導(dǎo)數(shù)的解題技巧

1、精品文檔專題三導(dǎo)數(shù)的解題技巧第 _ 課時共_4_課【考點聚焦】1了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念2熟記基本導(dǎo)數(shù)公式；掌握兩個函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系； 了解可導(dǎo)函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件（導(dǎo)數(shù)在極值點兩側(cè)異號）；會求一些實際問題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值【命題趨向】導(dǎo)數(shù)命題趨勢：綜觀 2007年全國各套高考數(shù)學(xué)試題，我們發(fā)現(xiàn)對導(dǎo)數(shù)的考查有以下一些知識類型與特點：（ 1）多項式求導(dǎo)（結(jié)合不等

2、式求參數(shù)取值范圍）, 和求斜率（切線方程結(jié)合函數(shù)求最值）問題.（ 2）求極值 ,函數(shù)單調(diào)性 , 應(yīng)用題 , 與三角函數(shù)或向量結(jié)合 .分值在 12-17分之間，一般為 1 個選擇題或1 個填空題， 1 個解答題 .【重點 ? 難點 ? 熱點】考點 1: 導(dǎo)數(shù)的概念對概念的要求：了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，掌握導(dǎo)數(shù)在一點處的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念 .【問題1】（ 2007 年北京卷） f ( x) 是 f ( x)1x32x 1 的導(dǎo)函數(shù)，則f ( 1)的值是3 考查目的 本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和計算等基礎(chǔ)知識和能力. 解答過程 Q f(x)x2 2, f(1)1223.故填 3.演練

3、 例 2. ( 2006年湖南卷）設(shè)函數(shù)f (x )xa,集合 M=,P= x | f( x) 0,若M P,則x1 x | f (x) 0實數(shù) a 的取值范圍是 ()A.(- ,1) B.(0,1)C.(1,+ )D. 1,+ ) 考查目的 本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和集合等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力. 解答過程 由 xa0,當 a1時,1xa;當a1時, ax 1.x1/a , y /a 12Q yxxax 1 x 2a0.x1x1x 1x1a1.綜上可得 M P 時,a1.例 1 yx2x11處可導(dǎo)，則 abf ( x)bx在 xax1思路： yx2x11處可導(dǎo)，必連續(xù)lim f ( x) 1f (

4、 x)在 xaxbx1x 1lim f (x)a bf (1)1 a b1x 11歡迎。下載精品文檔limy2limya a2b1xxx 0x0例 2已知 f(x)在 x=a 處可導(dǎo)，且 f (a)=b，求下列極限：（1） limf (a3h)f (ah) ；（ 2） limf ( ah 2 )f (a)h 02hh0h分析：在導(dǎo)數(shù)定義中，增量x 的形式是多種多樣，但不論x 選擇哪種形式， y 也必須選擇相對應(yīng)的形式。利用函數(shù)f(x)在 xa 處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。解：（ 1） limf (a3h)f (ah)limf (a 3h)f ( a) f

5、 (a) f (a h)h 02hh 02hlimf (a3h)f (a)lim f (a)f (ah)h 02hh02h3f (a3h)f (a)1f (a h)f (a)lim3hlimh2 h02 h03 f (a)1 f (a)2b22（2） limf (ah 2 )f (a)limf ( a h2 )f ( a)hhh2h0h0limf (a h2 )f (a)lim hf (a) 002h 0hh0說明： 只有深刻理解概念的本質(zhì)，才能靈活應(yīng)用概念解題。解決這類問題的關(guān)鍵是等價變形，使極限式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。例 3觀察 ( xn )nxn 1 ， (sin x)cos x ，

6、 (cos x)sin x ，是否可判斷，可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。解：若 f (x) 為偶函數(shù)f (x)f (x)f ( x) limf ( xx)f ( x)x0xf ( xx)f ( x)limx 0 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)另證： f f ( x)f (x) ( x)令f ( xx) f (x)()limfxx0xlim f ( xx)f (x)x0xf( x)f (x) 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)考點一：考小題，重在基礎(chǔ). 有關(guān)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的小題，其考查的重點在于基礎(chǔ)知識，如：導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)解析式、圖像、定義域、值域、性質(zhì)等仍是

