平行四邊形中常用輔助線的添法

1、平行四邊形中常用輔助線的添法徐衛(wèi)東  劉建英 平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：一、連對角線或平移對角線：例1  如圖1，E是平行四邊形ABCD中AD延長線上一點(diǎn)，ED交BC于F，求證：。簡證：連BD，由圖易得（同底等高），（同底等高）所以，所以，即。 例2  如圖2，平行四邊形ABCD中，對角

2、線AC、BD交于O，AC=a+b，BD=a+c（），AB=m，求m的取值范圍。簡解：要求AB的值，需把AC、BD、AB集中在一個(gè)三角形中，過C作CEDB交AB的延長線于E，由圖易得DBEC是平行四邊形，所以，即，在ACE中，即。 二、過頂點(diǎn)作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形       例3  如圖3，平行四邊形ABCD中，DBC=，DEDB交BC的延長線于E，AD=a，DE=b，求。簡解：過D作DFBE于F，由題意得DEB=，所以DF=，BE=，則，所以。 例4 如圖4，平行四邊形

3、ABCD的周長為40，ABC=，E、F是BD上的三等分點(diǎn)，AE的延長線交BC于M，MF的延長線交AD于N，設(shè)，試求y與x的函數(shù)關(guān)系。簡解：過A作AHBC于H。因?yàn)?，所以，所以。因?yàn)锳DBC，所以，所以，則。 三、連接對角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過對角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線       例5 如圖5，平行四邊形ABCD中，N是AB中點(diǎn)，BE=，NE與BD交于F，求的值。簡解：作AC交BD于O，連ON，由 圖得ON，因?yàn)?，所以，所以，所以，則。 例6 如圖6，平行

4、四邊形ABCD中，O是對角線交點(diǎn)，F(xiàn)是AB延長線上一點(diǎn)，OF交BC于E，AB=a，BC=b，BF=c。求BE長。簡解：作OGCB交AB于G，因?yàn)镺是AC中點(diǎn)，所以O(shè)G=，又，所以。 四、連接頂點(diǎn)與對邊上一點(diǎn)的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。例7 如圖7，正方形ABCD中，E、F分別為CD、DA的中點(diǎn)，BE、CF交于P，求證AP=AB。簡證：延長CF交BA的延長線于G。因?yàn)镕D=FA，易得CDFGAF，所以AG=CD=AB，則A為BG中點(diǎn)，又CE=DF，CB=CD，所以RtBCERtCDF，所以1=2，因?yàn)?+3=，所以2+3=，所以CPB=，所以BPG=。則

5、PA是RtBPG的斜邊上中線，所以AP=AB。 例8 如圖8，平行四邊形ABCD中，E、F分別是DC、DA上一點(diǎn)，AE=CF，AE與CF交于P，求證PB平分APC。簡證：連BE、BF，由圖易證得。過B作BHCF、BGAE，垂足分別為H、G。因?yàn)?，所以BG=BH，所以B點(diǎn)在APC的角平分線上，則PB平分APC。 五、過頂點(diǎn)作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等       例9 如圖9，E是平行四邊形ABCD對角線BD上一點(diǎn)，EFBC，EGBA，垂足分別為F、G，求證：。簡證：作AHBD于H，CKBD于K，易得AHCK，連AE、CE。因?yàn)?，所以。又，所以，所以，則。 例10 如圖10，ABCD是正方形，BEAC，AE=AC，CFAE，求證：AEB=2BCF。 簡證：連BD，過A作AHAC交BE于H，AC與BD交于O。由圖中易證得AHBO