非線性模態(tài)分析

1、摘 要：接觸分析和模態(tài)分析是結(jié)構(gòu)分析的重要內(nèi)容之一。利用ANSYS 的接觸分析功能和APDL 語言的用戶接口，將ANSYS 的模型數(shù)據(jù)輸出到用戶分析模塊中完成非線性的接觸模態(tài)分析，然后將計算結(jié)果讀回，利用ANSYS 的后處理模塊將計算結(jié)果顯示出來，實現(xiàn)了ANSYS 平臺上的接觸模態(tài)分析，使ANSYS 能夠更好地完成結(jié)構(gòu)系統(tǒng)級的性能分析。 關(guān)鍵詞：ANSYS，接觸，模態(tài) 1 前言 機械系統(tǒng)的特點是由多個零件通過各種方式聯(lián)接起來的一個系統(tǒng)。機械系統(tǒng)的性能分析除了零件的性能分析以外，零件之間的聯(lián)接特性的分析也是一個重要方面。零件之間的聯(lián)接性能分析，本質(zhì)是一個接觸問題的分析，是機械結(jié)構(gòu)非線性分析的一種

2、典型類型。 線性系統(tǒng)的模態(tài)分析技術(shù)是了解線性結(jié)構(gòu)振動特性的一個重要手段，已經(jīng)廣泛應用在結(jié)構(gòu)動力修改、優(yōu)化設計、故障診斷、狀態(tài)檢測等諸多領(lǐng)域。近年來，以非線性動力學理論為基礎(chǔ)的非線性模態(tài)分析逐漸成為非線性振動研究中的熱點之一。其原因是機械工程中存在著大量的非線性問題，傳統(tǒng)的線性模態(tài)分析技術(shù)無法得到準確的結(jié)果。解決機械系統(tǒng)中的非線性問題，首先要面對的就是如何處理結(jié)構(gòu)間的非線性的接觸問題。 非線性模態(tài)（NNMs）理論是線性模態(tài)理論的自然發(fā)展，最初是由美國加州大學伯克利分校的Rosenberg1 等人引入的，主要研究離散、無阻尼非線性系統(tǒng)的自由振動。1991年，Shaw 和 Pierre2 引用動力系

3、統(tǒng)理論中不變流形（invariant manifold）的概念來定義非線性模態(tài)，將非線性模態(tài)定義為系統(tǒng)相空間中二維不變流形上的運動。這一開創(chuàng)性的工作，將該領(lǐng)域的研究帶入了一個新的發(fā)展階段。Shaw 和 Pierre 定義的非線性模態(tài)既可用于保守系統(tǒng)，也可用于非保守系統(tǒng)。在文獻 3 中他們指出，當系統(tǒng)存在內(nèi)共振關(guān)系時，應將不變流形的維數(shù)提高到四維。1994 年，Nayfeh 針對內(nèi)共振非線性系統(tǒng)提出了復不變流形方法4。陳予恕、吳志強5,6認為非線性模態(tài)為系統(tǒng)相空間中偶數(shù)維不變流形上的運動。他們將求解非線性動力系統(tǒng)的規(guī)范型（Normal Form）方法直接用于非線性模態(tài)的構(gòu)造，得到的模態(tài)上的動力學

4、方程（即模態(tài)振子）具有Normal Form 形式。 由于系統(tǒng)非線性因素的控制難度較大，利用實驗手段研究非線性模態(tài)的文獻并不多見。目前采用的方法中，大多是尋求非線性模態(tài)的近似解析解，因此離散系統(tǒng)的自由度一般不超過 3 個，否則，人工計算的難度過大。而對于連續(xù)系統(tǒng)而言，離散化后得到的模型往往具有很高的自由度。所以隨著計算機技術(shù)的不斷發(fā)展，借助于計算機的數(shù)值分析方法使分析高維系統(tǒng)成為可能，利用數(shù)值分析方法研究非線性模態(tài)越來越受到關(guān)注。文獻 7 介紹了一個基于不變流形方法計算非線性模態(tài)的計算機程序，其研究對象是利用有限元技術(shù)對一個平面結(jié)構(gòu)離散化后得到的有限自由度系統(tǒng)，這意味著可以采用同樣的方法處理更

5、復雜的三維系統(tǒng)。文獻 8 基于多尺度方法借助計算機數(shù)值分析，研究了一個懸臂梁的有限元模型的非線性模態(tài)。9 2 非線性模態(tài)的分析流程 ANSYS 軟件具有較好的接觸建模、分析能力，線性模態(tài)的分析能力以及完善的基于APDL 語言的用戶接口。我們在多年接觸分析和非線性模態(tài)分析研究的基礎(chǔ)上，開發(fā)了一個基于ANSYS 平臺的非線性模態(tài)分析求解器NLMA，可以用于完成含有接觸問題的機械系統(tǒng)的模態(tài)分析。該求解器用ANSYS 的前處理器建立分析模型，計算結(jié)果導入ANSYS 的后處理中顯示出來。利用NLMA 進行非線性模態(tài)分析的流程。在ANSYS 的前處理器中建立的分析模型要首先提交給ANSYS 的靜態(tài)分析求解