7、高考的重點.例 1（福建 11）如果函數(shù)y=f ( x) 的圖象如圖1，那么導(dǎo)函數(shù)yf / ( x ) 的2歡迎。下載精品文檔圖象可能是（）圖 1解析：利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：函數(shù)遞增則導(dǎo)數(shù)大于0，函數(shù)遞減則導(dǎo)數(shù)小于0，從圖 1 可以看出，函數(shù)先遞增再遞減又遞增再遞減，故導(dǎo)函數(shù)的圖像應(yīng)該是先大于0 再小于 0 又大于 0 再小于 0，符合條件的只有A 答案，故選A評注：利用函數(shù)的圖像求導(dǎo)函數(shù)的圖像，應(yīng)注意函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正、負的關(guān)系。例 2（湖北卷7）若 f ( x)1 x2b ln( x2)在 (-1,+) 上是減函數(shù)，則 b 的取值范圍是（）2A. 1,)B.(1,)C.(,1D.(,

8、 1)解析：由條件，函數(shù)f (x)1x2b ln( x2)在(-1,+) 上是減函數(shù)，則f ，( x)0 ，即b2f，x0 ，對任意的 x (-1,+) 恒成立，bx(x 2)對任意的 x(-1,+) 恒成( x)x 2立，而 x( x 2)在 x(-1,+) 上的最小值為 -1 ，故 b1，選 C例 3（北京卷12）如圖，函數(shù) f (x) 的圖象是折線段ABC ，其中 A，B，C的坐標分別為 (0，4)，(2，0)，(6 4) ，則 f ( f (0)；y4ACf (1x)f (1)3limx（用數(shù)字作答）2x01B解析：由圖易知f ( f (0)f 4=2；O245 6x1f ( x)2x

9、4(0x2)，由導(dǎo)數(shù)的定義知limf (1x)f (1)f ，(1)-2x 2(2 x 6)x0x評注：用定義解題必須準確把握導(dǎo)數(shù)的定義f，f (x0x)f ( x0 )，另外還注意(x 0 )limxx0f，(1) 是先求 f( x) 還是將 x=1 代入。例 4（江蘇卷 8）直線 y1 xb 是曲線 yln xx0的一條切線，則實數(shù)b211解析：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，x2 ，切點為 2,ln 2 ，把切點代入切線方程f ( x)x2得 b ln 2 1評注：用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程一直是高考的熱點，但難度不是很大?？键c二：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性3歡迎。下載精品文檔例 5（全國一19）已知函數(shù)

10、f ( x)x3ax 2x1， aR （ ）討論函數(shù) f ( x) 的單調(diào)區(qū)間；（ ）設(shè)函數(shù) f ( x) 在區(qū)間2 ， 1內(nèi)是減函數(shù)，求a 的取值范圍33解析：（ 1） f ( x)x3ax2x1求導(dǎo)： f (x)3x22ax1當 a2 3時，0 ， f (x) 0 ， f ( x) 在 R 上遞增當 a23， f( x)0 求得兩根為 xaa233即 f ( x) 在， aa23上遞增，在aa23 ， aa23 上遞減，333aa23，上遞增再3aa23 23解得： a 7（2）由（ 1）得33 ，且 a2aa23 1433評注：利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性，簡潔明快，但要注意導(dǎo)數(shù)與可導(dǎo)函數(shù)單

11、調(diào)性的關(guān)系，f , ( x)0 是 f (x) 為增函數(shù)的充分不必要條件；f , ( x)0 是 f (x) 為增函數(shù)的必要不充分條件?？键c三：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值例 6（陜西卷21）已知函數(shù)f ( x)kx1 （ c0且 c1， kR ）恰有一個極大值點和一個xc x2c極小值點，其中一個是（）求函數(shù)f ( x) 的另一個極值點；（）求函數(shù)f ( x) 的極大值 M 和極小值 m ，并求 Mm 1時 k 的取值范圍解析：（）f ( x)k( x2c)2x( kx 1)kx22xck ，由題意知 f ( c)0 ，( x2c)2(x2c)2即得 c2 k 2cck 0 ，（ * ）Q c0 ，

