高中數(shù)學必修知識點總結

1、高中數(shù)學必修1知識點總結.txt這世界上除了我誰都沒資格陪在你身邊。聽著，我允許你喜歡我。除了白頭偕老，我們沒別的路可選了什么時候想嫁人了就告訴我,我娶你。高中高一數(shù)學必修1各章知識點總結第一章 集合與函數(shù)概念一、集合有關概念1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。2、集合的中元素的三個特性：1.元素的確定性； 2.元素的互異性； 3.元素的無序性說明：(1)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。(2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。(3)集合中的元

2、素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。3、集合的表示： 如我校的籃球隊員，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋1. 用拉丁字母表示集合：A=我校的籃球隊員,B=1,2,3,4,52集合的表示方法：列舉法與描述法。注意?。撼Ｓ脭?shù)集及其記法：非負整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N正整數(shù)集 N*或 N+ 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q 實數(shù)集R關于“屬于”的概念集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A 記作 aA ，相反，a不屬于集合A 記作 a?A列舉法：把集合中

3、的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。語言描述法：例：不是直角三角形的三角形數(shù)學式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是x?R| x-3>2或x| x-3>24、集合的分類：1有限集 含有有限個元素的集合2無限集 含有無限個元素的集合3空集 不含任何元素的集合 例：x|x2=5二、集合間的基本關系1.“包含”關系子集注意： 有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A2“相

4、等”關系(55，且55，則5=5)實例：設 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同”結論：對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B 任何一個集合是它本身的子集。AíA真子集:如果AíB,且A1 B那就說集合A是集合B的真子集，記作A B(或B A)如果 AíB, BíC ,那么 AíC 如果AíB 同時 BíA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集

5、。三、集合的運算1交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集記作AB(讀作”A交B”)，即AB=x|xA，且xB2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：AB(讀作”A并B”)，即AB=x|xA，或xB3、交集與并集的性質：AA = A, A= , AB = BA，AA = A,A= A ,AB = BA.4、全集與補集（1）補集：設S是一個集合，A是S的一個子集（即 ），由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）記作： CSA 即 CSA =x | x?S且 x?AS CsA A

6、（2）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。（3）性質：CU(C UA)=A (C UA)A= (CUA)A=U 二、函數(shù)的有關概念1函數(shù)的概念：設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)記作： y=f(x)，xA其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| xA 叫做函數(shù)的值域注意：2如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定

7、義域即是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合；3 函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式定義域補充能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零； (3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數(shù)為零底不可以等于零 (6)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.(又注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。)構成函數(shù)的三要素：定義域、對應關系和

8、值域再注意：（1）構成函數(shù)三個要素是定義域、對應關系和值域由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）（2）兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關。相同函數(shù)的判斷方法：表達式相同；定義域一致 (兩點必須同時具備)(見課本21頁相關例2)值域補充(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應先考慮其定義域. (2).應熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復雜函數(shù)值域的基礎。3. 函數(shù)圖象知識歸納(1)定義：在平面直角坐

9、標系中，以函數(shù) y=f(x) , (xA)中的x為橫坐標，函數(shù)值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數(shù) y=f(x),(x A)的圖象C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數(shù)關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數(shù)對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上 . 即記為C= P(x,y) | y= f(x) , xA 圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。(2) 畫法A、描點法：根據函數(shù)解析式和定義域，求出x,y的一些對應值并列表，以(x,y)為坐標在坐標系內描出相應的點P(x, y)，最后用平滑的

10、曲線將這些點連接起來.B、圖象變換法（請參考必修4三角函數(shù)）常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換(3)作用：1、直觀的看出函數(shù)的性質；2、利用數(shù)形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。4快去了解區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示5什么叫做映射一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A B為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：A B”給定一個集合A到B的映射，如果aA,bB.且元素a和元素

11、b對應，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，集合A、B及對應法則f是確定的；對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關系一般是不同的；對于映射f：AB來說，則應滿足：（）集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（）集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；（）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點：1 函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數(shù)圖象的依據；2 解析法：必須注明函數(shù)的定義域；

12、3 圖象法：描點法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；4 列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征注意?。航馕龇ǎ罕阌谒愠龊瘮?shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值補充一：分段函數(shù) （參見課本P24-25）在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應的表達式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數(shù)值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù)；（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集補

13、充二：復合函數(shù)如果y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),則 y=fg(x)=F(x)，(xA) 稱為f、g的復合函數(shù)。例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)7函數(shù)單調性（1）增函數(shù)設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。區(qū)間D稱為y=f(x)的單調增區(qū)間（睇清楚課本單調區(qū)間的概念）如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1<x2 時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(

14、x)的單調減區(qū)間.注意：1 函數(shù)的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質，是函數(shù)的局部性質；2 必須是對于區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2；當x1<x2時，總有f(x1)<f(x2) 。（2） 圖象的特點如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性，在單調區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調區(qū)間與單調性的判定方法(A) 定義法：1 任取x1，x2D，且x1<x2；2 作差f(x1)f(x2)；3 變形（通常是因式分解和配方）；4 定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負）；

