(guò)點(diǎn)M （1,-5, 3）且與x, v, z軸分別成600,450,1200的直線方程為（ ）；2225 .方程一x y z 1, （ABC 0） ABC當(dāng) （）時(shí)，方程表示雙葉雙曲面；6. 一直線上有三點(diǎn) A, B,巳 滿足AP= PB （-1）。O是空間一點(diǎn)，則 OP用OA, OB線性表示為（）；7. a =2 , -2 , -1,則 a =（）。8.連接兩點(diǎn) A

2、(3,10,-5),B(0,12,b)的線段平行于平面 7x+4y-z+1=0，則b=（9.兩直線 x xi-一江 -芻（i=1,2 ）異面的充要條件為（）。XiYiZi2210 .寫出雙曲拋物面 與 I 2z的一族直母線方程（）。a b11 .二次曲線漸近方向滿足的條件為（）。12.設(shè)二次曲線的方程為x f 1 (x,y)+y f 2 (x,y)+ f 3 (x, y) 0 ,則共軻于非漸近方向X:Y的直徑方程為13 . 矢量2,-1,-2的單位矢量為（）。14 .在標(biāo)架O; i，j，k下，（i j，j k，k i）=（）。2215 .方程x y 1在空間中表示的圖形是（）。2y 2pz16

3、 .拋物線x 0繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程為（）。17 .二次曲線中心（x。，乂）滿足的條件是（）。18.平面 1: Ax+By+Cz+D=01直線 l : x°?于平行的充要條件是（219.單葉雙曲面當(dāng)a2 z b22。1的腰橢圓方程為（ c20 .空間不共線三點(diǎn)Ai（xi, y i, zi） （ i =1,2,3）.則這三點(diǎn)決定的平面方程是21 .在空間右手坐標(biāo)系下，點(diǎn)（1, -1 , 1）在第（）圭卜限。22 .寫出三種直紋面的名稱 （）。23 .兩種雙曲面分別是（）。24 .兩種拋物面分別是（）。證明題1 .用矢量法證明平行四邊形的對(duì)角線互相平分。2 .用矢量法證明三角

4、形的余弦定理。22xy2723.由橢球面 ab2自1c 的中心（即原點(diǎn)），沿某一方向到曲面上一點(diǎn)的距離是r ,設(shè)給定方向的方向余弦分別為, , ，試證:2222. 2 2abc 。4 .試證點(diǎn)M （xo，yo，zo）到平面Ax By Cz D 0間的距離為,|Ax° By。 Czo D| d '.A2 B2 C25 .設(shè)直線與三坐標(biāo)平面的交角為，試證：222ccos cos cos 2。6.用向量證明半圓上的圓周角是直角。7.證明：經(jīng)過(guò)坐標(biāo)軸的平移、旋轉(zhuǎn)，二次曲線方程的次數(shù)仍然是二次的。三.計(jì)算題1.設(shè)一平面與平面x+3y+2z=0平行，與三坐標(biāo)平面圍成的四面體體積為6,求平

5、面方程2.給定二次曲線 x2 6xy 7y2 6x 2y 1 0 ,求:(1)漸近線(2)主直徑;(3)化簡(jiǎn)，并畫出簡(jiǎn)圖。23.試求單葉雙曲面X162z 1與平面x-2z+3=0的交線對(duì)xoy平面的射影柱面方程。 54.試確定值，使直線3x y 2z 6 0與軸相交。x 4y z 15 05.給定二次曲線 5x2 12xy 22x 12y 19 0 ,求：(1)漸近線(2)主直徑(3)化簡(jiǎn)，并畫出簡(jiǎn)圖。22，、， x y z ， ，一，,一、， 、一6.設(shè)柱面的準(zhǔn)線為 x y z，母線垂直于準(zhǔn)線所在的平面，求這柱面的方程。x 2z7.求通過(guò)M1(0,0,1),M2(3,0,0)并且與坐標(biāo)平面

6、Oxy的夾角為的平面方程。3228.給定二次曲線 x 3xy y 10x 10y 21 0,求:(1) 漸近線；(2) 主直徑；(3) 化簡(jiǎn)，并畫出簡(jiǎn)圖。x 2yz 9 09 . l ,m為何值時(shí)，直線y在xOy平面內(nèi)。3x ly z m 010 .設(shè)OA=1,1,1 ,OB=1,-2, 3 , 求以O(shè)A和OB為鄰邊的平行四邊形的面積。22x y 2z 1 011 .通過(guò)直線x 2y z 2 0與平面x y z 1 0垂直的平面方程。12.求通過(guò)x軸，且與橢圓柱面 程+上=1的交線是圓的平面方程。4113 .求以三點(diǎn)A 1,1,1 , B 2,0,1 , C 1,0,2為頂點(diǎn)的三角形的面積。1