12、k 0 4歡迎。下載精品文檔由 f ( x)0 得kx 22xck0 ，由韋達定理知另一個極值點為x1（或 xc2）22k（）由（ * ）式得 k，即 c1c1k當 c1時， k0；當 0c 1時， k2 （ i ）當 k0時， f (x) 在 (， c) 和 (1，) 內(nèi)是減函數(shù)，在 (c，1) 內(nèi)是增函數(shù)Mf (1)k1k0 ，c12mf (c)kc1k 20，c2c2(k2)由 Mmkk2 1及 k0 ，解得 k 222(k2)（ ii）當 k2時， f (x) 在 (， c) 和 (1，) 內(nèi)是增函數(shù)，在( c，1) 內(nèi)是減函數(shù)Mf (c)k 20 ， mf (1)k02( k2)2M

13、mk 2k1(k1)21 1 恒成立2(k2)2k2綜上可知，所求k 的取值范圍為 (， 2)U2，) 評注： 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，先求 f , ( x) ，再令 f , ( x)0 求得根 x0 ，然后檢驗極值點x0 左右f , ( x) 的符號，左正右負為極大值，左負右正為極小值，對于含參數(shù)問題，注意分類討論?？键c四：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值例 7（江蘇卷17）某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD 的頂點 A,B 及 CD的中點 P 處，已知AB=20km,CB =10km ，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD 的區(qū)域上（含邊界），且A,B 與等距離的一點O 處建造一個污水處理廠，并

14、鋪設(shè)排污管道AO,BO,OP ，設(shè)排污管道的總長為y km5歡迎。下載精品文檔PDC（）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：設(shè) BAO=(rad)，將 y 表示成的函數(shù)關(guān)系式；O設(shè) OP x (km) ，將 y 表示成 x x 的函數(shù)關(guān)系式（）請你選用（）中的一個函數(shù)關(guān)系式，確定AB污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短解析：（）由條件知PQ 垂直平分 AB，若 BAO=(rad)，則 OAAQ10cos, 故10cosOB，又 OP 1010tan10 10ta，cos1010所以 y OAOBOP1010tan，coscos所求函數(shù)關(guān)系式為y2010sin10 0cos4若 OP=x (km)

15、，則 OQ 10 x ，所以 OA =OB=10 x2102x220 x 200所求函數(shù)關(guān)系式為yx2x220 x200 0x1010cosg2010sinsin102sin1（）選擇函數(shù)模型，cosycos2cos2令 y0 得 sin1，因為 0，所以=，246當0,時， y0， y 是的減函數(shù)；當,4時， y0， y 是的增函數(shù)，所以66當= 時， ymin10103 。這時點 P 位于線段 AB 的中垂線上，且距離AB 邊6103 km 處。3例 4（ 1）求曲線 y2x在點（ 1，1）處的切線方程；x21（2）運動曲線方程為St1 2t 2 ，求 t=3時的速度。t 2分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)

16、的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，函數(shù) y=f(x)在 x0處的導(dǎo)數(shù)就是曲線 y=f(x)在點 p( x0 , y0 ) 處的切線的斜率。瞬時速度是位移函數(shù)S(t) 對時間的導(dǎo)數(shù)。6歡迎。下載精品文檔解：（ 1） y2(x 21)2x2x22x2，( x21)2(x21)2y|x 1220，即曲線在點（1， 1）處的切線斜率k=042x因此曲線y在（ 1，1）處的切線方程為y=1x 21（2）St 1 (22 )t 22t (t 1)4t124tt 2tt 4t 2t 3S|t 3121211 26。92727例 5 求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間（1）yf ( x)x31x22x5（ ）yx 2122x（

