數(shù)學(xué)建模中的隨機(jī)問題

1、2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院12006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院2p能夠識(shí)別隨機(jī)因素和非隨機(jī)因素，能識(shí)別隨機(jī)模型問題和非隨機(jī)模型問題p能簡(jiǎn)化隨機(jī)問題，并能正確假設(shè)隨機(jī)變量的分布和檢驗(yàn)方法p能運(yùn)用概率知識(shí)、統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)描述隨機(jī)模型p掌握運(yùn)用計(jì)算機(jī)模擬方法解決較簡(jiǎn)單的隨機(jī)模型問題2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院3問題問題1：傳送帶的效率傳送帶的效率 如圖，工作臺(tái)上方一條傳送帶的在運(yùn)轉(zhuǎn)，傳送帶上有若干個(gè)鉤子，工人們將產(chǎn)品掛在經(jīng)過他上方的鉤子上，產(chǎn)品被帶走當(dāng)生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)后每個(gè)工人生產(chǎn)出一種產(chǎn)品的時(shí)間不變，但他要掛產(chǎn)品的時(shí)刻卻是隨機(jī)的，如何描述這種傳送帶的效率？ 效率？效率？

2、隨機(jī)因素？隨機(jī)因素？規(guī)律？規(guī)律？2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院4什么是隨機(jī)因素？什么是隨機(jī)變量？問題問題2:傳染病的感染人數(shù)傳染病的感染人數(shù) 假設(shè)人群中既有病人(帶菌者)也有健康人，任何兩人之間的接觸是隨機(jī)的，當(dāng)健康人與病人接觸時(shí)健康人是否被感染也是隨機(jī)的如果通過實(shí)際數(shù)據(jù)或經(jīng)驗(yàn)掌握了這些隨機(jī)規(guī)律，那么怎樣估計(jì)平均每天有多少健康人被感染，這種估計(jì)的準(zhǔn)確性有多大?如何描述隨機(jī)變量？分布分布期望期望方差方差統(tǒng)計(jì)規(guī)律2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院5問題問題3：一報(bào)童從報(bào)刊發(fā)行處訂報(bào)后零售。 每賣出一份報(bào)可賺錢a元。若賣不出去，可退回報(bào)刊發(fā)行處，但須賠b元（ab） 。雖然每天賣出的份

3、數(shù)是隨機(jī)的，但可由以往賣報(bào)紙的情況統(tǒng)計(jì)得每天賣n份報(bào)紙的概率np。求訂報(bào)量*，使報(bào)童每天期望損失費(fèi)達(dá)到最小。 最佳訂報(bào)量最佳訂報(bào)量適合隨機(jī)模型問題的特點(diǎn)：適合隨機(jī)模型問題的特點(diǎn)：1.存在影響系統(tǒng)或目標(biāo)的重要隨機(jī)因素2.已知或能推斷隨機(jī)因素的隨機(jī)規(guī)律（分布、或密度）3.已知或能推斷隨機(jī)因素之間的關(guān)系（獨(dú)立性、相關(guān)性）2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院6周期內(nèi)生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)周期內(nèi)帶走的產(chǎn)品數(shù)傳送帶的效率提出問題選擇建模方法推導(dǎo)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式求解模型回答問題度量指標(biāo)2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院7模型假設(shè)模型假設(shè)(1)車間中的n個(gè)工人生產(chǎn)互相獨(dú)立的。(2) 每個(gè)工人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時(shí)

4、刻是等可能的(3) 每個(gè)鉤子至多只能掛一件產(chǎn)品(4) 在他生產(chǎn)出一件產(chǎn)品的瞬間，如果他能觸到的那只鉤于是空的則可將產(chǎn)品掛上帶走；如果那只鉤子非空，則他只能將這件產(chǎn)品放在地上，退出傳送系統(tǒng)。2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院8建模與求解建模與求解 設(shè)s表示傳送帶在一周期內(nèi)帶走的產(chǎn)品數(shù)的期望值n表示在一周期內(nèi)生產(chǎn)的全部產(chǎn)品數(shù)，D表示傳送帶的效率nsD 2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院9先計(jì)算鉤子能掛上產(chǎn)品的概率：先計(jì)算鉤子能掛上產(chǎn)品的概率：設(shè)為某指定鉤子能掛上的產(chǎn)品數(shù)，則的可能取值是 0、1P 為一周期內(nèi)某指定鉤子能掛上產(chǎn)品的概率 對(duì)于任一指定的工人來講在一周期內(nèi)他完成一件產(chǎn)品，而他

