基于初等數(shù)學基礎上的高等數(shù)學教學探討

1、基于初等數(shù)學基礎上的高等數(shù)學教學探討    摘要隨著基礎教育的改革深化,高等教育也需要不斷適應發(fā)展需要。就高等數(shù)學和初等數(shù)學的區(qū)別與聯(lián)系進行闡述,提出提高高等數(shù)學教與學的對策,為進一步加強初等數(shù)學與高等數(shù)學的銜接研究提供參考。 關鍵詞高等數(shù)學;初等數(shù)學;銜接 中圖分類號G4 文獻標識碼A文章編號1673-9671-(2010)042-0177-01 國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要(2010-2020)指出,深化教育體制改革,關鍵是更新教育觀念,核心是改革人才培養(yǎng)體制,目的是提高人才培養(yǎng)水平。樹立系統(tǒng)培養(yǎng)觀念,推進大中小學有機銜接,教學、科研、實踐緊密結

2、合,學校、家庭、社會密切配合,加強學校之間、校企之間、學校與科研機構之間合作以及中外合作等多種聯(lián)合培養(yǎng)方式,形成體系開放、機制靈活、渠道互通、選擇多樣的人才培養(yǎng)體制。隨著基礎教育的進一步深化,高等教育如何改革以適應教育發(fā)展需要,成為人們關注的焦點。 1初等數(shù)學與高等數(shù)學的區(qū)別聯(lián)系 初等數(shù)學研究的是常量,高等數(shù)學研究的是變量。初等數(shù)學是常量的、靜態(tài)的數(shù)學,它只能解決和解釋常量的幾何問題和物理問題,比如規(guī)則圖形的長度、面積和體積,勻速直線運動,常力沿直線的作功,質點間的吸引力等;高等數(shù)學是變量的、動態(tài)的數(shù)學,它解釋和解決那些變化的幾何問題和物理過程,特別是描述一些物體的漸近行為和瞬時物理量等,比如

3、不規(guī)則圖形的面積,曲線的長度,變力作功等。 從系統(tǒng)論的角度來看,數(shù)學與教學之間必須相互配合協(xié)調、有機銜接,才能產生良好的教學效果,提高教學質量,否則,將會出現(xiàn)數(shù)學興趣低、效果差等不良現(xiàn)象,直接或間接影響高技能人才的培養(yǎng)和教育資源的極大浪費。長期以來,在初等數(shù)學和高等數(shù)學的實際教學過程中,存在一些問題:一是由于教學課程改革,把有些在大學學習的內容放到中學講授,增加了中學數(shù)學教材內容,而實際上大學和中學教材缺乏統(tǒng)一的標準,各自為政,教學內容沒有明確合理的分配、重復多、前后脫節(jié),銜接不到位。二是由于應試教育的負面影響,中學的教學方式以灌輸式為主,進度慢、理論深度不高,教師教授某個內容后,一般都要求學

4、生反復練習,不斷鞏固,直到掌握;而高等數(shù)學課程起點高,難度大,講授速度快,抽象性強,教師只是提綱挈領,課后交流輔導少。學習方式轉變?yōu)橛呻S從變主動,教學由灌輸變自主。 初等數(shù)學和高等數(shù)學都是對客觀現(xiàn)實進行不斷抽象進而從量與關系方面進行研究的一種模式,是來源于社會實踐的需要。數(shù)學在自身向前發(fā)展的同時,又日益促進著社會的發(fā)展,無論是初等數(shù)學還是高等數(shù)學,其研究的對象并不像物理學、化學一樣具有客觀實物形象,而是拋棄了具體事務的質的特性而僅僅從量與關系方面進行描述的一種模式。隨著希爾伯特形式化公理系統(tǒng)的提出,數(shù)學研究的這種模式越來越遠離現(xiàn)實和一般人的常規(guī)思維。 2加強初等數(shù)學與高等數(shù)學聯(lián)系的意義 近些年

