本節(jié)將給出在 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的條件下, 重積分變量變換公式(定

1、 本節(jié)將給出在 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的條件下, 重積分變量變換公式(定理 21.13 )的一般證明. ( , ),( , )xx u vyy u v9 重積分變量變換公式的證明(1,2)i 在在 D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,并且并且 12121212(,)(,)0, (,).(,)J xxxxDxx 若若 為為 內(nèi)邊長為內(nèi)邊長為 h 的任一正方形，的任一正方形， D(),T 證明重積分變量變換公式的的關(guān)鍵是下面的引理證明重積分變量變換公式的的關(guān)鍵是下面的引理. . 引理引理 設(shè)變換設(shè)變換 12:(,)(1,2)iiTxxxi 將將 12x x平面平面上由按段光滑封閉曲線所圍的

2、有界閉域上由按段光滑封閉曲線所圍的有界閉域 D一對一一對一 地變換成地變換成 12x x平面上的閉域平面上的閉域 D . 又設(shè)又設(shè) 12(,)ixx 那么成立關(guān)系式那么成立關(guān)系式 212( ) |(,)|()( )J xxO hh 22(|( )|( )|),(1)O hhC hh 的位置無關(guān)的常數(shù)，的位置無關(guān)的常數(shù)， ( ) 與與 () 分別表示區(qū)域分別表示區(qū)域 與與 的面積的面積, , ,1,2( )sup( ),iji jhh ( )ijh 是是 12(,)ijxxx 在在 D上的上的連續(xù)模連續(xù)模, , 即即 其中其中 12(,)xx為為 的某一頂點的某一頂點, ,C 為與為與 h及及

3、在在 D中中 1212( )sup(,)(,),ijiijjhxxxxxx 這里上確界是對所有這里上確界是對所有 1212(,),(,)xxxxD滿足條滿足條 頂點頂點: : 12(,),P xx112(,),Axh x12(,)C xh xh221122()()xxxxh件件而取的而取的. 證證 不妨設(shè)正方形不妨設(shè)正方形 1122, ,xxhxxh 四個四個 212(,)Axh xh與與(圖圖21-44). 于是于是 是是 D ()T 內(nèi)的曲邊四邊形內(nèi)的曲邊四邊形 (圖圖21-45), 且是一個閉域且是一個閉域, 12PA CA1x 1A 2144 圖圖 C PO 2x 2A 對對 內(nèi)任一點

4、內(nèi)任一點 記記 由于由于 12(,),Q xx12(,)().Q xxT Q1x2145 圖圖C PO2x2A 1A1A C 2A 其中其中 1212(,)(,),P A C AT P AC A的邊界的邊界 則映為則映為 的邊界的邊界 . 設(shè)點設(shè)點 P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 12(,).x x 12(,)(1,2)ixxi 在在 D上連續(xù)可微上連續(xù)可微, 故由多元函數(shù)故由多元函數(shù) 微分中值定理微分中值定理, 存在點存在點 使得使得12(,),ii 12111(,)()iiiiixxxxx 12222(,)()(1,2),(2)iiixxix 其中其中 位于位于 與與 之間之間.i j jx(1,2;

5、1,2)jxij下面考慮從下面考慮從 平面到平面到 平面的線性映照平面的線性映照 12x x12x x:T12(,)Q xxD,則則 12()(,),TQQ x x其中其中 若若 12111(,)()iiixxx xxxx 12222(,)()(1,2).(3)ix xxxix 由解析幾何知道由解析幾何知道, 在映照在映照 下下,正方形正方形 被映照成平被映照成平T 行四邊形行四邊形 其中其中 分別為分別為 12,PA C A12,ACA12,A C A由由(3)式知式知 的兩條邊的兩條邊 的長分別為的長分別為 (1,2)iPA i |,iiPAha的邊界為的邊界為 . 在映照在映照 下的象下

6、的象(圖圖21-45). 記這平行四邊形為記這平行四邊形為T , 它它其中其中1222112212(,)(,)(1,2).iiiax xx xixx 下面來估計點下面來估計點 與點與點 之間的距之間的距()QT Q()QTQ離離. 由由 (2) 及及 (3) 式有式有 12121111(,)(,) ()iiiiiixxx xxxxx 12122222(,)(,) ()(1,2).iiiixxxxixx 從而由從而由 的定義可得的定義可得 ( )h |( 2 )( 2 )4 ( 2 ) .iixxh hh hh h 因此因此 與與 之間的距離之間的距離 QQ221122(,)()()6 ( )

