高三數(shù)學(xué)軌跡方程

1、2010屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)強(qiáng)化雙基系列課件 77圓錐曲線 軌跡方程 基本知識概要：基本知識概要：一、求軌跡的一般方法：一、求軌跡的一般方法：1直接法直接法：如果動點(diǎn)運(yùn)動的條件就是一些幾何量的：如果動點(diǎn)運(yùn)動的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡單明確，易于表述成含等量關(guān)系，這些條件簡單明確，易于表述成含x,y的的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法。等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法。用直接法求動點(diǎn)軌跡一般有建系用直接法求動點(diǎn)軌跡一般有建系,設(shè)點(diǎn)，列式，化簡，設(shè)點(diǎn)，列式，化簡，證明五個步驟，最后的證明可以省略，但要注意證明五個步驟，最后的證明可以省略，但要注意“挖挖”與與“補(bǔ)補(bǔ)”。

2、2定義法：定義法：運(yùn)用解析幾何中一些常用定義（例如運(yùn)用解析幾何中一些常用定義（例如圓錐曲線的定義），可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌圓錐曲線的定義），可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程。軌跡方程。3.代入法代入法：動點(diǎn)所滿足的條件不易表述或求出，但形：動點(diǎn)所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動點(diǎn)成軌跡的動點(diǎn)P(x,y)卻隨另一動點(diǎn)卻隨另一動點(diǎn)Q(x，y)的運(yùn)動而的運(yùn)動而有規(guī)律的運(yùn)動，且動點(diǎn)有規(guī)律的運(yùn)動，且動點(diǎn)Q的軌跡為給定或容易求得，的軌跡為給定或容易求得，則可先將則可先將x,y表示為表示為x,y的式子，再代

3、入的式子，再代入Q的軌跡方的軌跡方程，然而整理得程，然而整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點(diǎn)法。的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點(diǎn)法。4.參數(shù)法參數(shù)法：求軌跡方程有時(shí)很難直接找到動點(diǎn)的橫：求軌跡方程有時(shí)很難直接找到動點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，則可借助中間變量（參坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，則可借助中間變量（參數(shù)），使數(shù)），使x,y之間建立起聯(lián)系，然而再從所求式子中之間建立起聯(lián)系，然而再從所求式子中消去參數(shù)，得出動點(diǎn)的軌跡方程。消去參數(shù)，得出動點(diǎn)的軌跡方程。5.交軌法交軌法：求兩動曲線交點(diǎn)軌跡時(shí)，可由方程直接：求兩動曲線交點(diǎn)軌跡時(shí)，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動直線的交點(diǎn)時(shí)常用此法，也消去參數(shù)，例如

4、求兩動直線的交點(diǎn)時(shí)常用此法，也可以引入?yún)?shù)來建立這些動曲線的聯(lián)系，然而消去可以引入?yún)?shù)來建立這些動曲線的聯(lián)系，然而消去參數(shù)得到軌跡方程?？梢哉f是參數(shù)法的一種變種。參數(shù)得到軌跡方程?？梢哉f是參數(shù)法的一種變種。6.幾何法幾何法：利用平面幾何或解析幾何的知識分析圖：利用平面幾何或解析幾何的知識分析圖形性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)動點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律和動點(diǎn)滿足的條件，然形性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)動點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律和動點(diǎn)滿足的條件，然而得出動點(diǎn)的軌跡方程。而得出動點(diǎn)的軌跡方程。7.待定系數(shù)法待定系數(shù)法：求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方：求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求程常用待定系數(shù)法求 .8.點(diǎn)差法點(diǎn)差法：求圓錐曲線中點(diǎn)弦軌跡問題

