第5講群和子群

1、1離散數(shù)學(xué)（二）離散數(shù)學(xué)（二）群和子群群和子群群的定義群的定義11群的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)群的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)2主要內(nèi)容主要內(nèi)容: :群的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)群的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)重點(diǎn)重點(diǎn): : 群同態(tài)群同態(tài)難點(diǎn)難點(diǎn): :重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)和難點(diǎn): :子群及其判定定理子群及其判定定理3群同態(tài)群同態(tài)4一、半群、獨(dú)異點(diǎn)和群一、半群、獨(dú)異點(diǎn)和群群的定義：群的定義：設(shè)是代數(shù),若*滿足: (1) G 關(guān)于* 封閉； (2) G上運(yùn)算*可結(jié)合； (3) G 關(guān)于*存在么元e； (4) G中每個(gè)元素關(guān)于*存在逆元, 即對(duì)每一aG, 存在一個(gè)元素a-1, 使a-1 * a = a * a-1 = e。 則稱代數(shù)系統(tǒng)為群。為半群為半群為獨(dú)異點(diǎn)為獨(dú)異

2、點(diǎn)為群為群(2) G上運(yùn)算上運(yùn)算*可結(jié)合：對(duì)所有的可結(jié)合：對(duì)所有的a, b, c G有，有，(a*b)*c=a*(b*c)一、半群、獨(dú)異點(diǎn)和群一、半群、獨(dú)異點(diǎn)和群對(duì)群 ， (1) 若運(yùn)算*是可交換，則稱該群為可交換群可交換群, 或稱阿貝爾群阿貝爾群。 (2) 若G是無限集，則稱為無限群無限群 (infinite group) 若 G是有限集，則稱為有限群有限群 (finite group) 有限群G的基數(shù)|G|稱為群的階數(shù)群的階數(shù)。例例1 (1) 是阿貝爾群，無限群 (2) 代數(shù)是阿貝爾群, 這里x-1=k-x。 但代數(shù)不是群, 因?yàn)?元素沒有逆元。二、群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)二、群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)定理定理

3、1 是群, 則對(duì)于任何a、bG, (a) 存在唯一的元素xG, 使得a * x=b。 (b) 存在唯一的元素yG, 使得y * a=b。證明：證明： (a) 設(shè)么元eG, 存在性存在性：取x= a-1 * b,則 a * x a * (a-1 * b)=(a * a-1) * b= e * b=b 唯一性唯一性：存在x1,x2G, 使得a * x1=b，a * x2=b，那么 x1=e * x1=(a-1 * a) * x1= a-1 * (a * x1) =a-1 * (a * x2) = (a-1 * a) * x2=e*x2=x2 (b)同理可證。方程解的唯一性定理二、群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)二、

4、群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)定理定理2 如果是一個(gè)群, 則對(duì)于任何a、b、cG,(a) a*b=a*c b=c。(b) b*a=c*a b=c。證明：證明： 因?yàn)槿旱拿恳辉囟加心嬖? a-1 * (a *b)=a-1 * (a * c) 注意到：左邊= (a * a-1) * b =e * b=b 右邊=a-1 * (a * c)=(a * a-1) * c=e * c=c 本定理顯然成立。定理定理3 么元是群中唯一等冪元素。證明證明：如果x是等冪元素, 則x*x=x。x*x=x=x*e,由定理2消去律知x=e，所以么元是群中唯一等冪元素。消去律二、群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)二、群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)定理定理4 設(shè)為群，那么

5、當(dāng)G e時(shí), G無零元。證明：證明：因當(dāng)群的階為1(即G = e)時(shí)，它的唯一元素是視作么元e。設(shè)|G|1 且群有零元。那么群中任何元素x G，都有 x = x = e，所以，零元就不存在逆元，與是群的假設(shè)矛盾(具體:群中的每一個(gè)元素存在逆元)。群中無零元二、群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)二、群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)定理定理5 群的運(yùn)算表中的每一行或每一列都是G中所有元素的一個(gè)置換。證明：證明：i)證明運(yùn)算表的行證明運(yùn)算表的行(或列或列)中無二相同的元素中無二相同的元素(反證法反證法)。如果對(duì)應(yīng)于元素a1G的那一行中有兩個(gè)元素相同,即 a1i =a1j, 由于a1i = a1 * ai a1j = a1 * aj 但根

6、據(jù)定理2有ai = aj,事實(shí)上而ai aj ,矛盾。 ii) 證證G中每一元素都在運(yùn)算表的每一行中每一元素都在運(yùn)算表的每一行(每一列每一列)中一定出現(xiàn)中一定出現(xiàn)。 考察對(duì)應(yīng)于a的行,假設(shè)任意b,必存在x,使得a * x=b,因此b必出現(xiàn)在對(duì)應(yīng)于a的行?？梢? 運(yùn)算表中每一行都是G中所有元素的一個(gè)置換, 并且每一行都是不同的置換。二、群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)二、群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu) 定理定理6 如果是一個(gè)群, 則對(duì)于任何a、bG, (a * b)-1= b-1 * a-1 證明：證明：由于(a * b) * (a * b)-1= (a * b)-1 * (a * b) = e和 (a * b) * (b-1