5、來,高校不少學生對學習高等數(shù)學存在不少看法,如:“現(xiàn)在學習的高等數(shù)學好像與初等數(shù)學聯(lián)不大系”,“學習高等數(shù)學對今后工作作用不大”,有的甚至提出:“高等數(shù)學在初等數(shù)學中基本用不上”等等。其實,這完全是認識上的偏見。高等數(shù)學是初等數(shù)學的延續(xù)和發(fā)展,而初等數(shù)學是高等數(shù)學的基礎。作為學習和研究數(shù)學的途徑,無疑應該先學習和掌握初等數(shù)學,然后才能學習和掌握高等數(shù)學。反之,學習高等數(shù)學能加深加寬對初等數(shù)學的理解,可以提高我們的數(shù)學修養(yǎng),開闊思路,提高解決問題的能力。 1)對初等數(shù)學的學習和教學具有指導作用。高等數(shù)學是在初等數(shù)學的基礎上發(fā)展起來的,前者是后者的延續(xù)和補充,如高等幾何、高等代數(shù)就分別是在初等幾何

6、、初等代數(shù)基礎上逐步發(fā)展起來的。高等數(shù)學的發(fā)展使我們對初等數(shù)學的認識更加深刻全面,如:用初等數(shù)學的方法研究數(shù)學的增減性,凹凸性,求極值,最值等種種特性有很大的局限性,而在高等數(shù)學中利用導數(shù)知識就可比較完美研究函數(shù)的特性。學習高等數(shù)學可以幫助學生形成正確的數(shù)學觀念。近些年來,許多教育家提出:數(shù)學教育的目的是培養(yǎng)學生的數(shù)學觀念,把數(shù)學科學理解為一個巨大的相互聯(lián)系的整體。在初等數(shù)學中,代數(shù)、幾何、三角等各自分離門戶,各有個的觀點和方法。然而在需要運用數(shù)學知識解題時卻往往要綜合運用各科知識,而學生長期習慣于分門別類地學習,往往錯誤的認為它們是各自孤立的學科,因而難于綜合運用各門知識,可以說,這樣的學生

7、形成了不正確的數(shù)學觀念。2)對初等數(shù)學理論上的支持。在初等數(shù)學的發(fā)展中當時不能或不易解決的問題,運用高等數(shù)學的理論和方法可得到圓滿的解決。如高次求根問題,初等幾何問題等都得到了圓滿的解決。還比如在現(xiàn)行中學教材中的數(shù)學歸納法,只講怎樣用數(shù)學歸納法而不談數(shù)學歸納法的證明,中學教材這樣處理是考慮中學生的知識水平,年齡特征等。但在高等數(shù)學中不但給出了數(shù)學歸納法的原理,還可以由該原理演變出各種形式的歸納證明方法:第一數(shù)學歸納法、第二數(shù)學歸納法、反向歸納法、無窮遞降歸納法等,用這些方法可以解決用其他數(shù)學方法難于處理的許多問題。總之,高等數(shù)學與初等數(shù)學有著千絲萬縷的聯(lián)系,初等數(shù)學中的一些思想方法至今仍在高等

8、數(shù)學中起著非常重要的作用,而初等數(shù)學的研究對高等數(shù)學的發(fā)展也起了很大的促進作用。 3如何加強高等數(shù)學的教與學 高等數(shù)學是理工科院校一門重要的基礎學科。作為一門科學,高等數(shù)學有其固有的特點,就是高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性。抽象性是數(shù)學最基本、最顯著的特點有了高度抽象和統(tǒng)一,我們才能深人地揭示其本質規(guī)律,才能使之得到更廣泛的應用。因此,學好高等數(shù)學對我們來說相當重要。然而,很多學生對怎樣才能學好這門課程感到困惑。要想學好高等數(shù)學,至少要做到以下幾點: 1)理解概念。數(shù)學,特別是現(xiàn)代形態(tài)的數(shù)學,是一種很空洞抽象的東西。從形式上看,數(shù)學是由無物質內容的形式符號按一定的“游戲規(guī)則”所組成的

9、推演系統(tǒng),她遠離人的直接經(jīng)驗,具有一定的超現(xiàn)實性。完全純粹的數(shù)學,對于常人來說,無疑是一部“天書”。為了理解數(shù)學中的每一個概念,讀懂“天書”中的每一個詞,我們必須堅持語言文字、數(shù)學公式、圖形列表、數(shù)值計算和物理實例四方面并重,力求通過不同側面來理解數(shù)學概念、思想和方法。2)演算解題。高等數(shù)學,單靠教師把課講好是遠遠不夠的。只有調動學生學習的積極性和主動性,促使他們自覺地接受經(jīng)常、充分而又嚴格的數(shù)學訓練,才能使他們真正走近數(shù)學,取得切身的體會,從而加深對數(shù)學的理解。在認真復習的基礎上做好習題,是和課堂教學聯(lián)系最直接與緊密,同時也最利于經(jīng)常實施和長期堅持的一項重要的數(shù)學訓練。多講不如多練,對數(shù)學這

