雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程m

1、雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 1. 1. 橢圓的定義橢圓的定義和和 等于常數(shù)等于常數(shù)2a ( 2a|F1F2|0) 的點(diǎn)的軌跡的點(diǎn)的軌跡.平面內(nèi)與兩定點(diǎn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的的距離的1F2F 0, c 0, cXYO yxM,2. 引入問(wèn)題：引入問(wèn)題：差差等于常數(shù)等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么呢？的點(diǎn)的軌跡是什么呢？平面內(nèi)與兩定點(diǎn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的的距離的復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)|MF1|+|MF2|=2a( 2a|F1F2|0) 雙曲線在生活中雙曲線在生活中 . 兩個(gè)定點(diǎn)兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2雙曲線的雙曲線的焦點(diǎn)焦點(diǎn); |F1F2|=2c 焦距焦距.（1）2a0 ；雙曲線定義雙曲線定義

2、思考：思考：（1）若）若2a= |F1F2|,則軌跡是？則軌跡是？（2）若）若2a |F1F2|,則軌跡是？則軌跡是？說(shuō)明說(shuō)明（3）若）若2a=0,則軌跡是？則軌跡是？ | |MF1| - |MF2| | = 2a( (1) )兩條射線兩條射線( (2) )不表示任何軌跡不表示任何軌跡如何建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系？如何建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系？原則：盡可能使方程的形式簡(jiǎn)單、運(yùn)算簡(jiǎn)單；原則：盡可能使方程的形式簡(jiǎn)單、運(yùn)算簡(jiǎn)單； ( (一般利用對(duì)稱軸或已有的互相垂直的線段一般利用對(duì)稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標(biāo)軸所在的直線作為坐標(biāo)軸.).) 探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案探討建立平面直角坐標(biāo)系的

3、方案OxyOxyOxy方案一方案一Oxy(對(duì)稱、對(duì)稱、“簡(jiǎn)潔簡(jiǎn)潔”)1F2FMOxy方案二方案二F2F1MxOy求曲線方程的步驟：求曲線方程的步驟：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1. 1. 建系建系. .以以F1,F2所在的直線為所在的直線為x軸，線段軸，線段F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系2.2.設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)設(shè)設(shè)M（x , y）,則則F1(-c,0),F2(c,0)3.3.列式列式|MF1| - |MF2|=2a4.4.化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)aycxycx2)()(2222即aycxycx2)()(2222222222)(2)(ycxaycx222)(ycxaacx)()(222

4、22222acayaxac222bac)0, 0(12222babyax此即為此即為焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x軸上的軸上的雙曲線雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn)方程方程12222byax12222bxayF2F1MxOyOMF2F1xy)00(ba，若建系時(shí)若建系時(shí),焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸上呢軸上呢?看看 前的系數(shù)，哪一個(gè)為正，前的系數(shù)，哪一個(gè)為正，則在哪一個(gè)軸上則在哪一個(gè)軸上22, yx222bac | |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 橢橢 圓圓雙曲線雙曲線F（0，c）F（

5、0，c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab（1） 過(guò)雙曲線過(guò)雙曲線 的焦點(diǎn)且垂直的焦點(diǎn)且垂直x軸的弦的長(zhǎng)度軸的弦的長(zhǎng)度 為為 .14322yx338（2）y2-2x2=1的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為 、焦距是、焦距是 .),(260 6例例1.（3）方程）方程(2+ )x2+(1+ )y2=1表示雙曲線的充要表示雙曲線的充要條件條件 是是 . -2 680|AB|680m, ,所以爆炸點(diǎn)所以爆炸點(diǎn)的軌跡是以的軌跡是以A A、B B為焦點(diǎn)的雙曲線在靠近為焦點(diǎn)的雙曲線在靠近B B處的一支上處的一支上. . 例例3 3.(.(

6、課本第課本第5454頁(yè)例頁(yè)例) )已知已知A,BA,B兩地相距兩地相距800800m, ,在在A A地聽(tīng)到炮彈爆地聽(tīng)到炮彈爆炸聲比在炸聲比在B B地晚地晚2 2s, ,且聲速為且聲速為340340m/ /s, ,求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程. .如圖所示，建立直角坐標(biāo)系如圖所示，建立直角坐標(biāo)系xO Oy, ,設(shè)爆炸點(diǎn)設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (x, ,y) )，則則340 2680PAPB即即 2a=680，a=340800AB 8006800 ,0PAPBx1(0)11560044400 xyx22222800,400,ccxyoPBA因此炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程為因此炮彈爆

