數(shù)值積分與數(shù)值微分

1、1第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分計(jì)算方法 基本概念基本概念 Newton-Cotes 公式公式2本章內(nèi)容本章內(nèi)容n 數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分l 基本概念基本概念l Newton-Cotes 求積公式求積公式 l 復(fù)合求積公式復(fù)合求積公式l Romberg 求積公式求積公式l Gauss 求積公式求積公式l 多重積分多重積分n 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分3本講內(nèi)容本講內(nèi)容l 數(shù)值積分的必要性數(shù)值積分的必要性l 代數(shù)精度代數(shù)精度l 插值型求積公式插值型求積公式l 收斂性與穩(wěn)定性收斂性與穩(wěn)定性n 數(shù)值積分基本概念數(shù)值積分基本概念l 公式介紹公式介紹l 代數(shù)精度代數(shù)精度l 余項(xiàng)表達(dá)式余項(xiàng)表達(dá)式n Newton-Cotes 公

2、式公式4數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分( )( ) dbaI ff xx l 微積分基本公式：微積分基本公式：baaFbFxxf)()(d)(3) f (x) 表達(dá)式未知表達(dá)式未知，只有通過測(cè)量或?qū)嶒?yàn)得來的數(shù)據(jù)表，只有通過測(cè)量或?qū)嶒?yàn)得來的數(shù)據(jù)表l 但是在許多實(shí)際計(jì)算問題中但是在許多實(shí)際計(jì)算問題中(2) F(x) 難求！難求！甚至有時(shí)不能用初等函數(shù)表示。甚至有時(shí)不能用初等函數(shù)表示。 如如21( )sin , xf xxex (1) F(x) 表達(dá)式較復(fù)雜表達(dá)式較復(fù)雜時(shí)，計(jì)算較困難。如時(shí)，計(jì)算較困難。如61( )1f xx 5幾個(gè)簡(jiǎn)單公式幾個(gè)簡(jiǎn)單公式l 矩形公式矩形公式( )d() ( )baf xxba f

3、a ( )d()2baabf xxba f ( )d() ( )baf xxba f b l 梯形公式梯形公式 1( )d()( )( )2baf xxbaf af b l 拋物線公式拋物線公式1( )d()( )4( )62baabf xxbaf aff b ( )d() ( )baf xxba f q 基本思想：基本思想：( , )a b 6一般形式一般形式數(shù)值積分公式的一般形式數(shù)值積分公式的一般形式0( )d()nbiiaif xxA f x 求積節(jié)點(diǎn)求積節(jié)點(diǎn)求積系數(shù)求積系數(shù)機(jī)械求積方法機(jī)械求積方法l 將定積分計(jì)算轉(zhuǎn)化成被積函數(shù)的將定積分計(jì)算轉(zhuǎn)化成被積函數(shù)的函數(shù)值函數(shù)值的計(jì)算的計(jì)算l 無

4、需求原函數(shù)無需求原函數(shù)l 易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)一般地，用一般地，用 f(x) 在在 a, b 上的一些離散點(diǎn)上的一些離散點(diǎn) a x0 x1 xn b 上的函數(shù)值的加權(quán)平均作為上的函數(shù)值的加權(quán)平均作為 f ( ) 的近似值，可得的近似值，可得7代數(shù)精度代數(shù)精度定義定義：如果對(duì)于所有次數(shù)不超過：如果對(duì)于所有次數(shù)不超過 m 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 f (x) ，公式，公式精確成立，但對(duì)某個(gè)次數(shù)為精確成立，但對(duì)某個(gè)次數(shù)為 m +1 的多項(xiàng)式不精確成立，則稱的多項(xiàng)式不精確成立，則稱該求積公式具有該求積公式具有 m 次代數(shù)精度次代數(shù)精度0( )d()nbiiaif xxA f x l 將將 f (x)