7、4 .求通過(guò)點(diǎn)P 0,4, 3 , P2 1, 2,6兩點(diǎn)，而且平行于x軸的平面的方程。15.求通過(guò)點(diǎn)M 1,1,1 ,而且與兩條直線I x_yz1i :, l123都相交的直線的方程。216.求通過(guò)x軸，而且與橢圓柱面 2y- 1的交線是圓的平面方程。17.化簡(jiǎn)二次曲線方程x4xy 4y2 12x y 1 0,并畫出草圖。幾何學(xué)作業(yè)參考答案填空題a b|a|b|3.x302y.305z,300;4.7.10.13.16.19.5. BA6. opOA1OB.-18;9.x2XXX1y2y1Yi丫2Z2ZZZ12u11.(X,Y)12. XF1(x, y)YF2(x, y)0。0;u(- b)

8、x214. 2;15.圓柱面;y22pz ；17F1(x0,y。)F2 (x0, y0)18 . AXBYCZ 0且 AxoByo Czo2 x2 ay2匕1 b2020.2i.2429.xXiyyiz ziX2X3IV.XiXiy2y3橢圓拋物面;二.證明題i.證明2.3.4.yiyiZ2z3ZiZi22.柱面，錐面,雙曲拋物面；25. 20 ;2;30.3; 3i.4切線曲面。23.單葉雙曲面；雙葉雙曲面:在平行四邊形ABCM,26.BOBO /AOBA BC；DODOBOi)同理O為AC中點(diǎn)。證明：在三角形中, 即 a2 b2 c22bc cos A o證明：定方向的方向余弦分別為的交點(diǎn)

9、坐標(biāo)為(r ,r ,ri 3,i, 5 ; 27.,35；32. X2 z2DA DCBCn , W, VI, vrn ； 28.(-i,-2,3);即有BA解得a2 (bBCBAom(BC BA)i ,即O為bd中點(diǎn),22c) b2bccos則定方向和橢球面),將此代入橢球面方程中得:2,2ab0,(a,b)，證明：過(guò)M作平面的垂線,垂足為Q (x, y, z),所以 MQX0Ay。z0 一 =mCX0mAy0mB而Q點(diǎn)在平面上，所以有z0mCA ( x0 mA)+B (y0mB ) +C ( z0 mC) +D=0 ,2 X-2 a2 y b2A,B,C第5頁(yè)共i2頁(yè)Ax。 By。 Czo

10、 DA B2 C2d |MQ| （x x。）2 （y y。）2 （z z。）2二 |m| A2 B2 C2|Ax。 By。 Cz。 D | -Oi A2 B2 C25.證明：設(shè)直線的方向?yàn)?l,m,n,坐標(biāo)平面xoy與直線的交角為，則22nsin 222 ，1 m n2 i 2同理 sin2-2馬2 , sin 2 刀22 ，l m nl m n所以 cos2 cos2 cos2206.證明：如圖AC AO OC OB OC CB OB OCAC CB OB OC OB OC'2 - 2 2 2 = OB OC r r G 所以AC Cb .7.證明：設(shè)二次曲線的方程為aiix2 2a

11、i2xy a22y2 2ax 2a23y a33。經(jīng)過(guò)平移變換x x xGy y y。曲線的方程變?yōu)?22aiix2ai2xy a22y2日儀。，丫。 252（*。，丫。）丫 53儀。，丫。） ?？梢钥闯?，二次項(xiàng)的系數(shù)沒(méi)有改變，因此，方程還是二次的 經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)軸第21頁(yè)共12頁(yè)設(shè)曲線的方程變?yōu)閍11x可知因?yàn)? a12x ya11ai2a22x cosy sinx siny cos2 a22 y2a11 cos1 .八 a11 -sin 22一 一 2a11 sin2 cos 1sin2 22 sin2a. 2a23ya12 sin 2ai2 cos2a12 sin 2sin 2cos2sin22