7、.(4)Q Qxxxxh h 記記 ,則由則由(4)式可見點式可見點 屬于點屬于點 的閉鄰的閉鄰 6 ( )h h QQ 令令(, ).U Q 域域(, ),QWU Q 2146 圖圖C PW Y2A A Y 會大于四個圓心在會大于四個圓心在 的頂點的頂點, 半徑為半徑為 的圓的圓 的面積和四個以的面積和四個以 的的 矩形面積之和矩形面積之和(圖圖21-46),2221()422( ),(5)iiWa hkhh 則則 的面積的面積 不不W()W 各邊為底邊各邊為底邊, 高為高為 2 的的 即即其中其中 k 是與是與 h及及 在在 中的位置無關(guān)的常數(shù)中的位置無關(guān)的常數(shù)(這是因這是因 D界界, ,

8、因此因此 和和 在在 上也上也有界有界).D(1,2)ia i( )h 現(xiàn)在來證明引理的結(jié)論現(xiàn)在來證明引理的結(jié)論, 即即 (1) 式成立式成立. 為此為此先證明先證明 下面的包含關(guān)系下面的包含關(guān)系:.(6)W 事實上事實上, 設(shè)設(shè) Z 為為 中的任意一點中的任意一點. 我們從平行四邊形我們從平行四邊形 在有界閉域在有界閉域 上具有一階連上具有一階連12(,)(1,2)ixxi D為為 續(xù)偏導(dǎo)數(shù)續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,于是它們與它們的一階于是它們與它們的一階偏導(dǎo)數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)在 D上有上有 的中心的中心 出發(fā)出發(fā),作一射線經(jīng)過作一射線經(jīng)過 且延伸到無窮且延伸到無窮. 由由 YZ于函數(shù)于函數(shù) 與與 在在 上有界

9、上有界, 所以所以 是是112(,)x x 212(,)x x 一有界區(qū)域一有界區(qū)域, 并且它的邊界并且它的邊界 是按段光滑的封閉曲是按段光滑的封閉曲 線線. 因此所作的射線必與因此所作的射線必與 相交于某相交于某 一點一點 .又由又由 0Z(4) 式知道式知道 從而從而 ,W 0.ZWW 因此因此 包含整個線段包含整個線段 所以所以 W 0,Y Z.ZW 這就證明了包含關(guān)系這就證明了包含關(guān)系 (6) 成立成立. 設(shè)設(shè) 表示平行四邊形表示平行四邊形 中垂直于邊中垂直于邊 的高的高. . 下下 iH iPA面分兩種情形證明面分兩種情形證明( (1) )式成立式成立. . 4 (1,2),iHi

10、W (i) 若若則則 非空非空 (圖圖21-46). 可可 以證明此時成立包含關(guān)系以證明此時成立包含關(guān)系: : .(7)W4 (1,2)iHi Y 事實上事實上, 因為因為, 所以所以的中心的中心的的閉鄰域閉鄰域 (, ).U YW YT,Y由于正方形由于正方形的中心的中心在映射在映射 下的象即為下的象即為所以由所以由 (4) 式有式有 (),)(),().T YYT YTY YT從而從而在映射在映射下的象下的象 ()(, ).YT YU YW 0ZYZW W 因此因此, 這與這與和和不相交矛盾不相交矛盾, 故故.Z 這就證明了這就證明了(7)式式.由由(6)式與式與(7)式得到式得到 W W

11、 又因又因，所以，所以與與不相交不相交. 若存在點若存在點 Z但但那么連結(jié)那么連結(jié) Y 和和 Z 的線段的線段,W ,Z YZ必必 0Z與與 相交于某一點相交于某一點. 由于由于 Y 和和 Z 都屬于都屬于,W ()()( )()().WW ( )()().W因為平行四邊形因為平行四邊形 的面積的面積21212() | |(,)|,(8)PAPAJ x xh 2212( )|(,)|( )J xxhO hh 212|(,)|()( ),J xxO hh 22|( )|( ),O hhChh所以存在所以存在使得使得 1,1, 因此由因此由(5)式及正方形式及正方形 的面積的面積 , 得到得到2(

12、)h 12(,)x xhh其中常數(shù)其中常數(shù) C 不依賴于點不依賴于點與與 的選取的選取, 即與即與 D及正方形及正方形在在的位置無關(guān)的位置無關(guān). 這就證明了這就證明了(1)式成立式成立.14H 24H 14 ,H (ii) 若若或或,不妨設(shè)不妨設(shè)則因則因平行平行 1H1PA1a h四邊形四邊形的面積等于的面積等于乘以乘以的長的長,因此由因此由 (5), (6) 及及 (8) 式推得式推得 212( )|(,)|( )()|J x xh ( )()()()()W112 ()()2()Wa hHW 222( )( )( ),O hhO hhO hh1a22148( )( )a hhO hh D其中