15、5 下結論（指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性）(B)圖象法(從圖象上看升降)_(C)復合函數(shù)的單調性復合函數(shù)fg(x)的單調性與構成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規(guī)律如下：函數(shù) 單調性 u=g(x) 增 增 減 減 y=f(u) 增 減 增 減 y=fg(x) 增 減 減 增 注意：1、函數(shù)的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集. 2、還記得我們在選修里學習簡單易行的導數(shù)法判定單調性嗎？8函數(shù)的奇偶性（1）偶函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)（2）奇函數(shù)一般地

16、，對于函數(shù)f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)注意：1 函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質；函數(shù)可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。2 由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個x，則x也一定是定義域內的一個自變量（即定義域關于原點對稱）（3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱總結：利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：1 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；2 確定f(x)與f(x)的關系；3 作出相應結論：若f(

17、x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù)注意?。汉瘮?shù)定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件首先看函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱，(1)再根據定義判定; (2)有時判定f(-x)=±f(x)比較困難，可考慮根據是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定; (3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定 .9、函數(shù)的解析表達式（1）.函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關系時，一是要求出它們之間

18、的對應法則，二是要求出函數(shù)的定義域.（2）.求函數(shù)的解析式的主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、消參法等，如果已知函數(shù)解析式的構造時，可用待定系數(shù)法；已知復合函數(shù)fg(x)的表達式時，可用換元法，這時要注意元的取值范圍；當已知表達式較簡單時，也可用湊配法；若已知抽象函數(shù)表達式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)10函數(shù)最大（小）值（定義見課本p36頁）1 利用二次函數(shù)的性質（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲? 利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲? 利用函數(shù)單調性的判斷函數(shù)的最大（小）值：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上單調遞增，在區(qū)間b，c上單調遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)

19、y=f(x)在區(qū)間a，b上單調遞減，在區(qū)間b，c上單調遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)； 第二章 基本初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運算1根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根（n th root），其中 >1，且 *當 是奇數(shù)時，正數(shù)的 次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的 次方根是一個負數(shù)此時， 的 次方根用符號 表示式子 叫做根式（radical），這里 叫做根指數(shù)（radical exponent）， 叫做被開方數(shù)（radicand）當 是偶數(shù)時，正數(shù)的 次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)此時，正數(shù) 的正的 次方根用符號 表示，負的 次方根用符號 表示正的

20、 次方根與負的 次方根可以合并成± （ >0）由此可得：負數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作 。注意：當 是奇數(shù)時， ，當 是偶數(shù)時， 2分數(shù)指數(shù)冪正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：， 0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義指出：規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪3實數(shù)指數(shù)冪的運算性質（1） · ；（2） ；（3） （二）指數(shù)函數(shù)及其性質1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù) 叫做指數(shù)函數(shù)（exponential ），其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值

21、范圍，底數(shù)不能是負數(shù)、零和12、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質a>1 0<a<1 圖象特征 函數(shù)性質 向x、y軸正負方向無限延伸 函數(shù)的定義域為R 圖象關于原點和y軸不對稱 非奇非偶函數(shù) 函數(shù)圖象都在x軸上方 函數(shù)的值域為R+ 函數(shù)圖象都過定點（0，1） 自左向右看，圖象逐漸上升 自左向右看，圖象逐漸下降 增函數(shù) 減函數(shù) 在第一象限內的圖象縱坐標都大于1 在第一象限內的圖象縱坐標都小于1 在第二象限內的圖象縱坐標都小于1 在第二象限內的圖象縱坐標都大于1 圖象上升趨勢是越來越陡 圖象上升趨勢是越來越緩 函數(shù)值開始增長較慢，到了某一值后增長速度極快； 函數(shù)值開始減小極快，到了某一值后減小

22、速度較慢； 注意：利用函數(shù)的單調性，結合圖象還可以看出：（1）在a，b上， 值域是 或 ；（2）若 ，則 ； 取遍所有正數(shù)當且僅當 ；（3）對于指數(shù)函數(shù) ，總有 ；（4）當 時，若 ，則 ；二、對數(shù)函數(shù)（一）對數(shù)1對數(shù)的概念：一般地，如果 ，那么數(shù) 叫做以 為底 的對數(shù)，記作： （ 底數(shù)， 真數(shù)， 對數(shù)式）說明：1 注意底數(shù)的限制 ，且 ； 2 ；3 注意對數(shù)的書寫格式兩個重要對數(shù)：1 常用對數(shù)：以10為底的對數(shù) ；2 自然對數(shù)：以無理數(shù) 為底的對數(shù)的對數(shù) 對數(shù)式與指數(shù)式的互化 對數(shù)式 指數(shù)式對數(shù)底數(shù) 冪底數(shù)對數(shù) 指數(shù)真數(shù) 冪（二）對數(shù)的運算性質如果 ，且 ， ， ，那么：1 · ；2 ；3 注意：換底公式 （ ，且 ； ，且 ； ）利用換底公式推導下面的結論（1） ；（2） （二）對數(shù)函數(shù)1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù) ，且 叫做對數(shù)函數(shù)，其中 是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+）注意：1 對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如： ， 都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù)2 對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制： ，且 2、對數(shù)函數(shù)的性質：a>1 0&l