12、 sin 1sin2 22 coaa330_2a22 sin1 .八 a22 - sin 222a22 cos=1所以，當(dāng)a11,a12,a22不全為零時(shí)，a11,a12,a22也不全為零.因此，曲線的次數(shù)不改變8.證明：sin 21 cos22 cos. .2_ 2- 2 1(2)(3)得z2 4所以，曲線在球面S1x24上.（2）可以寫成y 1 cos2，則2(2)2(y 1)2 1所以，曲線又在圓柱面S2:x2 (y1)21上.z24 cos24(1一 2 sin4sin24 22 sin24 2 (1cos2 ) 42y所以，曲線又在拋物柱面 S3:z24 2 y 上.三.計(jì)算題1.設(shè)

13、平面方程為x+3y+2z+D=0在x, y, z軸上截距分別為D, , D321 Q 1體積 V=_ | D3| 二6。 得 D= 666所以方程為x+3y+2z 6=0。22.二次曲線x2 6xy 7 y 6x 2y 1 0的漸近萬(wàn)向?yàn)?X: Y=1: 1或(-7):131 x 3y 0;中心坐標(biāo)為(，)，所以漸近線為x y 1 0 ; x 7y 5 0 .兩條主直徑分別是22_ . 223x y 5 0。化簡(jiǎn)得 4x y 3 0。 222xyz13 .解：柱面的方向?yàn)?, 0, 1,準(zhǔn)線為 16 7 5 11645x 2z 3 0解得柱面方程為(x 12)22602 y131。5。4 .解

14、：設(shè)與z軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0, 0, a）,代入直線方程得5 .解：（1）漸近方向?yàn)? ： 1和-12 ： 5,中心為（1,1）,漸近線為x 1; 5x 12y 17 0.（2）主直徑為3x2y 5 0; 2x 3y 10.6.柱面的準(zhǔn)線為故準(zhǔn)線所在的平面為x=2z,母線的方向?yàn)? , 0,-2得柱面的方程為:x 2z4x222一 一一25y z 4xz 20x 10z 0。7.解：設(shè)平面方程為Ax+By+Cz+D=0則與oxy坐標(biāo)平面的交角有C一A2 * 41cos32M 1（0,0,1）,M 2 （3,0,0）的坐標(biāo)代入平面方程得:C+D=0 3A+D=0 。三式聯(lián)立求解得 A: B: C:

15、D=1: ( $26):1 : (-1 )372, 2無(wú)),平面方程為x V26 y z 1 0。8. （1）漸近方向?yàn)?X: Y=1: 1或5: 1,中心坐標(biāo)為（漸近線為 x y 5J2 0 5x y 17yp2 0。(2)主直徑為xy ,2 0x 5y 74r2 0。(3)化簡(jiǎn)結(jié)果為(3.13)x2(3 03)y2 10 0。9. l 6,m27.10. V38111.由平面束的方程得:入=。所以，所求平面萬(wàn)程為3x-3z+4=0.212. Z=± J3 y.13.解：AB 1, 1,0,AC0,1,1AB AC1, 1,1 - 三角形的面積=1 AB2l14.解：設(shè)所求平面方程

16、是By把P1,P2的坐標(biāo)代人上式得ACCz1，32D 04B3C2B 6C D 0由以上兩式得B : C : D 3:2:(-6)故所求平面方程是3x 2y 6 015.解：由于點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足12的方程，所以M在上因此，M與1i決定的平面上通過(guò)M1i不平行的直線均為所求設(shè)所求直線方程為則X,Y,Z應(yīng)該滿足X :Y :Z 1:2:3X 2Y Z 0X:Y:Z 1:2:316.解：由對(duì)稱性知，所求圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑是3.設(shè)所求平面的方程是zky2x則圓的方程為 yz2y4 ky該圓又可以看成是球面2_ 2 .z 3與z ky的交線，即kyk29ky32,亦即1(2),一，r 1比較(1),(

17、2)得系數(shù)得-41 k295 一 一一 、一解得k-2一,所以，所求平面方程是 z,55 y17.解：由公式ctg2a22a11 /曰得：2a121 tg22tgctg2由此得到tgtg 2sin這樣，轉(zhuǎn)軸公式為1 , x (x51 _y (2x5代入原方程得化簡(jiǎn)得tgcos2y )5x 2 . 5x5.5y八】J-即x , 5y 05作移軸.5x x 5y y代入的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x 5y18.解：AB 1, 3,2 , AC 2,0, 8.AB AC 24, 12, 6所以，三角形的面積是 S 14242 122 623X;212AB,1222. 14所以，AB邊上的高6 21143, 619. 解：設(shè)所求的平面