精算學原理課件第2章

1、第二章第二章 年金理論與應(yīng)用年金理論與應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 年金的終值和現(xiàn)值年金的終值和現(xiàn)值一、年金的概念年金：年金：相等相等時間間隔所作的時間間隔所作的一系列等額支付一系列等額支付。如住房按揭貸款，購物分期付款等等如住房按揭貸款，購物分期付款等等特點：特點：時間間隔相同時間間隔相同；一系列等額支付；一系列等額支付年金的分類：確定年金（固定的時間，支付的次數(shù)確年金的分類：確定年金（固定的時間，支付的次數(shù)確定）；不確定年金（或有年金，生命年金，指支付的次數(shù)定）；不確定年金（或有年金，生命年金，指支付的次數(shù)與生存概率有關(guān)）與生存概率有關(guān)）年金是利息理論的應(yīng)用，一般計算其終值和現(xiàn)值等。年金是利息理論的應(yīng)

2、用，一般計算其終值和現(xiàn)值等。本章學習確定年金！本章學習確定年金！二、普通年金的終值二、普通年金的終值普通年金又稱后付年金，是指各期末收付的年金。12|(1)1(1)(1)1nnnnisiii |ns記 號 ：普通年金的終值是指最后一次支付時的本利和，它是每次支付的復利終值之和。三、年金終值系數(shù)表 見附錄三例 ：假設(shè)某項目預計建成后在5年內(nèi)每年年末還款100萬元，年利率為10%，則該應(yīng)付本息的總額是多少？答案：該項目應(yīng)付本息的總額為610.51萬元。普通年金的現(xiàn)值，是指為在每期期末取得相等金額的款項現(xiàn)在需要投入的金額。0 1 2 3 n1 1 1 1vv2vn四、普通年金的現(xiàn)值四、普通年金的現(xiàn)值

3、| na記號：2|(1)11nnnnvvvavvvvi 五、年金現(xiàn)值系數(shù)表 見附錄4例 某人出國3年，請你代付房租，每年租金1000元，設(shè)銀行存款利率10%，他應(yīng)當現(xiàn)在給你在銀行存入多少錢？答案： 2486.9元例 假設(shè)以10%的利率借款20000元，投資于某個壽命為10年的項目，每年至少要收回多少現(xiàn)金才是有利的？答案：3255元知識運用例 某企業(yè)現(xiàn)在借款50000元投入經(jīng)營。按照復利計算，報酬率為多少時才能保證在以后8年中每年末償還8000元？ 答案：5.84%六、年金終值與年金現(xiàn)值的關(guān)系六、年金終值與年金現(xiàn)值的關(guān)系的的關(guān)關(guān)系系式式與與|nnas1(1)1nniiisi 證：112)nnia

4、snnnnaviiii111)1()1(例 ：假定貸款利率為10%，比較為期10年的1000元貸款在以下所列三種方式償還貸款的情況下將支付的利息總額。（1）全部貸款及利息在第10年末一次還清；（2）利息每年末支付，本金第10年末支付；（3）貸款在10年內(nèi)的各年末平均償還。第二節(jié)第二節(jié) 先付年金與后付年金的先付年金與后付年金的關(guān)系關(guān)系|ns 記 號 ：一、先付年金與后付年金終值（一）先付年金的終值1|(1)1(1)(1)(1)nnnnisiiid |1nnssi 例 已知利率i=6%，分別計算在未來10年里，每年年末1元的確定年金在第10年期末的終值以及每年年初1元的確定年金在第10年期末的終值

5、 。答案:13.181元；13.972元。 （二）先付年金終值與后付年金終值的關(guān)系（二）先付年金終值與后付年金終值的關(guān)系二、先付年金與后付年金現(xiàn)值（一）先付年金現(xiàn)值0 1 2 n-2 n-1 n1 1 1 1 1 vv2Vn-1| na 記號：21|11+nnnvavvvd （二）先付年金現(xiàn)值與后付年金現(xiàn)值的關(guān)系|1nnaaidsaiassannnnnnn 11)1(或：的關(guān)系與知識運用例 已知利率i=6%，試利用年金現(xiàn)值系數(shù)表和（2.6）分別求10|10|aa和答案：7.3601元和7.8017元。例 仍以例2-2中數(shù)字為例，如果某人出國3年，請你代付房租和資金是每年年初支付1000元，銀行

6、存款利率10%，他應(yīng)當在給你在銀行存入多少錢？答案：2735.48元。第三節(jié)第三節(jié) 不同付款次數(shù)的年金不同付款次數(shù)的年金一、不同付款次數(shù)的年金問題指付款頻率與計息頻率不一致。指付款頻率與計息頻率不一致。付款頻率與計息頻率不一致的情況可以通過付款頻率與計息頻率不一致的情況可以通過（1）利率轉(zhuǎn)換法利率轉(zhuǎn)換法，使得付款頻率與計息頻率一致。，使得付款頻率與計息頻率一致。（2）公式法公式法，以計息頻率為主，換個角度思考！，以計息頻率為主，換個角度思考?。ㄒ唬├兽D(zhuǎn)換法每年付款1次的實際利率=（1+期利率）m-1某人從現(xiàn)在起，每年初向一基金存入1000元，連續(xù)存5年，該基金每月結(jié)轉(zhuǎn)1次利息，月實際利率為0