13、其中是由于是由于在在上有界上有界. 因此因此212( ) |(,)|()( ),J xxO hh 即即(1)式也成立式也成立. 這樣這樣, 對于對于iH的各種可能情形都證得了的各種可能情形都證得了(1)式成立式成立 .推論推論 在引理的條件下在引理的條件下, 成立成立 2118()48( )()a hWa hhW 12(,)( ,1,2)ijxxi jx D證證 因為因為在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域上連續(xù)上連續(xù), 所以在所以在D上一致連續(xù)上一致連續(xù), 于是于是0lim( )0hh ( ,1,2) ,i j0lim( )0hh 0h從而從而 . 所以當(dāng)所以當(dāng) 時時, 有有 222|( )|( )()

14、.O hhChho h 由于上式兩邊與點由于上式兩邊與點12(,)xxD 無關(guān)無關(guān), ,因此上式對于因此上式對于 120( )lim|(,)|.(9)()hJ x x 2212( ) |(,)|(),J xxho h 從而得到從而得到12200( )( )limlim|(,)|.()hhJ xxh 12(,)x xD注注 在上述推論中在上述推論中, 由于點由于點可為可為中的任意中的任意一一 點點, 因此因此 (9) 式可改寫成式可改寫成 12120( )lim|(,)|,(,).(10)()hJ x xx xD 當(dāng)當(dāng) 0h時時 另一方面另一方面, 由于由于 2()h , 因此由引理因此由引理:

15、所有的所有的12(,)xxD一致地成立一致地成立. 12(,)J x x12(,)x x表示在變換表示在變換 T 之下之下, ,面積微元在點面積微元在點的的局部伸縮率局部伸縮率 . 下面給出在下面給出在12(,)(1,2)iixxxi 具有一階連續(xù)偏具有一階連續(xù)偏 導(dǎo)數(shù)的一般條件下導(dǎo)數(shù)的一般條件下, 二重積分變量變換公式的證明二重積分變量變換公式的證明. 證證 由于由于T 是一對一變換是一對一變換, 因而在所設(shè)條件下因而在所設(shè)條件下D的按的按 段光滑的邊界曲線變換到段光滑的邊界曲線變換到 D 時時,其邊界曲線也是按其邊界曲線也是按 段光滑的段光滑的. 在在12x x平面上作平行于坐標(biāo)軸的方格平

16、面上作平行于坐標(biāo)軸的方格 D12x x網(wǎng)網(wǎng),它是它是的一個分割的一個分割. 由變換由變換 T, 相應(yīng)地得到相應(yīng)地得到平平 由由(10)式看到式看到, 與一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相仿與一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相仿, 函數(shù)行列式函數(shù)行列式 h12(,),iiixx 當(dāng)當(dāng)充分小時充分小時, 由由(10)式式, 存在點存在點使得使得12() |(,)|()().iiiiiJ xx 因此因此12112212(,) ()(,),(,)iiiiiiif xxfxxxx 12|(,)|()(),iiiiJ xxM 1112(,),iiixxx 2212(,)iiixxx 12| (,)|f x x這里這里, M 為為 D面上面上

17、 D 的一個分割的一個分割. 考慮所有包含在考慮所有包含在內(nèi)的方格內(nèi)的方格它們對應(yīng)它們對應(yīng) D 內(nèi)無公共內(nèi)點的閉域內(nèi)無公共內(nèi)點的閉域,i 0, ,i 12112212(,) ()(,),(,)iiiiiiiiif xxfxxxx 12|(,)|()()().iiiiJ xxMMD12(,)f x x11221212(,),(,)| (,)|iiiiiifxxxxJ xx 由于由于和和DD 0h分別在分別在和和上可積，故當(dāng)上可積，故當(dāng)時，有時，有 1212120lim(,) ()(,)d d,iiihiDf xxf x xxx Di在在 上的一個上界上的一個上界. 將它們按下標(biāo)將它們按下標(biāo)逐項相加逐項相加, 得到得到 1122121212(,),(,)|(,)|d d.Dfx xx xJ x xxx 由由(11)式中式中 的任意性的任意性, 上面兩式右邊部分相等，即上面兩式右邊部分相等，即 得如下變換式成立得如下變換式成立: : 注注 值得注意的是值得注意的是, ,本節(jié)中所有的證明在本節(jié)中所有