5、時(shí)，常把兩個：求圓錐曲線中點(diǎn)弦軌跡問題時(shí)，常把兩個 端點(diǎn)設(shè)為端點(diǎn)設(shè)為 并代入圓錐曲線方程，并代入圓錐曲線方程，然而作差求出曲線的軌跡方程。然而作差求出曲線的軌跡方程。),(),(2211yxByxA二、注意事項(xiàng)：二、注意事項(xiàng)：1直接法是基本方法；定義法要充分聯(lián)想定義、靈直接法是基本方法；定義法要充分聯(lián)想定義、靈活動用定義；代入法要設(shè)法找到關(guān)系式活動用定義；代入法要設(shè)法找到關(guān)系式x=f(x,y), y=g(x,y);參數(shù)法要合理選取點(diǎn)參、角參、斜率參等參數(shù)法要合理選取點(diǎn)參、角參、斜率參等參數(shù)并學(xué)會消參；交軌法要選擇參數(shù)建立兩曲線方參數(shù)并學(xué)會消參；交軌法要選擇參數(shù)建立兩曲線方程再直接消參；幾何法要

6、挖掘幾何屬性、找到等量程再直接消參；幾何法要挖掘幾何屬性、找到等量關(guān)系。關(guān)系。2要注意求得軌跡方程的完備性和純粹性。在最后要注意求得軌跡方程的完備性和純粹性。在最后的結(jié)果出來后，要注意挖去或補(bǔ)上一些點(diǎn)等。的結(jié)果出來后，要注意挖去或補(bǔ)上一些點(diǎn)等。典型例題選講典型例題選講一、直接法題型：一、直接法題型：例例1 已知直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)已知直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Q（2，0），圓），圓C的方程的方程為為 ，動點(diǎn)，動點(diǎn)M到圓到圓C的切線長與的切線長與 的的比等于常數(shù)比等于常數(shù) ，求動點(diǎn)，求動點(diǎn)M的軌跡的軌跡。122 yxMQ)0(說明：求軌跡方程一般只要求出方程即可，求軌跡說明：求軌跡方程一般只要求出方程即可，求

7、軌跡卻不僅要求出方程而且要說明軌跡是什么。卻不僅要求出方程而且要說明軌跡是什么。練習(xí)：（待定系數(shù)法題型）練習(xí)：（待定系數(shù)法題型）在在PMN中，中，2tan,21tanMNPPMN，且，且PMN的面積為的面積為1，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求以，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求以M，N為焦點(diǎn)，為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓方程。的橢圓方程。二、定義法題型：二、定義法題型：例例2 如圖，某建筑工地要挖一個橫截面為半圓的柱如圖，某建筑工地要挖一個橫截面為半圓的柱形土坑，挖出的土只能沿形土坑，挖出的土只能沿AP、BP運(yùn)到運(yùn)到P處，其中處，其中AP=100m，BP=150m，APB=600，問怎能樣運(yùn)，問怎能樣運(yùn)才能最省工？

8、才能最省工？練習(xí)練習(xí)： 已知圓已知圓O的方程為的方程為 x2+y2=100,點(diǎn)點(diǎn)A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為（-6，0），），M為圓為圓O上任一點(diǎn)，上任一點(diǎn)，AM的垂直平分線的垂直平分線交交OM于點(diǎn)于點(diǎn)P，求點(diǎn)，求點(diǎn)P的方程。的方程。三、代入法題型：三、代入法題型：例例3 如圖，從雙曲線如圖，從雙曲線x2-y2=1上一點(diǎn)上一點(diǎn)Q引直線引直線x+y=2的垂線，垂足為的垂線，垂足為N。求線段。求線段QN的中點(diǎn)的中點(diǎn)P的軌的軌跡方程。跡方程。練習(xí)練習(xí)：已知曲線方程：已知曲線方程f(x,y)=0.分別求此曲線關(guān)于原分別求此曲線關(guān)于原點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)，關(guān)于x軸，關(guān)于軸，關(guān)于y軸，關(guān)于直線軸，關(guān)于直線y=x，關(guān)于直線，關(guān)