5、把這件產(chǎn)品掛上經(jīng)過他上方的 m 個(gè)鉤子中的任一個(gè)是等可能的。故對(duì)于任一指定的鉤子而言，它被任一指定的工人掛上產(chǎn)品的概率是m1沒有被指定的工人掛上產(chǎn)品的概率是m11。 2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院10因工人生產(chǎn)的獨(dú)立性，故任一指定的鉤子經(jīng)過 n 個(gè)工作臺(tái)上方后都沒有被掛上產(chǎn)品的概率是nm11，能掛上產(chǎn)品的概率nmP111。 某指定鉤于任一周期內(nèi)平均能掛上的產(chǎn)品數(shù)為nnnmmmE11111111102006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院11因?yàn)橐恢芷趦?nèi)傳送帶有 m 個(gè)鉤子經(jīng)過工作臺(tái)上方，所以傳送帶在一周期內(nèi)送走的產(chǎn)品數(shù)的期望值是 nmmEms111 結(jié)果得 nmnmnsD111 當(dāng)n

6、m 時(shí)， 2! 2) 1(111mnnmnmn 傳送帶的效率公式可化簡(jiǎn)為 mnD211 2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院12n=10m2022242628303234363840D0.77500.79550.81250.82690.83930.85000.85940.86760.87500.88160.88752006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院13思考問題：思考問題：設(shè)工人數(shù)n固定不變?cè)谠瓉矸胖靡粋€(gè)鉤子的地方放兩個(gè)鉤子，那么每個(gè)工人在任何時(shí)刻可以同時(shí)觸到兩個(gè)鉤子，只要有一個(gè)是空的他就可以掛上產(chǎn)品，試問此時(shí)的傳送帶效率如何?模型中哪些地方改變？2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)

7、院14模型假設(shè)模型假設(shè) （1）人群只分為病人和健康人兩類，病人數(shù)和健康人數(shù)分別記為 i 和 s，總?cè)藬?shù)為 n 不變，即nsi。 （2）人群中任二人接觸是相互獨(dú)立的，具有相同概率，每人每天平均與 m 人接觸。 （3）當(dāng)健康人與一病人接觸后，被感染的概率為。 研究的問題如果更接近實(shí)際情研究的問題如果更接近實(shí)際情況？你認(rèn)為還須考慮什么因素？況？你認(rèn)為還須考慮什么因素？2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院15于是， 模型分析模型分析 先要求出一健康人被一名指定的病人接觸并感染的概率 p1nm1nmp 假設(shè)任何二人接觸的概率為p，這就是一健康人與一名指定病人接觸的概率.一健康人每天接觸的人數(shù)服從二項(xiàng)

8、分布，分布的平均值是m 2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院16 再計(jì)算一健康人被一名指定病人接觸并感染的概率為1nmpp1健康人被一名指定病人接觸，但不被感染的概率為 1p1i個(gè)健康人接觸這名病人，但不被感染的概率為 i1p12006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院17因此，i個(gè)健康人接觸這名病人后，有人被感染的概率為 ii121nm11p11p上述也是一健康人平均每天被感染的概率。 健康人每天平均被感染的人數(shù)為 22pinsp2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院18均方差為 2222p1pinp1sp為了得到簡(jiǎn)明的結(jié)果，通常假設(shè)mn ，1n ，取近似值得 nmi1nmi11p220

9、06-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院19最后得 ninmiinmiminpinp122式子給出了健康人每天平均被感染的人數(shù)和相對(duì)誤差。 2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院20模型解釋模型解釋 為了使讀者對(duì)模型有直觀的了解，給山了幾組數(shù)字結(jié)果。設(shè)m20，0.1，n=10000，對(duì)于不同的i，計(jì)算和。function u,su=infect(lmta,m,n,i) u=lmta*m.*i.*(n-i)./n; su=sqrt(n-lmta*m.*i)./(lmta*m.*i.*(n-i); lmta=0.1;m=20;n=10000;i=logspace(2,4,100); u,su=inf

10、ect(lmta,m,n,i) subplot(2,1,1);plot(i,u),xlabel(i),ylabel(u) subplot(2,1,2);plot(i,su),xlabel(i),ylabel(su) 2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院212006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院22 如果考慮隔離人群，模型應(yīng)如何改動(dòng)？某廠設(shè)計(jì)一種電子設(shè)備由三種元件 Dl、D2、D3 組成，已知這三種元件的單價(jià)分別為 30、15、20 元，可靠性分別為 0.9、0.8、0.6，為了增加設(shè)備的可靠性，某些元件可裝備用件，并設(shè)計(jì)有備用元件自動(dòng)啟動(dòng)裝置，要求設(shè)計(jì)中所使用元件費(fèi)用不超過 105 元，

