第1章場量復(fù)習(xí)

1、電 磁 場場場 論論 復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí) 1.1 標(biāo)量場和矢量場 場是一個(gè)標(biāo)量或一個(gè)矢量的位置函數(shù),即場中任一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)確定的標(biāo)量值或矢量. .例如,在直角坐標(biāo)下, 標(biāo)量場)()( ),(222z2y1x45zyx 如溫度場,電位場,高度場等;矢量場zy2x2xyzzxxy2)z,y,x(eeeA如流速場,電場,渦流場等.形象描繪場分布的工具-場線矢量場-矢量線標(biāo)量場-等值線(面). .constzyxh),( 其方程為0d lA其方程為dzAdyAdxAzyx三維場在直角坐標(biāo)下:二維場dyAdxAyx圖0.1.2 矢量線圖0.1.1 等值線1.2 標(biāo)量場的梯度一. 梯度)cos,cos,(cos)

2、z,y,x(l),z,y,x(g)cos,cos,(cosle設(shè)當(dāng) ,即 與 方向一致時(shí), 為最大.0),(leglegl 設(shè)一個(gè)標(biāo)量函數(shù)(x,y,z),若函數(shù) 在點(diǎn)P可微,則 在點(diǎn)P沿任意方向 的方方向?qū)?shù)向?qū)?shù)為: lgradzyxzyxeeeg梯度(gradient)哈密頓算子)z,y,x(式中),cos(|lleggegl則有: 式中 ， ， ，分別是與x,y,z軸的夾角 證明說明例1 三維高度場的梯度例2 電位場的梯度高度場的梯度 與過該點(diǎn)的等高面垂直； 數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大變化率； 指向地勢(shì)升高的方向。電位場的梯度 與過該點(diǎn)的等位面垂直； 指向電位增加的方向。 數(shù)值等于該點(diǎn)的最大

3、方向?qū)?shù)；二. 梯度的物理意義 標(biāo)量場的梯度是一個(gè)矢量,是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù); 梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向,即與等值面相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向. 梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，即該點(diǎn)最大方向?qū)?shù);圖0.2.2 電位場的梯度圖0.2.1 三維高度場的梯度1.3 矢量場的通量與散度一、通量 矢量 E E 沿有向曲面S S 的面積分SE dS 0 (有正源) 0 (有負(fù)源) = 0 (無源)圖0.3.1 矢量場的通量 圖0.3.2 矢量場的通量 若S 為閉合曲面 ，可以根據(jù)凈通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì):sdsE說明dS組成的閉合曲面。是由，其中的值求：若矢量場例hzzr

4、yxSdxs, 0,1222SAeAx321321SSSSddddSSSSASASASA及側(cè)面，則有：分別表示上下頂面、解：以3SSddSASA則：代入得：將dydxdxdzdydzdzyxeeeS32SShrxdydzdSAxyzohrS1S3S2所圍封閉曲面的通量。與平面園錐面求有內(nèi)向外穿過：若矢量場例Hzzyxzyx222,2zyxeeer2121SSSdddSSSrSrSr則有：、分別表示側(cè)面與底面、解：以022SddSSrSr處處垂直，則與上其中代入得：將dydxdxdzdydzdzyxeeeS11321111SSSSSSSHHHdxdyHHdxdyzdxdyydxdzxdydzdd

5、SrSrxyzoHS2S1二、散度 如果包圍點(diǎn)P的閉合面S S所圍區(qū)域V V以任意方式縮小為點(diǎn)P時(shí), 通量與體積之比的極限存在，即Sv10vdSAAlimdiv散度(divergence)計(jì)算公式zAyAxAzyxAAdiv三、散度的物理意義 散度代表矢量場的通量源的分布特性 A A= 0 (無源） A A= 0 (負(fù)源) A A= 0 (正源) 在矢量場中，若 A= 0，稱之為有源場， 稱為(通量)源密度；若矢量場中處處 A=0，稱之為無源場。 矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)；說明四、高斯公式(散度定理)V1nn0VnSdVVlimdnAASA高斯公式 該公式表明了區(qū)域V 中場A與