7、* a-1) = a * (b * b-1) * a-1= a * a-1 = e 同理可得 (b-1 * a-1) *(a * b) = e 即(a * b) * (b-1 * a-1) = (b-1 * a-1) *(a * b) = e 而逆元是唯一的, 所以(a * b)-1=b-1 * a-1。1112111121.).(aaaaaaannn推論：推論：二、群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)二、群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)由定理定理4可得出以下結(jié)論： 一階群僅有一個(gè)，二階群僅有一個(gè), 三階群僅一個(gè), 五階群僅有一個(gè)， 四階群僅有兩個(gè)，六階群僅有兩個(gè)。*eee* e a ea e a a e* e a beab e a

8、 b a b e b e a二、群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)二、群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)四階群僅有兩個(gè)：* e a b ceabc e a b c a b c e b c e a c e a b* e a b ceabc e a b c a e c b b c e a c b a e二、群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)二、群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)五階群僅有一個(gè) ：* e a b c deabcd e a b c d a b c d e b c d e a c d e a b d e a b c二、群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)二、群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)六階群有兩個(gè) ：二、群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)二、群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu) 為了繼續(xù)介紹群的性質(zhì), 我們首先定義群的任意元素a的冪。如果nN

9、, 則nnnnaaaaaea)(110 由以上定義可知, 對(duì)任意m、kI, am, ak都是有意義的,另外群中結(jié)合律成立, 不難證明以下指數(shù)定律成立: mkkmkmkmaaaaa)(二、群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)二、群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)群元素階的定義：群元素階的定義： 設(shè)是一個(gè)群, 且aG, 如果存在正整數(shù)n使an=e, 則稱元素的階是有限的, 使an=e成立的最小的正整數(shù)n稱為元素元素a的階的階(元素a的周期)。a的階=minn|nI an=e 。 如果不存在這樣的正整數(shù)n, 則稱元素a具有無限階無限階。例如：例如： (1) 群的么元e的階是1。 (2) 三階群僅一個(gè): a1=a a2=b a3= a1 a2

10、=a b =e a6= (a3)2 = (e)2=e a9 =e3* e a beaB e a b a b e b e a二、群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)二、群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)定理定理7 如果群的元素a具有一個(gè)有限階n, 則ak=e當(dāng)且僅當(dāng)k是n的倍數(shù)。證明：證明： 充分性： 設(shè)k、m、n是整數(shù)。如果k=mn, 則ak = amn = (an)m =em = e 必要性： 假定ak=e, 且k=mn+t, 0tn, 于是at = ak-mn = ak * a-mn = e *(an)-m = e *e-m =e 由定義可知, n是使an=e的最小正整數(shù), 而0tn,所以t=0, 得k=mn。證畢。 二、群的性質(zhì)

11、與結(jié)構(gòu)二、群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)定理定理8 群中的任一元素和它的逆元具有同樣的階。定理定理9 群中的任一元素和它的逆元具有同樣的階。在有限群中, 每一個(gè)元素具有一有限階, 且階數(shù)至多是|G|。證明證明： 設(shè)a是中任一元素。在序列a, a2, a3, , a|G|+1中至少有兩元素是相等的,不妨設(shè)ar = as, 這里1sr|G|+1。 因?yàn)閑= a0 = ar-r = ar * a-r = ar * a-s = ar-s 所以, a的階數(shù)至多是r-s|G|。 證畢。 三、子群及其判定定理三、子群及其判定定理子群的定義：子群的定義：設(shè)是一個(gè)群, S是G的非空子集, 并滿足以下條件: (1) 對(duì)任意a、b

12、S有a * bS ; (2) 對(duì)任意aS有a-1S; (3) eS, e是的么元, 則稱是的子群。子群一定是群，如子群一定是群，如是是的子群。的子群。三、子群及其判定定理三、子群及其判定定理定理定理10 設(shè)是個(gè)群, SG, 如果 (1)若a、bS, 則a * bS； (2)若aS, 則a-1S。 那么是的子群。證明證明：對(duì)任意元素aS, 由(2)得a-1S, 再由(1)得a * a-1=eS。所以, 是的子群。三、子群及其判定定理三、子群及其判定定理定理定理11 設(shè)是一個(gè)有限群, 如果對(duì)任意元素a、bS,有a * bS, 那么是的子群。證明證明：設(shè)a是S的任一元素, 則aG, 根據(jù)定理9, a

13、具有階數(shù)r,由于S對(duì)運(yùn)算*的封閉性, 所以a, a2, , ar全在S中, 特別的， ar-1 = ar * a-1 = e * a-1 = a-1 也在S中, 這就證明了若aS, 則a-1S。根據(jù)定理10, 得出是的子群。三、子群及其判定定理三、子群及其判定定理定理定理12 設(shè)是一個(gè)群, S是G的非空子集, 如果對(duì)于S中的任意元素a, b有a* b-1S,則是的子群。證明證明： (1)因?yàn)镾非空，所以存在aS,有a* a-1 = e S; (2)對(duì)任意a S,因?yàn)閑 S，所以a-1 = e* a-1 S; (3)對(duì)任意a,b S,因?yàn)閎-1S,所以a * b =a* (b-1)-1 S。四、