17、3） yk 2x (k 0)（ 4） y2x2lnx解：（ 1） y3x 2x2(3x2)( x1)x(,2) (1 ,) 時 y 0x ( 2 , 1)2)， (1,( 2,1)3y0 (,)333（ 2） yx21 (,0)，(0,)x 2k 2（ 3） y 1 x2 x (, k ) (k ,)y 0 x ( k , 0) (0 , k) y 0 (, k ) ， (k ,)( k , 0) ， (0 , k)14x21)（ 4） y 4xx定義域為 (0 ,xx (0 , 1 ) y 0x ( 1 ,)y 022例 7利用導(dǎo)數(shù)求和：（1）；（2）。7歡迎。下載精品文檔分析：這兩個問題可

18、分別通過錯位相減法及利用二項式定理來解決。轉(zhuǎn)換思維角度，由求導(dǎo)公式 ( xn ) nx n 1 ，可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)運算可使問題的解決更加簡捷。解：（ 1）當 x=1 時，；當 x 1 時，兩邊都是關(guān)于x 的函數(shù)，求導(dǎo)得即（2），兩邊都是關(guān)于x 的函數(shù)，求導(dǎo)得。令 x=1 得，即。例 8設(shè) a0 ，求函數(shù)f ( x)xln( xa)( x(0,) 的單調(diào)區(qū)間 .分析：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運算能力.解： f ( x)11( x0) .2 xxa當 a 0, x0 時f (x) 0x2( 2a4)x a20 .f ( x) 0x

19、2(2a 4)x a 20（ i ）當 a1時，對所有 x 0，有 x2(2a4)a20 .即 f(x)0 ，此時 f (x) 在 (0,) 內(nèi)單調(diào)遞增 .（ ii）當 a1 時，對 x1 ，有 x 2(2a 4) xa 20 ，8歡迎。下載精品文檔即 f (x)0 ，此時 f (x) 在（ 0， 1）內(nèi)單調(diào)遞增，又知函數(shù)f ( x) 在 x=1 處連續(xù)，因此，函數(shù) f ( x) 在（ 0， +）內(nèi)單調(diào)遞增（ iii ）當 0 a 1時，令 f ( x)0 ，即 x2(2a4)xa20.解得 x 2a 2 1 a ,或 x 2 a 2 1 a .因此，函數(shù)f (x) 在區(qū)間(0,2 a21a

20、) 內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(2a2 1a,)內(nèi)也單調(diào)遞增 .令 f (x)0,即 x 2( 2a4) xa 20，解得 2a2 1ax2a2 1a .因此，函數(shù)f ( x) 在區(qū)間（2 a - 21a ,2 a21a ) 內(nèi)單調(diào)遞減 .考點 2: 曲線的切線（ 1）關(guān)于曲線在某一點的切線求曲線 y=f(x) 在某一點 P（ x,y ）的切線， 即求出函數(shù) y=f(x) 在 P 點的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點的切線的斜率 .（ 2）關(guān)于兩曲線的公切線若一直線同時與兩曲線相切，則稱該直線為兩曲線的公切線.【問題 2】(1)（ 2006 湖南卷） 曲線 y1和 y=x2 在它們交點處的兩條切線與x 軸所圍成的三

21、角形面積是.x解析： 曲線 y1和 y=x2 在它們的交點坐標是(1 ，1) ，兩條切線方程分別是y=x+2 和 y=2x1，它x3 .們與 x 軸所圍成的三角形的面積是411（ 2）（ 2007年湖南文）已知函數(shù)f ( x)x3ax 2bx 在區(qū)間 11)， ， (1，3 內(nèi)各有一個極值點（ I ）求 a2324b 的最大值；（ II ）當 a24b8 時，設(shè)函數(shù)y f ( x) 在點 A(1， f (1) 處的切線為 l，若 l在點 A 處穿過函數(shù)yf ( x) 的圖象（即動點在點A 附近沿曲線 yf ( x) 運動，經(jīng)過點 A 時，從 l 的一側(cè)進入另一側(cè)） ，求函數(shù) f (x) 的表達