6、邊界S上的場A之間的關(guān)系。VSdVdASA 矢量函數(shù)的面積分與體積分的互換。Sv10vdSAAlimdiv圖0.3.3 散度定理 由于 是通量源密度，即穿過包圍單位體積的閉合面的通量，對(duì) 體積分后，為穿出閉合面S S的通量AA參考奧高公式1.4 矢量場的環(huán)量與旋度一、環(huán)量該環(huán)量表示繞線旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的大小。水流沿平行于水管軸線方向流動(dòng)=0，無渦旋運(yùn)動(dòng)流體做渦旋運(yùn)動(dòng)0，有產(chǎn)生渦旋的源 矢量A沿空間有向閉合曲線L的線積分環(huán)量LdlA例：流速場圖0.4.2 流速場圖0.4.1 環(huán)量的計(jì)算的環(huán)量。沿正向求平面中的正方形為：設(shè)矢量場例lRyxzlxyAeeAyx,|0,3llxdyydxd)(lA為正向，據(jù)此

7、有：向面閉曲線總曲逆時(shí)針方解：無特殊聲明，對(duì)平積分值與此相同。上的積分，其他各段的依對(duì)稱性，只需計(jì)算 1 l200001)()()(RdyyRdxRxxdyydxxdyydxRRRRl4321)()()()(, 4, 3, 2, 1llllxdyydxxdyydxxdyydxxdyydxllll則：部分分別標(biāo)記為將積分曲線在各象限的xyRl1l2l3l424R則：轉(zhuǎn)換二、旋度1. 環(huán)量密度 過點(diǎn)P作一微小曲面S S,它的邊界曲線記為L,面的法線方與曲線繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S S點(diǎn)P時(shí),存在極限LdS1dSdPSllim環(huán)量密度取不同的路徑，其環(huán)量密度不同。2. 旋度 旋度是一個(gè)矢量，模值等于

8、環(huán)量密度的最大值；方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向。AArot 旋度(curl)它與環(huán)量密度的關(guān)系為ndSdeA rot 在直角坐標(biāo)系下zyxzyxzyxAAAeeeA說明的環(huán)量密度。）處的旋度及沿方向，求點(diǎn)（：已知例yxyxeeleeA001,4yxyx0,zyxAyxyAyxxA解：zeA ）處，所以：在（001)(21zx0eel方向的單位矢量為：lzzyxyxyxAAAzyxeeeeAzyx2)(21(0lA)量密度為：因而：沿其方向的環(huán)流三、旋度的物理意義 矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。 點(diǎn)P的旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值。 在矢量場中，若A=J0,稱之為旋度場(或渦旋場)，J

9、 稱為旋度源(或渦旋源)； 點(diǎn)P的旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)量密度的方向。四、斯托克斯(Stockes)定理 A 是環(huán)量密度，即圍繞單位面積環(huán)路上的環(huán)量。因此，其面積分后，環(huán)量為iiiddilSAAl)(SAlAd)(dSlStockes定理在電磁場理論中，Gauss公式和 Stockes公式是兩個(gè)非常重要的公式。 矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換。 該公式表明了區(qū)域S中場A與邊界L上的場A之間的關(guān)系 若矢量場處處A=0，稱之為無旋場。圖 0.4.3 斯托克斯定理。例：利用斯托克斯定理解例352422) 11 ()00()00(RdSdSSSSldSedSeeedSA)lAzzyx為正向，據(jù)此有：向

10、面閉曲線總選逆時(shí)針方解：無特殊聲明，對(duì)平題目1.5 亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理： 在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場由它的散度、旋度及邊界條件唯一地確定。已知矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度場域邊界條件在電磁場中電荷密度電流密度J場域邊界條件（矢量A唯一地確定）例：判斷矢量場的性質(zhì)?FF?FF?FF=0=0=000=01.6 三種特殊形式的場 1.平行平面場：如果在經(jīng)過某一軸線(設(shè)為 Z 軸)的一族平行平面上，場 F 的分布都相同，即 F=f(x,y)，則稱這個(gè)場為平行平面場。 2.軸對(duì)稱場：如果在經(jīng)過某一軸線(設(shè)為 Z 軸)的一族子午面上，場 F 的分布都相同，即 F=f(r,)，則稱這個(gè)場為軸對(duì)稱場。