14、群同態(tài)四、群同態(tài)群同態(tài)的定義群同態(tài)的定義設(shè)和是兩個(gè)群, 映射h: GH稱為從到的、群同態(tài), 如果對(duì)任意a、bG,有h(a * b) = h(a) h(b) 和代數(shù)系統(tǒng)同態(tài)的定義6.3-2比較, 可以看出群同態(tài)的定義中省去了兩條: h(eG) = eH ,和h(a-1) =h(a)-1。這里eG和eH分別是和的么元。我們證明由于群的結(jié)構(gòu), 條件(1)已蘊(yùn)含了條件(2)和(3),省去是合理的。(1) h(eG) = h(eG * eG) = h(eG) h(eG)，可見h(eG)是中等冪元素, 但群中只有么元是等冪的, 所以h(eG) = eH。(2) h(a) h(a-1) = h(a*a-1)

15、=h(eG)=eH, h(a-1) h(a)=h(a-1 *a)=h(eG)=eH 所以, h(a-1) =h(a)-1 。四、群同態(tài)四、群同態(tài)定理定理13 設(shè)h是從群到群的一個(gè)群同態(tài)映射，則在h下的同態(tài)象是的子群。證明證明：(1) 證明運(yùn)算 在h(G)上是封閉的。任取x,yh(G),必存在a,bG, 使得h(a)=x, h(b)=y,則有x y=h(a) h(b)=h(a*b)=h(c)h(G)和a*b=cG，(用到h是從群到的一個(gè)同態(tài))。所以 在h(G)上是封閉的。(2) 證明的么元eHh(G)。eH=h(eG)h(G) (因eG是么元)(3) 證明h(G)每個(gè)元素h(a)都有逆元。任取x

16、h(G),必存在aG,使得h(a)=x。則x-1= h(a)-1= h(a-1)h(G) (因?yàn)镚是群，故a-1G)(4) 證明H 的子集h(G)，h(G)G, eH= h(eG)h(G)。綜上所述，可知綜上所述，可知是是的子群。的子群。四、群同態(tài)四、群同態(tài) 設(shè)h是從群到代數(shù)系統(tǒng)的一個(gè)同態(tài)映射，則在h下的同態(tài)象是群, 但是可不一定是群。定理定理 14 設(shè)是一個(gè)群, 是一代數(shù)系統(tǒng), 如果存在滿射函數(shù)h: G H, 對(duì)任意a、bG, 有h(a*b)=h(a) h(b)，則必是一個(gè)群。證明證明：(1)證明證明H關(guān)于運(yùn)算關(guān)于運(yùn)算 是封閉的是封閉的。任取x,yh(G),必存在a,bG,使得h(a)=x,

17、 h(b)=y，則有x y=h(a) h(b)=h(a*b)=h(c)h(G)(因?yàn)閏=a*bG)。(2)證明證明H上的運(yùn)算上的運(yùn)算 是可結(jié)合的是可結(jié)合的。因?yàn)閔:G H是滿射，任取x,y,zh(G),必存在a,b,cG,使得h(a)=x, h(b)=y, h(c)=z,則只要證明x (y z)=(x y) z。 x (y z)=h(a) (h(b) h(c)=h(a) (h(b*c)=h(a*(b*c)=h(a*b)*c) =h(a*b) h(c)=(h(a) h(b) h(c)=(x y) z四、群同態(tài)四、群同態(tài)定理定理 14證明證明(續(xù)續(xù)):(3) 證明證明有幺元。有幺元。 設(shè)h(eG)

18、 = eH，因?yàn)閔: G H是滿射，任取xH,則必存在a，使得h(a)=x,則有x eH = h(a) h(eG)= h(a*eG)=h(a)=x，同理可得 eH x =x，所以eH是的幺元。(4) 證明證明H中每個(gè)元素都有逆元。中每個(gè)元素都有逆元。 任取xH,必存在aG,使得h(a)=x。因?yàn)镚是群，故a-1G,則h(a-1)h(G)。所以，x h(a-1)=h(a) h(a-1)=h(a*a-1)=h(eG) h(a-1) x=h(a-1) h(a)=h(a-1*a)=h(eG)所以xH的逆元存在，且x-1= h(a)-1=h(a-1)。綜上所述，可知綜上所述，可知是群。是群。四、群同態(tài)四、群同態(tài) 例例 2 在N5, 5中, 記 。作映射h(0) = 1 h(1) = 2h(2) = 4 h(3) = 3 對(duì)照兩者的運(yùn)算表, 容易看出N4, +4和 , 5同構(gòu); N4, +4是群, 所以 , 5也是群。 05*5 NN*54:NNh*5N*5N四、群同態(tài)四、群同態(tài)同態(tài)核的定義同態(tài)核的定義: 設(shè)h是從群到的一個(gè)同態(tài)映射，eH是中的幺元，Ker(h)=x|xGh(x)=eH,稱Ker(h)為群同態(tài)映射h的核，簡稱h的同態(tài)