7、.5%,試計算該項投資在第5年末的價值。 答案: 6004.85元。 (二）公式法1.期末付年金(1)每年支付m次的期末付年金現(xiàn)值 假定計息期是付款周期的整數(shù)倍 m- 每個計息期內(nèi)的付款次數(shù) n-計息總次數(shù)，于是付款總次數(shù)為mn i-每個利息換算期內(nèi)實利率 假設(shè)年利率為i，每次末的支付額為1m，每年支付額為1元。 m m - m 0 1 2 n-1 n 1/m 1/m 1/m 1/m 1/m 注注意意每每個個符符號號的的含含義義！個個單單位位金金額額總總共共付付款款注注意意：在在一一個個計計息息息息內(nèi)內(nèi)1|mna年金的現(xiàn)值記為nmnmmmmmmnavvvvm1211 11111 nmmvvmv

8、()1111 nmvminmvi1 m（2）每年支付次的期末付年金終值()mmnnnsai1mnnaa與的關(guān)系1nmviii1nmmnvaimniai()mmnnissi同理：同理： 假設(shè)年利率為i，每次初的支付額為1m，每年支付額為1元。 m m - m 0 1 2 n-1 n 1/m 1/m 1/m 1/m 1/m 2.期初付年金（2）每年支付m次的期初付年金終值1()mnmnnsia11111nnmmmmnvavvmd （1）每年支付m次的期初付年金現(xiàn)值的關(guān)系與nmnaa )(1nmmnvad1nmvdddmndad同理：同理：mmnndssd例 張東向銀行貸款200，000元，年利率為

9、4%，計劃10年還清，求每月末的還款額。 解：設(shè)年還款額為)12(P(12)1210200000Pa(12)1210200000iPai元3 .24214200000110896. 803928. 004. 0)12()12(PP元8 .2017121)12(P每月的還款額為：每月的還款額為：知識運用例 如果某投資者希望在今后的5年內(nèi)每個季度末領(lǐng)取500元等額收入，在年實際利率i=5%的條件下，該投資者在期初存入銀行多少錢？解一：解一：454500Pa454500iai元66.8819329477. 40490889. 005. 05004012522. 0)1 (1040iii元66.881

10、9500020iaP解二：解二：知識運用例 小王每月向銀行存入100元，計劃存足30年后在當年末一次性取出，如果年實際利率為2%，求小王支取的數(shù)額。解：123012100Ps1230120049207.48dsd元知識運用二、支付頻率低于每單位時間1次的年金（多年支付1次）例如，10次支付，每次支付額為4，在時點4，8，12，,40支付，這份年金在時點0的價值可以表示為0.2540a。 即40440440410.251141411vivaiSii這 個 表 達 式 還 可 以 寫 做三、延期m年的n年期年金 1）期末付延期年金 現(xiàn)值0 m m+1 m+n-1 m+n 1 1 1Vm+1vm+n

11、-1Vm+n 或：mnmnmaaanmnmmmnmvvvva121nmav)(2nmvvvv終值nnnnmsiiiiis1)1 ()1 ()1 ()1 (112nmnmnmias)1 (或：或：2)期初付延期年金 現(xiàn)值11nmmmnmvvva mnmnmaaa 或：)1 (12nmvvvvnmav 。 終值 nnnnmsdiiiis 1)1 ()1 ()1 ()1 (2nmnmnmias)1 ( 或：或：例：3，000元的債務(wù)從第5年初開始，每年初償還相同的數(shù)額，共分15次還清，年利率為8%，求年還債額。解：4151943000()(9.60363.3121)(10.08)441.51PaP

12、aaPP元知識運用思考：延期支付且付款頻率與計息頻率周期不一致時年金的現(xiàn)值與終值應(yīng)該怎么計算？第四節(jié)第四節(jié) 債務(wù)償還方法債務(wù)償還方法一、償債基金付款償債基金是指為了使年金終值達到既定金額每年應(yīng)支付的年金數(shù)額。|(1)1(1)1(1)1nnnnniRnsRiiRsiii如 果 每 年 年 末 支 付元 ， 在 第年 年 末 的 終 值 為， 由 此 可 得稱 為 償 債 基 金 系 數(shù) 。 償 債 基 金 系 數(shù) 可 以 制 成 表 格 備 查 ， 亦 可 以 根 據(jù)普 通 年 金 求 倒 數(shù) 確 定 。知識運用例 某人擬在5年后還清10 000元債務(wù)，從現(xiàn)在起每年等額存入銀行一筆款項。假設(shè)銀行