9、于直線y=-x，關(guān)于直線，關(guān)于直線y=3對稱的曲線方程。對稱的曲線方程。 四、參數(shù)法與點(diǎn)差法題型：四、參數(shù)法與點(diǎn)差法題型：例例4 經(jīng)過拋物線經(jīng)過拋物線y2=2p(x+2p)(p0)的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)A作互相作互相垂直的兩直線分別交拋物線于垂直的兩直線分別交拋物線于B、C兩點(diǎn)，求線段兩點(diǎn)，求線段BC的中點(diǎn)的中點(diǎn)M軌跡方程。軌跡方程。五、交軌法與幾何法題型五、交軌法與幾何法題型例例5 拋物線拋物線 的頂點(diǎn)作互相垂直的的頂點(diǎn)作互相垂直的兩弦兩弦OA、OB，求拋物線的頂點(diǎn)，求拋物線的頂點(diǎn)O在直線在直線AB上的射上的射影影M的軌跡。（考例的軌跡。（考例5）)0(42ppxy說明：說明：用交軌法求交點(diǎn)的軌跡方程

10、時(shí)，用交軌法求交點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，不一定非要求出交點(diǎn)坐標(biāo)，只要能消不一定非要求出交點(diǎn)坐標(biāo)，只要能消去參數(shù)，得到交點(diǎn)的兩個坐標(biāo)間的關(guān)去參數(shù)，得到交點(diǎn)的兩個坐標(biāo)間的關(guān)系即可。交軌法實(shí)際上是參數(shù)法中的系即可。交軌法實(shí)際上是參數(shù)法中的一種特殊情況。一種特殊情況。六、點(diǎn)差法：六、點(diǎn)差法：例例6（2004年福建，年福建，22）如圖，）如圖，P是拋物線是拋物線C：221xy 上一點(diǎn)，直線上一點(diǎn)，直線 過點(diǎn)過點(diǎn)P且與拋物線且與拋物線C交于另一點(diǎn)交于另一點(diǎn)Q。若直線若直線 與過點(diǎn)與過點(diǎn)P的切線垂直，求線段的切線垂直，求線段PQ中點(diǎn)中點(diǎn)M的的軌跡方程。（圖見教材軌跡方程。（圖見教材P129頁例頁例2）。）。ll說明

11、：說明：本題主要考查了直線、拋物線的基礎(chǔ)知識，以本題主要考查了直線、拋物線的基礎(chǔ)知識，以及求軌跡方程的常用方法，本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求及求軌跡方程的常用方法，本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問切線的斜率以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題。題。小結(jié)一、求軌跡的一般方法：一、求軌跡的一般方法：1直接法，直接法，2定義法，定義法，3代入法，代入法，4參數(shù)法，參數(shù)法，5交軌法，交軌法，6幾何法，幾何法，7.待定系數(shù)法，待定系數(shù)法， 8.點(diǎn)差法。點(diǎn)差法。 二、注意事項(xiàng)：二、注意事項(xiàng)：1直接法是基本方法；定義法要充分聯(lián)想定義、靈直接法是基本方法；定義法要充分聯(lián)想定義、

12、靈活動用定義；化入法要設(shè)法找到關(guān)系式活動用定義；化入法要設(shè)法找到關(guān)系式x=f(x,y), y=g(x,y);參數(shù)法要合理選取點(diǎn)參、角參、斜率參等參數(shù)法要合理選取點(diǎn)參、角參、斜率參等參數(shù)并學(xué)會消參；交軌法要選擇參數(shù)建立兩曲線方參數(shù)并學(xué)會消參；交軌法要選擇參數(shù)建立兩曲線方程；幾何法要挖掘幾何屬性、找到等量關(guān)系。程；幾何法要挖掘幾何屬性、找到等量關(guān)系。2要注意求得軌跡方程的完備性和純粹性。在最后要注意求得軌跡方程的完備性和純粹性。在最后的結(jié)果出來后，要注意挖去或補(bǔ)上一些點(diǎn)等。的結(jié)果出來后，要注意挖去或補(bǔ)上一些點(diǎn)等。課 前 熱 身y=0(x1)1.動點(diǎn)動點(diǎn)P到定點(diǎn)到定點(diǎn)(-1，0)的距離與到點(diǎn)的距離與