11、試問應(yīng)如何設(shè)計(jì)可使設(shè)備可靠性達(dá)到最大。 2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院23模型假設(shè)模型假設(shè)u市場(chǎng)只有報(bào)童一家銷售，無競(jìng)爭(zhēng);u市場(chǎng)需要量服從一定分布u報(bào)童只以追求利潤(rùn)最大為目標(biāo)2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院24模型分析設(shè)每天訂份報(bào)紙，每天賣出了份。 損失一（供大于求） ： nnpnbbEC)( 損失二（供不應(yīng)求） ： 1nn22p)n(aaEC 所以每天期望損失 CCC)( 2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院25所以每天期望損失 CCC)( 求一個(gè)全局的極小值*，使 )(min*)(CCN 這個(gè)*，也可以通過下式求得： *00)(*)() 1*(nnapbaCC 1*0

12、0)() 1*(*)(nnapbaCC 2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院26計(jì)算機(jī)模擬求解模型計(jì)算機(jī)模擬求解模型 先給出如下變量的說明，再繪出程序框圖來說明模擬過程。 T：對(duì)每個(gè)值，預(yù)定的模擬次數(shù) G：訂報(bào)量上限的估計(jì)值； ：報(bào)童訂報(bào)量； opt：最優(yōu)訂報(bào)量； D：損失的累計(jì)值； D：損失的平均值； T：模擬天數(shù)累計(jì)值； D：最小平均損失值。 D的初值應(yīng)盡可能大，以避免最小值丟失，此處，初值D。 2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院27是=+1輸出opt，結(jié) 束是D2=D1/T0D2DD=D2,opt=G否輸入、G、D=1010D1=0，T1=0T1T0T1=T1+1按概率分布產(chǎn)生

13、隨機(jī)數(shù)，對(duì)應(yīng)rrD1=D1+(-r)*bD1=D1+(r-)*a是否否否2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院282006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院29市場(chǎng)平均需求量102030405060708090100最佳訂報(bào)量81628374757688284942006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院30 若每份報(bào)紙的購進(jìn)價(jià)為0.15元、售出價(jià)為0.20元，退回價(jià)為0.12元，需求量服從均值500份，均方差50份的正態(tài)分布報(bào)童每天應(yīng)購進(jìn)多少份報(bào)紙才能使平均收入最高這個(gè)最高收入是多少？2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院312006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院32劉偉，陳銀冬，梁志聰指

14、導(dǎo)教師：梁滿發(fā)摘要：摘要：我們假定吸引力因子由中獎(jiǎng)概率和獎(jiǎng)金額決定，參考Logistic函數(shù)構(gòu)造了反映吸引力程度的“吸引力指數(shù)”；從經(jīng)營(yíng)角度分析，定義了能反應(yīng)經(jīng)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)的指數(shù)，綜合兩指數(shù)定義了“綜合指數(shù)”，以綜合指數(shù)的大小來評(píng)價(jià)個(gè)方案的優(yōu)劣。2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院33trlnp20e1mM1Mftr10e1mM1Mf“冒險(xiǎn)型冒險(xiǎn)型”吸引力因子函數(shù)：吸引力因子函數(shù)：“穩(wěn)健型穩(wěn)健型”吸引力因子函數(shù)：吸引力因子函數(shù)：22111ffd2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院34方案號(hào)77.979.878.579.380.982.285.087.389.282.4方案號(hào)86.981.58

15、4.186.283.289.279.686.381.287.2方案號(hào)89.190.888.489.189.787.179.179.379.32006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院35141s4iii14n10500tnaNn1060實(shí)際返獎(jiǎng)率合理?xiàng)l件實(shí)際返獎(jiǎng)率合理?xiàng)l件 計(jì)算機(jī)模擬計(jì)算實(shí)際返獎(jiǎng)率與理論值的偏差指數(shù)，計(jì)算機(jī)模擬計(jì)算實(shí)際返獎(jiǎng)率與理論值的偏差指數(shù)，即即“穩(wěn)定指數(shù)穩(wěn)定指數(shù)”：nRxdn1i2i22006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院36方案號(hào)1.2141.1631.1221.2121.0751.0561.0921.0991.1051.108方案號(hào)1.1051.1361.1461.1431.1611.1651.1831.1871.213