13、存款利率10%，每年需要存入多少元？ 例 假設(shè)某企業(yè)有一筆4年后到期的借款，到期值為1000萬元。若存款利息為10%，則為償還該項借款應(yīng)建立的償債基金為多少？ 答案：215.4元答案: 1638元。 二、分期償還貸款二、分期償還貸款111112121111201)1),111111rnnLnrXrrnrnLXiXiiXiiir一 個 投 資 人 在 時 刻 借 出 ， 并 得 到 次 償 還 ，其 中 第 次 金 額 為， 到 期 時 間 為（。假 定 借 款 在 第 r年 的 實 際 利 率 為 i （顯 然 ， 借 款 額 是 償 還 額 在 給 定 利 率 水 平 下 的 現(xiàn) 值 。這

14、樣 投資人可能會把每筆償還額的一部分分看作是未償還額的利息（最近一期的），而將余額看作本金償還以減少貸款的余額。0tnFtia令為 在 時 刻 到 期 的 償 還 額 收 到 后 的 未 償 還 貸 款 金 額 ，考 慮 利 率 為 的 情 況 下 ， 一 筆 在 時 刻 發(fā) 生 的 數(shù) 額 為的貸 款 ， 分 n次 償 還 ， 每 次 償 還 的 金 額 為 1， 償 還 時 間 分 為1,2,3,.,n。 貸 款 人 可 以 建 立 一 張 表 表 示 每 次 收 到 的 償還 金 額 中 利 息 和 本 金 的 構(gòu) 成 。11tn tttttntFtRFFv n-tn-tn-t+1n-t

15、在第 次償還發(fā)生后尚有筆未償還金額，即a。這樣a因此，時刻 的貸款償還額為aa表2-1 貸款償還攤銷表nanv1nv1na11knv1knvknav1vnanna第五節(jié)第五節(jié) 其它年金其它年金連續(xù)年金連續(xù)年金 變動年金變動年金 一、連續(xù)年金 定義:付款頻率無窮大的年金叫連續(xù)年金. 公式:()()00()()001limlim1(1)limlimnnnttmmnnnmmnnnttmmnnnmmeav dtedtaaesidtedtss 000|nm ntnmm nmttnnmtnnm nmmnnmm amm aedtm aedtedtm aeedtm aaam av a如果 為非負數(shù)，用表的示一

16、筆年金延期 個時間單位、在n各時間單位內(nèi)每單位時間的支付金額為1的連續(xù)支付年金的現(xiàn)值。這樣可以得到式：即因此或永久年金 1）期末付年金現(xiàn)值 2）期初付年金現(xiàn)值iivaannnn11limlimddvaannnn11limlim 期初投資期初投資 元，則元，則每年可獲得每年可獲得1元元期初投資期初投資 元，元，則則每年可獲得每年可獲得1元元d1i1二、變動年金 在未來n年中的時刻ti的支付額為Xi的年金在第1年初（時刻0）的現(xiàn)值為11intiinXi其 在 第年 末 的 終 值 為。1,intiiX v1.標準遞增型年金1）期末付 各年末支付如下： 1，2，3，-，n現(xiàn)值：nnnvvvvIa32

17、32)(兩邊同乘(1+i):12321)(1 (nnnvvvIainnnnvvvvIai)1 ()(12nnnva invaIannn )(兩式相減：終值終值nnnIaiIs)()1 ()(insn 2）期初付 各年初支付如下： 1，2，3，-，n 現(xiàn)值：1324321)(nnnvvvva I 兩邊同乘V:nnnvvvaIv 22)(nnnnvvvva Iv)1 ()(1 (12 nnnva dnvaaInnn )(兩式相減：終值終值nnnaIis I)()1 ()( dnsn 2.標準遞減型年金 n年期年金 1）期末付 各年末支付如下： n，n-1，n-2，n-3，-，1 現(xiàn)值：nnvvnv

18、nnva32) 2() 1()D(兩邊同乘(1+i):12)2() 1()(1 (nnvvnvnnDai)()(2nnvvvnDainanianDann)(兩式相減：終值終值nnnDaiDs)()1 ()(isinnn)1 ( 2) 期初付danaDnn)( nnnaDisD)()1 ()( dsinnn)1 (終值：終值：現(xiàn)值：現(xiàn)值：3.一般等差年金 一般形式 現(xiàn)值 終值012nPP+QP+(n-1)QinvaQPaVnnn) 0(insQPsnVnn)(例：某年金在第一年末支付200元，以后每一年支付額比前一年增加200元，若i=5%,求該年金支付10年的現(xiàn)值和終值。 解：1）現(xiàn)值為：10)(200 Ia元18.5807200invann 元）（15062.33i15807.18102）終值為：）終值為：知識運用例 某人希望購買一項年金，該年金在第一年末的付款為1，000元，以后每年增加100元，