平面向量四心問題

1、近年來，對于三角形的“四心”問題的考察時(shí)有發(fā)生，尤其是和平面向量相結(jié)合來考察很普遍，難度上偏向中等，只要對于這方面的知識準(zhǔn)備充分，就能應(yīng)付自如.下面就平面向量和三角形的“四心”問題的類型題做一闡述：一、    重心問題三角形“重心”是三角形三條中線的交點(diǎn)，所以“重心”就在中線上.例1  已知O是平面上一 定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動點(diǎn)P 滿足：，則P的軌跡一定通過ABC的              &#

2、160;      （     ）  外心       內(nèi)心    C  重心    D  垂心解析：如圖1，以AB，AC為鄰邊構(gòu)造平行四邊形ABCD，E為對角線的交點(diǎn)，根據(jù)向量平行四邊形法則 ，因?yàn)椋?，上式可化為，E在直線AP上，因?yàn)锳E為的中線，所以選 C.點(diǎn)評：本題在解題的過程中將平面向量的有關(guān)運(yùn)算與平行四邊形的對角線互相平分及三角形重心

3、性質(zhì)等相關(guān)知識巧妙結(jié)合.二、        垂心問題三角形“垂心”是三角形三條高的交點(diǎn)，所以“垂心”就在高線上.例2  P是ABC所在平面上一點(diǎn)，若，則P是ABC的（  ）.A外心         B內(nèi)心             C重心      &

4、#160;      D垂心解析:由.       即.            則，            所以P為的垂心. 故選D.點(diǎn)評：本題考查平面向量有關(guān)運(yùn)算，及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”、三角形垂心定義等相關(guān)知識.將三角形垂心的定義與平面向量有關(guān)運(yùn)算及

5、“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直” 等相關(guān)知識巧妙結(jié)合.三、    內(nèi)心問題三角形“內(nèi)心”是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，所以“內(nèi)心”就在內(nèi)角平分線線上.例3  已知P是ABC所在平面內(nèi)的一動點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足，則動點(diǎn)P一定過ABC的  .A、重心          B、垂心          C、外心      

6、;   D、內(nèi)心解析：如圖2所示，因?yàn)槭窍蛄康膯挝幌蛄吭O(shè)與方向上的單位向量分別為，  又，則原式可化為，由菱形的基本性質(zhì)知AP平分，那么在中，AP平分，則知選B.點(diǎn)評：這道題給人的印象當(dāng)然是“新穎、陌生”，首先是什么？想想一個(gè)非零向量除以它的模不就是單位向量？ 此題所用的都必須是簡單的基本知識，如向量的加減法、向量的基本定理、菱形的基本性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等，若十分熟悉，又能迅速地將它們遷移到一起，這道題就迎刃而解了.四、    外心問題三角形“外心”是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，所以“外心”就在垂直平分線線上.例4 已知O是AB

7、C內(nèi)的一點(diǎn)，若，則O是ABC的  .A重心          B.垂心          C.外心         D.內(nèi)心解析：，由向量模的定義知到的三頂點(diǎn)距離相等.故 是 的外心 ，選C.點(diǎn)評：本題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識巧妙結(jié)合三角形的“四心”與平面向量 向量本身是

8、一個(gè)幾何概念，具有代數(shù)形式和幾何形式兩種表示方法，易于數(shù)形結(jié)合，而且向量問題在進(jìn)行數(shù)形結(jié)合時(shí)具有新形式、新特點(diǎn)，因此可稱為高中數(shù)學(xué)的一個(gè)交匯點(diǎn)。三角形的“四心”（外心、內(nèi)心、重心、垂心）是與三角形有關(guān)的一些特殊點(diǎn)，各自有一些特殊的性質(zhì)。在高考中，往往將“向量作為載體”對三角形的“四心”進(jìn)行考查。這就需要我們在熟悉向量的代數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)上讀懂向量的幾何意義。與三角形的“四心”有關(guān)的一些常見的重要的向量關(guān)系式有： 設(shè)，則向量必平分BAC，該向量必通過ABC的內(nèi)心; 設(shè)，則向量必平分BAC的鄰補(bǔ)角 設(shè)，則向量必垂直于邊BC，該向量必通過ABC的垂心 ABC中一定過的中點(diǎn)，通過ABC的重心 點(diǎn)是ABC的