13、到點(diǎn)(1，0)距離之差為距離之差為2，則，則P點(diǎn)的軌跡方程是點(diǎn)的軌跡方程是_.2.已知已知OP與與OQ是關(guān)于是關(guān)于y軸對稱，且軸對稱，且2OPOQ=1，則點(diǎn)，則點(diǎn)P(x、y)的軌跡方程是的軌跡方程是_3.與圓與圓x2+y2-4x=0外切，且與外切，且與y軸相切的動圓圓心的軌跡方軸相切的動圓圓心的軌跡方程是程是_. -2x2+y2=1y2=8x(x0)或或y=0(x0)4.ABC的頂點(diǎn)為的頂點(diǎn)為A(0，-2)，C(0，2)，三邊長，三邊長a、b、c成等成等差數(shù)列，公差差數(shù)列，公差d0；則動點(diǎn)；則動點(diǎn)B的軌跡方程為的軌跡方程為_.5.動點(diǎn)動點(diǎn)M(x,y)滿足滿足 則點(diǎn)則點(diǎn)M軌跡是軌跡是( )(A)

14、圓圓 (B)雙曲線雙曲線 (C)橢圓橢圓 (D)拋物線拋物線51433122-yx-y-x返回返回001161222xyyx，D 6.當(dāng)當(dāng)0,/2時(shí)，拋物線時(shí)，拋物線y=x2-4xsin -cos 2的頂?shù)捻旤c(diǎn)的軌跡方程是點(diǎn)的軌跡方程是_7.已知線段已知線段AB的兩個端點(diǎn)的兩個端點(diǎn)A、B分別在分別在x軸、軸、y軸上滑軸上滑動，動，|AB|=3，點(diǎn)，點(diǎn)P是是AB上一點(diǎn)，且上一點(diǎn)，且|AP|=1，則點(diǎn)，則點(diǎn)P的的軌跡方程是軌跡方程是_8. 過原點(diǎn)的動橢圓的一個焦點(diǎn)為過原點(diǎn)的動橢圓的一個焦點(diǎn)為F(1，0)，長軸長為，長軸長為4，則動橢圓中心的軌跡方程為，則動橢圓中心的軌跡方程為_X2=-2y-214

15、22 yx492122y-x返回返回 9. 9.已知已知A+B+C=0A+B+C=0，則直線，則直線Ax+By+C=0(AAx+By+C=0(A、B B、CR)CR)被拋被拋物線物線y2=2xy2=2x所截線段中點(diǎn)所截線段中點(diǎn)M M的軌跡方程是的軌跡方程是 ( )( ) (A)y2+y-x+1=0(A)y2+y-x+1=0 (B)y2-y-x+1=0(B)y2-y-x+1=0 (C)y2+y+x+1=0(C)y2+y+x+1=0 (D)y2-y-x-1=0(D)y2-y-x-1=0B B【解題回顧】求動點(diǎn)軌跡時(shí)應(yīng)注意它的完備性與純粹性化【解題回顧】求動點(diǎn)軌跡時(shí)應(yīng)注意它的完備性與純粹性化簡過程破

16、壞了方程的同解性，要注意補(bǔ)上遺漏的點(diǎn)或者要簡過程破壞了方程的同解性，要注意補(bǔ)上遺漏的點(diǎn)或者要挖去多余的點(diǎn)挖去多余的點(diǎn).“軌跡軌跡”與與“軌跡方程軌跡方程”是兩個不同的概念，是兩個不同的概念，前者要指出曲線的形狀、位置、大小等特征，后者指方程前者要指出曲線的形狀、位置、大小等特征，后者指方程(包括范圍包括范圍)1.設(shè)動直線設(shè)動直線l垂直于垂直于x軸，且與橢圓軸，且與橢圓x2+2y2=4交于交于A、B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，P是是l 上滿足上滿足PAPB=1的點(diǎn)，求點(diǎn)的點(diǎn)，求點(diǎn)P的軌跡方程的軌跡方程【解題分析】本例中動點(diǎn)【解題分析】本例中動點(diǎn)M的幾何特征并不是直接給定的，的幾何特征并不是直接給定的，而是通過條

