高中數(shù)學解題秘籍之反證法

1、高中數(shù)學解題秘籍之反證法與前面所講的方法不同，反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設而否定結論，從而導出矛盾推理而得。法國數(shù)學家阿達瑪(Hadamard)對反證法的實質(zhì)作過概括：“若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾”。具體地講，反證法就是從否定命題的結論入手，并把對命題結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明。反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷

2、不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結論”必為假。再根據(jù)“排中律”，結論與“否定的結論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的。反證法的證題模式可以簡要的概括我為“否定推理否定”。即從否定結論開始，經(jīng)過正確無誤的推理導

3、致邏輯矛盾，達到新的否定，可以認為反證法的基本思想就是“否定之否定”。應用反證法證明的主要三步是：否定結論 推導出矛盾 結論成立。實施的具體步驟是：第一步，反設：作出與求證結論相反的假設；第二步，歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；第三步，結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立。在應用反證法證題時，一定要用到“反設”進行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結論成立，這種證法又叫“窮舉法”。在數(shù)學解題中經(jīng)常

4、使用反證法，牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學家最精當?shù)奈淦髦弧?。一般來講，反證法常用來證明的題型有：命題的結論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“無限”形式出現(xiàn)的命題；或者否定結論更明顯。具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結論入手進行反面思考，問題可能解決得十分干脆。、再現(xiàn)性題組：1. 已知函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則方程f(x)0 _。A.至多一個實根 B.至少一個實根 C.一個實根 D.無實根2. 已知a<0,1<b<0，那么a、ab、ab之間的大小關系是_。A. a>ab> ab B. ab>ab>

5、a C. ab>a> ab D. ab> ab>a3. 已知l，a ，b ，若a、b為異面直線，則_。A. a、b都與l相交 B. a、b中至少一條與l相交C. a、b中至多有一條與l相交 D. a、b都與l相交4. 四面體頂點和各棱的中點共10個，在其中取4個不共面的點，不同的取法有_。(97年全國理)A. 150種 B. 147種 C. 144種 D. 141種【簡解】1小題：從結論入手，假設四個選擇項逐一成立，導出其中三個與特例矛盾，選A；2小題：采用“特殊值法”，取a1、b0.5，選D；3小題：從逐一假設選擇項成立著手分析，選B；4小題：分析清楚結論的幾種情況，

6、列式是：CC×436,選D。 S C A O B、示范性題組：例1. 如圖，設SA、SB是圓錐SO的兩條母線，O是底面圓心，C是SB上一點。求證：AC與平面SOB不垂直?！痉治觥拷Y論是“不垂直”，呈“否定性”，考慮使用反證法，即假設“垂直”后再導出矛盾后，再肯定“不垂直”。【證明】 假設AC平面SOB， 直線SO在平面SOB內(nèi)， ACSO， SO底面圓O， SOAB， SO平面SAB， 平面SAB底面圓O，這顯然出現(xiàn)矛盾，所以假設不成立。即AC與平面SOB不垂直?！咀ⅰ糠穸ㄐ缘膯栴}常用反證法。例如證明異面直線，可以假設共面，再把假設作為已知條件推導出矛盾。例2. 若下列方程：x4ax

7、4a30， x(a1)xa0, x2ax2a0至少有一個方程有實根。試求實數(shù)a的取值范圍?！痉治觥?三個方程至少有一個方程有實根的反面情況僅有一種：三個方程均沒有實根。先求出反面情況時a的范圍，再所得范圍的補集就是正面情況的答案。【解】 設三個方程均無實根，則有：,解得,即<a<1。所以當a1或a時，三個方程至少有一個方程有實根?！咀ⅰ俊爸辽佟?、“至多”問題經(jīng)常從反面考慮，有可能使情況變得簡單。本題還用到了“判別式法”、“補集法”（全集R），也可以從正面直接求解，即分別求出三個方程有實根時（0）a的取值范圍，再將三個范圍并起來，即求集合的并集。兩種解法，要求對不等式解集的交、并、補

8、概念和運算理解透徹。例3. 給定實數(shù)a，a0且a1，設函數(shù)y (其中xR且x)，證明：.經(jīng)過這個函數(shù)圖像上任意兩個不同點的直線不平行于x軸； .這個函數(shù)的圖像關于直線yx成軸對稱圖像。(88年全國理)?！痉治觥俊安黄叫小钡姆穸ㄊ恰捌叫小?，假設“平行”后得出矛盾從而推翻假設。【證明】 設M(x,y)、M(x,y)是函數(shù)圖像上任意兩個不同的點，則xx,假設直線MM平行于x軸，則必有yy，即，整理得a(xx)xxxx a1， 這與已知“a1”矛盾， 因此假設不對，即直線MM不平行于x軸。 由y得axyyx1,即(ay1)xy1,所以x，即原函數(shù)y的反函數(shù)為y，圖像一致。由互為反函數(shù)的兩個圖像關于直線yx對稱可以得到，函數(shù)y的圖像關于直線yx成軸對稱圖像?！咀ⅰ繉τ凇安黄叫小钡姆穸ㄐ越Y論使用反證法，在假設“平行”的情況下，容易得到一些性質(zhì)，經(jīng)過正確無誤的推理，導出與已知a1互相矛盾。第問中，對稱問題使用反函數(shù)對稱性進行研究，方法比較巧妙，要求對反函數(shù)求法和性質(zhì)運用熟練。、鞏固性題組：1. 已知f(x)，求證：當xx時，f(x)f(x)。2. 已知非零實數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，ac，求證：、不可能成等差數(shù)列。3. 已知f(x)xpxq，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個不小