22、式思路啟迪 ：用求導(dǎo)來求得切線斜率 .解答過程： （ I ）因為函數(shù) f ( x)1 x31 ax 2bx 在區(qū)間 11)， ， (13， 內(nèi)分別有一個極值點，所以x232f( x)axb 0在 11)， ， (13， 內(nèi)分別有一個實根，設(shè)兩實根為 x1， x2 （ x1x2 ），則 x2x1a24b ，且 0x2x1 4 于是0a24b 4 ， 0a24b 16 ，且當 x11，x2 3 ，即 a2， b3 時等號成立故a24b的最大值是 169歡迎。下載精品文檔（ II ）解法一：由f (1) 1 ab 知 f (x) 在點 (1， f (1) 處的切線 l 的方程是y f (1)f (1

23、)(x1) ，即 y(1 ab)x21 a ，因為切線 l 在點 A(1， f ( x) 處空過 y32f ( x) 的圖象，所以 g( x)f ( x)(1 a b)x21 a 在 x1兩邊附近的函數(shù)值異號，則32x 1 不是 g( x) 的極值點而 g ( x)1 x31 ax2bx (1 a b) x2 1 a ，且3232g ( x) x2ax b (1 a b) x2ax a 1 (x 1)(x 1 a) 若 11 a ，則 x1 和 x1a 都是 g( x) 的極值點所以 11a ，即 a2，又由 a24b8 ，得 b1，故 f ( x)1 x3x2x 213解法二：同解法一得g(

24、 x)f ( x)(1ab) xa321 ( x1) x2(13a )x(23 a) 322因為切線 l 在點 A(1， f (1) 處穿過 yf ( x) 的圖象，所以g( x) 在 x1兩邊附近的函數(shù)值異號，于是存在 m1， m2（ m11m2 ）當 m1x 1時， g(x)0 ，當 1 xm2 時， g( x)0 ；或當 m1x 1 時， g( x)0，當1x m2 時， g( x) 0 設(shè) h( x)x213ax23a，則22當 m1x1時， h( x)0，當 1xm2 時， h( x)0 ；或當 m1x1時， h(x)0 ，當1xm2 時， h( x)0 由 h(1)0 知 x1是

25、h(x) 的一個極值點，則h(1)2113a0，1 x32所以 a2 ，又由 a24b8 ，得 b1 ，故 f (x)x2x 3演練1（2006 年安徽卷） 若曲線 yx4 的一條切線 l 與直線 x 4 y80垂直，則 l 的方程為（）A 4 x y 3 0B x 4y 5 0C 4x y 3 0D x 4 y 3 0 考查目的 本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和直線方程等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力. 解答過程 與直線 x4y80垂直的直線 l 為 4xym0，即 yx4 在某一點的導(dǎo)數(shù)為4，而 y4x3 ，所以 yx4在 (1 ，1) 處導(dǎo)數(shù)為4，此點的切線為 4 xy30 .故選 A.演練2 ( 2006

26、 年重慶卷 ) 過坐標原點且與x2+y2 -4 x+2y+ 5 =0 相切的直線的方程為( )2A. y=-3 x 或 y= 1 x B.y=-3 x 或 y=- 1 x C. y=-3 x 或 y=- 1 x D.y=3x 或 y= 1 x3333 考查目的 本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和圓的方程、直線方程等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力. 解答過程 解法 1：設(shè)切線的方程為ykx,kxy0.10歡。迎下載精品文檔又 x2y25 ,圓心為 2,1 .2122k153k28k3 0.k13.k 21,k2313x.yx,或 y3故選 A.解法 2: 由解法1 知切點坐標為 (1331,), 由2222(x 2) 2y 1 2/x/5,2 x2( x2)2 y1 yx /0,yx /x2 .y1k1yx /133, k2yx /31(,)(, )2222y3x, y1x.31.3故選 A.2+演練 3 ( 全國 II ）過點（ 1， 0）作拋物線y=x+1的切線，則其中一條切線為（）x（ A）2x+y+2=0（ B）3x-y +3=0（ C）x+y+1=0（ D） x-y+ 1=0解：y=2 +1，設(shè)切點坐標為 (x0,y0) ，則切線的斜率為2x0+1，且y0=02+ 0+1xxx于