5、= 1, x, x2, , xm 依次代入，公式精確成立依次代入，公式精確成立;l 但對(duì)但對(duì) f (x) = xm+1 不精確成立。即：不精確成立。即：22110 d2mmnbmmiiaibaA xxxm ( k = 0, 1, , m )代數(shù)精度的驗(yàn)證方法代數(shù)精度的驗(yàn)證方法110 d1kknbkkiiaibaA xxxk 8舉例舉例例：例：試確定試確定 Ai ，使得下面的求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度使得下面的求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度0( )d()nbiiaif xxA f x 解：解：將將 f (x) 1, x, x2, , xn 代入求積公式，使其精確成立，得代入求積公式，使其精確

6、成立，得 01 nAAAba 2223300111()3nnA xA xA xba 1100111()1nnnnnnnA xA xA xban 2200111()2nnA xA xA xba 存在唯一解：存在唯一解：01, , , nAAA 所以求積公式為：所以求積公式為： 0( )d()nbiiaif xxA f x 具有至少具有至少 n 階代數(shù)精度階代數(shù)精度9舉例舉例例：例：試確定系數(shù)試確定系數(shù) Ai ，使得下面的求積公式具有盡可能高的使得下面的求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度，并求出此求積公式的代數(shù)精度。代數(shù)精度，并求出此求積公式的代數(shù)精度。10121( )d ( 1)(0)(1)f xx

7、A fA fA f 解：解：將將 f (x)1, x, x2 代入求積公式，使其精確成立，可得代入求積公式，使其精確成立，可得 1101222023302() /12 () / 20 () / 32/ 3AAAbaAAbaAAba 解得解得 A0 =1/3, A1 =4/3, A2 =1/3。所以求積公式為。所以求積公式為3 )1()0(4)1( d)(11fffxxf 易驗(yàn)證該公式對(duì)易驗(yàn)證該公式對(duì) f (x)x3 也精確成立，但對(duì)也精確成立，但對(duì) f (x)x4 不精不精確成立，所以此求積公式具有確成立，所以此求積公式具有 3 次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。10舉例舉例例：例：(教材教材100頁頁

8、) 試確定下面求積公式中的系數(shù)試確定下面求積公式中的系數(shù)，使其具使其具有盡可能高的代數(shù)精度。有盡可能高的代數(shù)精度。10100( )d (0)(1)(0)f xxA fA fB f 將將 f (x)x3 代入，等號(hào)成立，故公式具有代入，等號(hào)成立，故公式具有 2 次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。解：解：將將 f (x)1, x, x2 代入求積公式，使其精確成立，可得代入求積公式，使其精確成立，可得 011011 0.51/ 3AAABA 解得解得 A0 =2/3, A1 = 1/3, B0 =1/6。所以求積公式為。所以求積公式為10211( )d (0)(1)(0)336f xxfff 11代數(shù)精度代

9、數(shù)精度q 容易容易驗(yàn)證：驗(yàn)證：l 左矩形公式左矩形公式 和和 右矩形公式右矩形公式 具有具有 零次零次 代數(shù)精度代數(shù)精度l 中矩形公式中矩形公式 和和 梯形公式梯形公式 具有具有 一次一次 代數(shù)精度代數(shù)精度q 特別地，任意特別地，任意具有具有 m ( 0 ) 次代數(shù)精度的次代數(shù)精度的求積公式求積公式一定滿足一定滿足：010 = niniAAAAba 12插值型求積公式插值型求積公式設(shè)求積節(jié)點(diǎn)為：設(shè)求積節(jié)點(diǎn)為：a x0 x1 xn b 若若 f (xi) 已知，則可做已知，則可做 n 次多項(xiàng)式插值：次多項(xiàng)式插值：0( ) ()nniiiLxl x f x 其中其中( ) dbiiaAl xx 插