7、炸點(diǎn)的軌跡方程為44400bca222222答答: :再增設(shè)一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)再增設(shè)一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C，利用，利用B、C（或（或A、C）兩處）兩處測(cè)得的爆炸聲的時(shí)間差，可以求出另一個(gè)雙曲線的方測(cè)得的爆炸聲的時(shí)間差，可以求出另一個(gè)雙曲線的方程，解這兩個(gè)方程組成的方程組，就能確定爆炸點(diǎn)的程，解這兩個(gè)方程組成的方程組，就能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置準(zhǔn)確位置. .這是雙曲線的一個(gè)重要應(yīng)用這是雙曲線的一個(gè)重要應(yīng)用. .練習(xí)：練習(xí)：如果方程如果方程 表示表示雙曲線，求雙曲線，求m的取值范圍的取值范圍. .22121xymm解解: :22121xymm思考：思考：21mm 得得或或(2)(1)0m m由由【說(shuō)明說(shuō)明】雙曲線的定

8、義是解決與雙曲線有關(guān)的問(wèn)題的主雙曲線的定義是解決與雙曲線有關(guān)的問(wèn)題的主要依據(jù)，在應(yīng)用時(shí)，一是注意條件要依據(jù)，在應(yīng)用時(shí)，一是注意條件|PF1|PF2|2a(02a|F1F2|)的使用，二是注意與三角形知識(shí)相結(jié)合，的使用，二是注意與三角形知識(shí)相結(jié)合，經(jīng)常利用正、余弦定理，同時(shí)要注意整體運(yùn)算思想的應(yīng)經(jīng)常利用正、余弦定理，同時(shí)要注意整體運(yùn)算思想的應(yīng)用用練習(xí)：練習(xí)：1對(duì)雙曲線定義的理解對(duì)雙曲線定義的理解雙曲線定義中雙曲線定義中|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)，不要漏了絕對(duì)值，不要漏了絕對(duì)值符號(hào)，當(dāng)符號(hào)，當(dāng)2a|F1F2|時(shí)表示兩條射線時(shí)表示兩條射線解題時(shí)，也要注意解題時(shí)，也要注意“絕對(duì)值絕對(duì)值

9、”這一個(gè)條件，若去掉定義中的這一個(gè)條件，若去掉定義中的絕對(duì)值則軌跡僅表示雙曲線的一支絕對(duì)值則軌跡僅表示雙曲線的一支2雙曲線方程的求法雙曲線方程的求法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程包括求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程包括“定位定位”和和“定量定量”“定位定位”是是指除了中心在原點(diǎn)之外，判斷焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，以便使指除了中心在原點(diǎn)之外，判斷焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，以便使方程的右邊為方程的右邊為1時(shí)，確定方程的左邊哪一項(xiàng)為正，哪一項(xiàng)為負(fù)，時(shí)，確定方程的左邊哪一項(xiàng)為正，哪一項(xiàng)為負(fù)，“定量定量”是指確定是指確定a2，b2的值，即根據(jù)條件列出關(guān)于的值，即根據(jù)條件列出關(guān)于a2和和b2的的方程組，解得方程組，解得a2和和b2的具體數(shù)值后

10、，再按位置特征寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)的具體數(shù)值后，再按位置特征寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程方程精彩推薦典例展示精彩推薦典例展示易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示 雙曲線定義運(yùn)用中的誤區(qū)雙曲線定義運(yùn)用中的誤區(qū)例例4【常見(jiàn)錯(cuò)誤常見(jiàn)錯(cuò)誤】(1)利用雙曲線定義利用雙曲線定義|PF1|PF2|8求求|PF2|時(shí)，時(shí)，易忽略絕對(duì)值號(hào)，而錯(cuò)選易忽略絕對(duì)值號(hào)，而錯(cuò)選A.(2)根據(jù)雙曲線的定義可得到答案根據(jù)雙曲線的定義可得到答案C，但由于雙曲線上的點(diǎn)到，但由于雙曲線上的點(diǎn)到雙曲線焦點(diǎn)的最小距離是雙曲線焦點(diǎn)的最小距離是ca642，而，而|PF2|12，不，不合題意，所以應(yīng)該舍去，造成錯(cuò)誤的原因是忽略雙曲線的相合題意，所以應(yīng)該舍去，造成錯(cuò)誤的原因是忽略雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，沒(méi)有檢驗(yàn)關(guān)性質(zhì)，沒(méi)有檢驗(yàn)|PF1|PF2|10|F1F2|造成的造成的【解析解析】雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8，由雙曲線的定義得，由雙曲線的定義得|PF1|PF2|8，所以所以|9|PF2|8，所以所以|PF2|1或或17.因?yàn)橐驗(yàn)閨F1F2|12，當(dāng)，當(dāng)|PF2|1時(shí)，時(shí)，|PF1|PF2|10|F1F2|，不符合公理不符合公理“兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短”，應(yīng)舍去，應(yīng)舍去所以所以|PF2|17.【答案答案】B【失誤防范失誤防范】運(yùn)用