11、 3,球面對(duì)稱場：如果在一族同心球面上(設(shè)球心在原點(diǎn))，場 F 的分布都相同，即 F=f(r)，則稱這個(gè)場為球面對(duì)稱場。 作業(yè).0013,ArrrrrrzzyyxxzyxzyxAAA)z , y, x(zyxzyxeeeAeeereeer2.3.式中：試證明下列各題1.M0Mlxyz方向?qū)?shù)：研究標(biāo)量場，還需對(duì)對(duì)它的局部狀態(tài)進(jìn)行深入分析，即要考察標(biāo)量在場中各點(diǎn)的鄰域內(nèi)沿某一方向的變化情況。為此引入方向?qū)?shù)的概念。返回設(shè)M0是標(biāo)量場= (x)中的一個(gè)已知點(diǎn)，從 出發(fā)沿某一方向引一條射線l，在l上 的臨近取一點(diǎn)M， 若當(dāng)M趨近于 時(shí)。 的極限存在，則稱此極限為函數(shù)(x)在 處沿l方向的方向?qū)?shù)，記

12、作：MM00M0MM 0lim00MMlMMM0M0M0M證明返回)cos,cos,(cos),(zyxl證明：證：M點(diǎn)坐標(biāo)為 , 由于在 可微，故： ),(000zzyyxxM0MzzyyxxMM0 為比 高階的無窮小。 兩邊同除以 zzyyxxcoscoscoszyx當(dāng) 趨于0時(shí)對(duì)上式取極限，可得： coscoscoszyxl圖！哈密頓算子！哈密頓算子 哈密頓算子是一個(gè)運(yùn)算符，可將一個(gè)標(biāo)量場轉(zhuǎn)換成哈密頓算子是一個(gè)運(yùn)算符，可將一個(gè)標(biāo)量場轉(zhuǎn)換成一個(gè)矢量場；而對(duì)于矢量來說，它又可以看作一個(gè)矢量，一個(gè)矢量場；而對(duì)于矢量來說，它又可以看作一個(gè)矢量，參與矢量的點(diǎn)積和叉積運(yùn)算。參與矢量的點(diǎn)積和叉積運(yùn)算。

13、返回dSdS為曲面的面元（矢量），其方向取面元的法線方向，其大小為ds,即： dS=nds n為法線方向的單位矢量 在直角坐標(biāo)系中：n的方向由兩種情況：1、對(duì)開曲面的面元，設(shè)這個(gè)開曲面是由封閉曲線l所圍成的，則選定l方向后，沿l繞行方向按右手螺旋的拇指方向就是n的方向；2、對(duì)封閉曲面上的面元，n取封閉曲面的外法向方向。則：dSdnS返回dxdydxdzdydzdzyxeeeS返回zzyyxxAAAeeeA設(shè)：證明散度計(jì)算式高階的無窮小。為比內(nèi)的某一點(diǎn)是包圍體積，是其中：有積分中值定理）由奧高公式）上的通量為：點(diǎn)的小封閉面則在一個(gè)包含VVMSVVdVdSMMzAyAxAVzAyAxASzyxzy

14、x,.(.()(0SAzAyAxAMzAyAxAMVMVzyxzyxVdivlimlim00A由此：返回VSdVdASA高斯公式VSdVzRyQxPRdxdyQdxdzPdydz)(奧高公式即：zyxRQPeeeAAAAeeeReeeSSeeelAzyxzyxzyxrotRRRsMMdSxRRRdddlSMyAxAzxAzAyzAyAxxMzAyAxxSzAyAxzyxyAxAxAzAzAyASyAxAxAzAzAyAlxyzxyzyzyzxyzxyzxyzxyz所以：、，同理：則：有積分中值定理有：的相應(yīng)投影點(diǎn)為方向的投影在的旋度，居上式可知：為設(shè)密度最大。方向相同時(shí)，環(huán)流與當(dāng)且僅當(dāng)由斯托克斯定理）上的環(huán)流量為：的邊界曲線點(diǎn)的小封閉面則在一個(gè)包含0000| ;)()()()(.()()()(返回zzyyxxAAAeeeA設(shè)：說明旋度計(jì)算式返回SlddSAlA)(斯托克斯公式