概率論 04分布函數(shù)、連續(xù)型、密度

1、一、隨機變量的分布函數(shù)一、隨機變量的分布函數(shù)二、連續(xù)型隨機變量及其二、連續(xù)型隨機變量及其概率密度概率密度導(dǎo)讀內(nèi)容導(dǎo)讀內(nèi)容 1 1、分布函數(shù)的定義是什么？引入分布函數(shù)有何、分布函數(shù)的定義是什么？引入分布函數(shù)有何作用？分布函數(shù)有何重要性質(zhì)？作用？分布函數(shù)有何重要性質(zhì)？2 2、什么是連續(xù)型隨機變量？和離散型隨機變量、什么是連續(xù)型隨機變量？和離散型隨機變量有何區(qū)別？概率密度函數(shù)對連續(xù)型隨機變量來有何區(qū)別？概率密度函數(shù)對連續(xù)型隨機變量來說有何重要意義？它的兩條性質(zhì)是什么？說有何重要意義？它的兩條性質(zhì)是什么？ 3、如何利用分布律、概率密度函數(shù)及分布函數(shù)如何利用分布律、概率密度函數(shù)及分布函數(shù)計算有關(guān)事件的概

2、率？計算有關(guān)事件的概率？ 設(shè)設(shè)X為一隨機變量為一隨機變量,x是任意實數(shù)，稱函數(shù)是任意實數(shù)，稱函數(shù) )()()(xxXPxF為X的概率分布函數(shù)概率分布函數(shù).簡稱分布函數(shù)分布函數(shù). .分布函數(shù)具有下列分布函數(shù)具有下列特征特征性質(zhì)：性質(zhì)： 0)(limxFx1)(limxFx0 x)() 0(00 xFxF（2）是是 的單調(diào)不減函數(shù)；的單調(diào)不減函數(shù)；（4）F()右連續(xù)，即對于任意右連續(xù)，即對于任意，有，有x（3）x)(xFx1)(0 xF（1） 例例設(shè)離散型隨機變量設(shè)離散型隨機變量X的概率分布為的概率分布為 P1123 . 05 .02.0 解解 X0)()()(PxXPxF當(dāng)當(dāng) 時時1x11x3

3、. 0) 1()()(XPxXPxF當(dāng)當(dāng) 時時21x)()(xXPxF8 . 05 . 03 . 0) 1() 1(XPXP)(xF求當(dāng)當(dāng) 時時當(dāng)當(dāng) 時時2x)()(xXPxF12 . 05 . 03 . 0) 2() 1() 1(XPXPXP 2, 121, 8 . 011, 3 . 01, 0 xxxxxF 函數(shù)函數(shù)F( )的圖形如的圖形如右圖所示，它是一條階右圖所示，它是一條階梯形曲線，它滿足分布梯形曲線，它滿足分布函數(shù)的函數(shù)的4條性質(zhì)條性質(zhì). = -1,1,2為函數(shù)的跳為函數(shù)的跳躍間斷點，其躍度為隨躍間斷點，其躍度為隨機變量機變量X在該點處的概在該點處的概率率.xx0.30.81 P

4、aXbP XbP Xa( )( )F bF a( )F x0 xx00P Xx( )(0)F cF c babXaP為常數(shù)為常數(shù)ccXP 由于分布函數(shù)是一個由于分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)普通的函數(shù)，所以，所以可以應(yīng)用可以應(yīng)用微積分微積分工具來研究隨機現(xiàn)象。工具來研究隨機現(xiàn)象。定義定義 對于對于連續(xù)型連續(xù)型隨機變量隨機變量X, 必存在一個必存在一個非負(fù)非負(fù)可積可積 函數(shù)函數(shù) f ( x ), 使得對任意實數(shù)使得對任意實數(shù) , 有：有：二、連續(xù)型二、連續(xù)型隨機變量隨機變量稱稱 f ( x )為為X的的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù).xdttfxPxF)()X()(x概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)f ( x )的

5、的特征特征性質(zhì)性質(zhì):0)() 1 (xf1)()(d)() 2 (PXPxxf)(x，在 f ( x ) 的連續(xù)點處)()(.2xFxfxxxfxFd)()(. 1F(x) 與 f ( x ) 的關(guān)系：，顯然 F ( x ) 必連續(xù)注意: 對于連續(xù)型對于連續(xù)型r.v.X , P(X = a) = 0)()(0aXxaPaXPaxaxxfd)(axaxxxfaXPd)(lim)(0000)( aXP)(aX )(aXxa0 x事實上 AAP推不出, 0)(對于連續(xù)型對于連續(xù)型r.v.XP(X = a) = 0 AAP也未必有, 1)(因此因此因此對于連續(xù)性隨機變量因此對于連續(xù)性隨機變量X，有：，

6、有：)()()()(bXaPbXaPbXaPbXaP)(IXPbaxxfd)(Idxxf)()()()()()(aFbFaXPbXPbXaP而事實上，我們有更一般的結(jié)論：事實上，我們有更一般的結(jié)論：-10-550.020.040.060.08xF ( x )分布函數(shù)與密度函數(shù)幾何意義)(xfy xxdxxf)(badxxfbXaPbXaPbXaPbXaP)()()()()(bxf ( x)-10-550.020.040.060.08a)(xfy 從幾何意義上看，從幾何意義上看，概率概率正好是區(qū)間正好是區(qū)間 上以概率密度曲線上以概率密度曲線 為頂?shù)们厼轫數(shù)们吿菪蚊娣e梯形面積.)(bXaP)(ba，)(xfy )()()(bFbXPbXP)(1)()(aFaXPaXPxf ( x)-10-550.020.040.060.08a501000PX r.v X2,100( ) 0 ,100kxxf xx 1( )f x dx2100kdxx100k 100k ,kX( )F x( )( )xF xf t dt2100100,10