9、外心 點(diǎn)是ABC的重心 點(diǎn)是ABC的垂心 點(diǎn)是ABC的內(nèi)心 (其中a、b、c為ABC三邊) ABC的外心、重心、垂心共線，即 設(shè)為ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，G為ABC的重心，I為ABC的內(nèi)心，則有 并且重心G（，） 內(nèi)心I（，）A F E C TB例1：（2003年全國高考題）是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足，則動點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的（ ）（A）外心 （B）內(nèi)心 （C）重心 （D）垂心 事實(shí)上如圖設(shè)都是單位向量易知四邊形AETF是菱形 故選答案B例2：（2005年北京市東城區(qū)高三模擬題）為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，如果，則O必為ABC的（ ）（A）外心 （B）內(nèi)心

10、（C）重心 （D）垂心 事實(shí)上OBCA 故選答案D例3：已知O為三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)O是三角形ABC的（ ）（A）外心 （B）內(nèi)心 （C）重心 （D）垂心 事實(shí)上由條件可推出 故選答案D例4：設(shè)是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)， 動點(diǎn)P滿足，則動點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的（ ）（A）外心 （B）內(nèi)心 （C）重心 （D）垂心 事實(shí)上 故選答案D例5、已知向量滿足條件，求證：是正三角形分析對于本題中的條件，容易想到，點(diǎn)是的外心，而另一個(gè)條件表明，點(diǎn)是的重心故本題可描述為，若存在一個(gè)點(diǎn)既是三角形的重心也是外心，則該三角形一定是正三角形在1951年高考中有一道考題，原

11、題是：若一三角形的重心與外接圓圓心重合，則此三角形為何種三角形？與本題實(shí)質(zhì)是相同的 顯然，本題中的條件可改為高考原題例6、O是平面上一 定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足 則P的軌跡一定通過ABC的（ ）A外心B內(nèi)心C重心D垂心分析已知等式即，設(shè)，顯然都是單位向量，以二者為鄰邊構(gòu)造平行四邊形，則結(jié)果為菱形，故為的平分線，選例7、的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，則實(shí)數(shù)m = 分析：本題除了利用特殊三角形求解外，純粹利用向量知識推導(dǎo)則比較復(fù)雜，更加重要的一點(diǎn)是缺乏幾何直觀解法如下，由已知，有向量等式，將其中的向量分解，向已知等式形式靠攏，有，將已知代入，有，即，由是外心

12、，得，由于是任意三角形，則不恒為，故只有恒成立或者，過點(diǎn)作與，則是的中點(diǎn)，有；是垂心，則，故與共線，設(shè)，則，又，故可得，有，得根據(jù)已知式子中的部分，很容易想到三角形的重心坐標(biāo)公式，設(shè)三角形的重心為，是平面內(nèi)任一點(diǎn)，均有，由題意，題目顯然敘述的是一個(gè)一般的結(jié)論，先作圖使問題直觀化，如圖，由圖上觀察，很容易猜想到，至少有兩個(gè)產(chǎn)生猜想的誘因，其一是，均與三角形的邊垂直，則；其二，點(diǎn)是三角形的中線的三等分點(diǎn)此時(shí)，會先猜想，但現(xiàn)在缺少一個(gè)關(guān)鍵的條件，即，這樣由兩個(gè)三角形的兩邊長對應(yīng)成比例，同時(shí)，夾角對應(yīng)相等可得相似當(dāng)然，在考試時(shí)，只需大膽使用，也可利用平面幾何知識進(jìn)行證明本題結(jié)論是關(guān)于三角形的歐拉定理，

13、即設(shè)O、G、H分別是ABC的外心、重心和垂心，則O、G、H三點(diǎn)共線，且OGGH12，利用向量表示就是例8、點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)O是的（）A三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C三條中線的交點(diǎn)D三條高的交點(diǎn)分析移項(xiàng)后不難得出，點(diǎn)O是的垂心，選3 推廣應(yīng)用題例9在內(nèi)求一點(diǎn)，使最小分析如圖，構(gòu)造向量解決取為基向量，設(shè)，有于是，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，即，則點(diǎn)為的重心例10已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則為的心分析將，也類似展開代入，已知等式與例的條件一樣也可移項(xiàng)后，分解因式合并化簡，為垂心例11已知為的外心，求證：分析構(gòu)造坐標(biāo)系證明如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，在軸的正半軸，在軸的上方，直線的方程是，由于點(diǎn)與點(diǎn)必在直線的同側(cè)，且，因此有，得直線的方程是，由于點(diǎn)與點(diǎn)必在直線的同側(cè)，且，因此有，得于是，容易驗(yàn)證，又，又，則所證成立總結(jié)：知識綜述（一）三角形各心的概念介紹1、重心三角形的三條中線的交點(diǎn)；2、垂心三角形的三條垂線的交點(diǎn)；3