10、樣一門注重思考的學科,情況更是如此。只有通過嚴格的訓練,使學生手腦并用,才能啟迪心智,推動思維,使認識不斷深入。學習高等數(shù)學,不僅要求學生掌握高等數(shù)學中的一些基本概念、基本性質和基本方法;更重要的是掌握高等數(shù)學的知識體系、知識框架,期望學生通過學習高等數(shù)學,提高抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運算能力和運用所學只是分析問題和解決問題的能力。3)邏輯結構。在現(xiàn)代數(shù)學中,符號演算在課程中常占著較大的比例,比如微積分中的極限演算,導數(shù)和各種積分演算等。而事實上,符號演算僅僅是數(shù)學中的形式部分,也是比較簡單的部分;數(shù)學中的邏輯結構才是它的理性思辨的精髓所在,它雖然不同于物質的物理結構,但是它

11、們所產生神妙的結構性功能,卻是可以類比的。比如一種機械在裝配前,只是一堆死的零部件,若加以精密的裝配,就是賦予一種結構,于是這堆零件就回變成鐘表、計算機、電視機和汽車等等,產生出各種奇妙的功能,因此結構是各種機械的靈魂。數(shù)學,特別是高等數(shù)學是具有很精密而系統(tǒng)的建構性,它的任何章節(jié),所有概念和定理無不是由嚴密的邏輯因果網(wǎng)編織連接在一起的。可以說,數(shù)學的邏輯結構乃是數(shù)學科學的本質與靈魂,是它的原理和精神的所在。4) 數(shù)學與現(xiàn)實。從形式上看,數(shù)學乃是由無物質內容的形式符號按一定的“游戲規(guī)則”所組成的符號推演系統(tǒng),它遠離人的直接經(jīng)驗。但是追本溯源,它的任何分支都是由更初級的內容演化發(fā)展而來的,是對現(xiàn)實

12、世界的無限高度抽象和概括而得到的。我們在學習的時候,不要拋棄微積分本來     (下轉第174頁)(上接第177頁)的具體實例、直觀思維等實實在在的東西,不要被它的嚴肅刻板的-d、-N語言所嚇倒,這只是微積分保護自己的盾牌而已。數(shù)學這種形式上的“超現(xiàn)實性”在某種程度上是其在各種自然科學和社會科學中都有廣泛而深刻的應用的保證。但是,我們在學習這些抽象的數(shù)學時,一定要結合具體而生動的實例加以理解,還抽象數(shù)學以其現(xiàn)實本性,只有這樣我們才會覺得數(shù)學是活的、生動的、具體的、可以捉摸的,而且會體會到它為什么會是這樣的,為什么會必然是這樣的,做到知其然,更要做到知其所

13、以然。5)深入淺出。數(shù)學思維是思辨性的演繹思維,它不同于自然科學中的觀察、歸納、總結、分析這樣的歸納思維。粗略地說,歸納思維是人有生以來認識了解周圍世界的一種主要思維方法,是人生來就熟悉的自然思維;而演繹思維是歸納思維的一種逆向思維,是一種更為復雜的理性思維。只有通過一定的訓練,我們才能熟悉、掌握和運用。數(shù)學邏輯的演繹,從思維結構上看是“串聯(lián)”的,也即在邏輯演繹的推理鏈只需有一個環(huán)節(jié)不連續(xù)、銜接不上,其后續(xù)的推理就失去了依據(jù),整個演繹就不能繼續(xù)。因此我們在學習過程中必須做到十分細致、縝密,深刻理解數(shù)學演繹中的每一個環(huán)節(jié),以及環(huán)節(jié)與環(huán)節(jié)之間的聯(lián)系,做到事出有據(jù),這是“深入”。但是如果只有“深入”,使得我們埋頭于每一步驟的細節(jié),往往會使我們只見樹木不見森林,全然不知所云!這就要求我們還要“淺出”,從高處俯覽、遠處遠眺所學的內容,即對內容作全局性、宏觀性的總結和概括。就像要了解一臺精密的設備,僅僅了解它的所有零部件是遠遠不夠的,我們必須要宏觀地懂得它的結構構造,運作功能和配合原理。只有“淺出”,結合現(xiàn)實,才使我們的學習有了明