6、器進行預分析，試算，考核模型的完整性，確保分析模型的正確。預分析通過后，將建立的模型數(shù)據(jù)輸出到中間文件中，NLMA 從中間文件中讀入模型數(shù)據(jù)，進行非線性模態(tài)的計算。計算結(jié)果輸出到另外一個中間文件中，通過這個中間文件，計算結(jié)果可以導入到ANSYS 的后處理器中或者其它的通用數(shù)據(jù)處理軟件中，如Tecplot，Excel 等等。實際使用中，ANSYS 通常用來做機械結(jié)構(gòu)的振型顯示，數(shù)據(jù)曲線則用Tecplot，Excel 顯示。分析過程中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換工作主要由APDL語言編寫的主控程序?qū)崿F(xiàn)，用C+編寫的NLMA 作為一個外部模塊由主控程序調(diào)用，計算過程在后臺完成，整個分析工作可以不脫離ANSYS 平臺。

7、 3 應用實例 3.1 懸臂梁的碰撞模態(tài)分析 為了考核NLMA 的非線性模態(tài)分析效果，建立了三個模型進行模態(tài)分析，然后對結(jié)果進行比較：用子空間迭代法求解懸臂梁的模態(tài)，用NLMA 求解懸臂梁的模態(tài)，用NLMA求解帶有接觸的懸臂梁的模態(tài)。 圖2 是在ANSYS 中建立的平面懸臂梁模型，左端固結(jié)，結(jié)點11 和12 之間加點點接觸單元。結(jié)點12 固結(jié)，結(jié)點11 向上運動時不受限制，向下運動會跟結(jié)點12 碰撞。通過設定接觸參數(shù)，初始狀態(tài)下兩個結(jié)點剛好接觸。求結(jié)構(gòu)線性模態(tài)時，刪除12 結(jié)點和相應的接觸單元。 圖2 懸臂梁的模型圖3 是ANSYS 的子空間迭代法計算的振型和固有頻率。圖4 是NLMA 計算的

8、振型和頻率，模型中不包括接觸單元。圖5 是模型中包含接觸單元時NLMA 計算的振型和頻率。三個圖中，橫軸反映圖2 中各結(jié)點的橫坐標，縱軸表示歸一化后的結(jié)點模態(tài)幅值。 比較圖3 和圖4，振型和固有頻率基本相同，最大相對誤差僅為2.67%，出現(xiàn)在第一階頻率上，說明NLMA 能夠較好地進行線性系統(tǒng)的模態(tài)分析。圖5 是模型中包含接觸單元時利用NLMA 進行的非線性模態(tài)分析。振型與圖3 和圖4 的基本相同，但是第一階頻率上升了94.7%，其它頻率則與線性模型基本相同。圖6 和圖7 是針對非線性模型做的進一步分析。該分析仍然利用圖2 所示的模型，在梁中部施加一個沖擊載荷，利用ANSYS 計算梁的沖擊響應譜

9、。圖6 是包含接觸單元時懸臂梁右端的沖擊響應譜，圖7 是不包含接觸單元時的沖擊響應譜。比較這兩個圖可以發(fā)現(xiàn)，圖6 中的第一個共振峰的頻率確實提高了，這與NLMA 的計算結(jié)果一致，而且非線性模型的響應譜中，高頻部分的共振峰值有升高的趨勢，線性模型中幅值很低的一些高頻成份也被激發(fā)起來。 3.2 并聯(lián)機構(gòu)的接觸模態(tài)分析 圖8，9，10 是利用NLMA 在ANSYS 平臺上完成的一臺并聯(lián)機床的非線性模態(tài)分析結(jié)果。模型中考慮了主要零件之間的接觸特性，尤其是三個支鏈上各轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動特性。 4 結(jié)論 接觸問題的模態(tài)分析是機械系統(tǒng)動態(tài)性能分析的一個重要內(nèi)容，NLMA 與ANSYS 相結(jié)合，能夠分析包含接觸的

10、機械系統(tǒng)的模態(tài)。事實上，NLMA 的非線性模態(tài)分析算法本身并不只限于分析接觸問題，與ANSYS 的多物理場分析相結(jié)合，可以分析更廣泛的非線性模態(tài)問題，例如包含塑性的非線性模態(tài)分析，強非線性，大阻尼以及流固耦合中的結(jié)構(gòu)非線性模態(tài)分析等等。由于目前對非線性模態(tài)問題的認識并不充分，NLMA 與ANSYS 相結(jié)合的分析技術(shù)也可以作為一個探索非線性模態(tài)性質(zhì)的有力工具。 參考文獻 1 Rosenberg R. M，Atkinson C. P On the natural modes and their stability in nonlinear two degrees of freedom system

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