17、件的運(yùn)用從隱蔽的狀態(tài)中被挖掘出來的而是通過條件的運(yùn)用從隱蔽的狀態(tài)中被挖掘出來的3.一圓被兩直線一圓被兩直線x+2y=0，x-2y=0截得的弦長分別為截得的弦長分別為8和和4，求，求動圓圓心的軌跡方程動圓圓心的軌跡方程4. 點(diǎn)點(diǎn)Q為雙曲線為雙曲線x2-4y2=16上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)A(0，4)，求內(nèi)分求內(nèi)分AQ所成比為所成比為12的點(diǎn)的點(diǎn)P的軌跡方程的軌跡方程5. M是拋物線是拋物線y2=x上一動點(diǎn)，以上一動點(diǎn)，以O(shè)M為一邊為一邊(O為原點(diǎn)為原點(diǎn))，作正方形作正方形MNPO，求動點(diǎn)，求動點(diǎn)P的軌跡方程的軌跡方程.【解題回顧】再次體會相關(guān)【解題回顧】再次體會相關(guān)點(diǎn)求軌跡方程的實(shí)質(zhì)，就

18、是點(diǎn)求軌跡方程的實(shí)質(zhì)，就是用所求動點(diǎn)用所求動點(diǎn)P的坐標(biāo)表達(dá)式的坐標(biāo)表達(dá)式(即含有即含有x、y的表達(dá)式的表達(dá)式)表示表示已知動點(diǎn)已知動點(diǎn)M的坐標(biāo)的坐標(biāo)(x0 , y0)，即得到即得到x0=f(x,y)，y0=g(x,y)，再將再將x0 , y0的表達(dá)式代入點(diǎn)的表達(dá)式代入點(diǎn)M的方程的方程F(x0 ,y0)=0中，即中，即得所求得所求.6.過橢圓過橢圓x2/9+y2/4=1內(nèi)一定點(diǎn)內(nèi)一定點(diǎn)(1，0)作弦，求諸弦中點(diǎn)作弦，求諸弦中點(diǎn)的軌跡方程的軌跡方程【解題回顧】解一求出【解題回顧】解一求出 后不必求后不必求y0，直接，直接利用點(diǎn)利用點(diǎn)P(x0 , y0)在直線在直線y=k(x-1)上消去上消去k.

19、解二中把弦的解二中把弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別代入曲線方程后相減，則弦的斜率可兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別代入曲線方程后相減，則弦的斜率可用中點(diǎn)坐標(biāo)來表示，這種方法在解有關(guān)弦中點(diǎn)問題時(shí)用中點(diǎn)坐標(biāo)來表示，這種方法在解有關(guān)弦中點(diǎn)問題時(shí)較為簡便，但是要注意這樣的弦的存在性較為簡便，但是要注意這樣的弦的存在性499220kkx【解題回顧】本題由題設(shè)【解題回顧】本題由題設(shè)OMAB、OAOB及作差法求直線及作差法求直線AB的斜率，的斜率，來尋找各參數(shù)間關(guān)系，利用代換及整體性將參數(shù)消去來尋找各參數(shù)間關(guān)系，利用代換及整體性將參數(shù)消去從而獲得從而獲得M點(diǎn)的軌跡方程點(diǎn)的軌跡方程.7. 過拋物線過拋物線y2=4x的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)O作相互垂直的弦作相互垂直的弦OA，OB，求拋物線頂點(diǎn)求拋物線頂點(diǎn)O在在AB上的射影上的射影M的軌跡方程的軌跡方程.返回返回【解題回顧】【解題回顧】(1)本小題是由條件求出定值，