10、值型求積公式插值型求積公式00( )( ) d( )d d()()bniiannbbiiaaiif xxxf xfxxxAxLl 誤差：誤差： ( )( ) d( ) dbbnnaaR ff xLxxRxx (1)01( )( )()()()(1)!nnnfRxxxxxxxn 其中其中13插值型求積公式插值型求積公式當(dāng)當(dāng) f (x) 1, x, x2, , xn 時(shí)，有時(shí)，有即公式精確成立即公式精確成立( )0nRx 0R f ( )d d( )bbaanLxf xxx 性質(zhì)性質(zhì)：插值型求積公式具有至少：插值型求積公式具有至少 n 次代數(shù)精度次代數(shù)精度 定理定理：下面的求積公式具有：下面的求積

11、公式具有至少至少 n 次代數(shù)精度次代數(shù)精度的的充要條件是該充要條件是該公式是插值型公式是插值型的的0( )d()nbiiaif xxA f x 證明：板書證明：板書14求積公式余項(xiàng)求積公式余項(xiàng)性質(zhì)性質(zhì)：若求積公式的代數(shù)精度為：若求積公式的代數(shù)精度為 m，則余項(xiàng)為，則余項(xiàng)為 (1)0 ( )d()( )nbmiiaiR ff xxA f xKf 其中其中 K 為待定系數(shù)，但與為待定系數(shù)，但與 f (x) 無關(guān)無關(guān)( , )a b 如何確定如何確定 K 的值？的值？l 將將 f (x) = xm+1 代入可得代入可得110d(1)!nbmmiiaixxA xKm 22101(1)!2mmnmiii

12、baKA xmm 15舉例舉例例：例：試確定梯形公式的余項(xiàng)表達(dá)式試確定梯形公式的余項(xiàng)表達(dá)式解：解：梯形公式梯形公式( )d( )( )22bababaf xxf af b 代數(shù)精度為代數(shù)精度為 1，故，故22101(1)!2mmnmiiibaKA xmm 332212!322bababaab 3112ba 所以梯形公式的余項(xiàng)為所以梯形公式的余項(xiàng)為 31 ( )12R fbaf ( , )a b 16舉例舉例例：例：試確定下面的求積公式的余項(xiàng)表達(dá)式試確定下面的求積公式的余項(xiàng)表達(dá)式10211( )d (0)(1)(0)336f xxfff 解：解：由前面的計(jì)算可知，該公式的代數(shù)精度為由前面的計(jì)算可

13、知，該公式的代數(shù)精度為 2，故，故22101(1)!2mmnmiiibaKA xmm 所以該公式的余項(xiàng)為所以該公式的余項(xiàng)為(3)1 ( )72R ff (0,1) 1111003! 4372 17收斂性收斂性定義定義：如果求積公式：如果求積公式 滿足滿足則稱該求積公式是則稱該求積公式是 收斂的收斂的。0( )d()nbiiaif xxA f x 設(shè)求積節(jié)點(diǎn)為：設(shè)求積節(jié)點(diǎn)為：a x0 x1 0，若存在，若存在 0，使得當(dāng)，使得當(dāng) ( i = 0, 1, , n) 時(shí)，有時(shí)，有 則稱該求積公式是則稱該求積公式是 穩(wěn)定的。穩(wěn)定的。00()nniiiiiiA fA f x ()iiff x 定理定理：

14、若：若 Ai 0, i = 0, 1, , n，則下面的求積公式是穩(wěn)則下面的求積公式是穩(wěn)定的定的0( )d()nbiiaif xxA f x 證明：板書證明：板書19Newton-Cotes 公式公式基于等分點(diǎn)的插值型求積公式基于等分點(diǎn)的插值型求積公式l 積分區(qū)間：積分區(qū)間：a, bl 求積節(jié)點(diǎn)：求積節(jié)點(diǎn)： xi = a + i h bahn l 求積公式：求積公式：( )0( ) d()()nbniiaif xxbaCf x ( )( )1( ) dbnniiaClxxba 00 dnnkk ihtktbaik xath 001( 1)() d!n innkk itktn ini Cotes

15、 系數(shù)系數(shù)Newton-Cotes 求積公式求積公式20Newton-Cotes 公式公式21,21)1(1)1(0 CCn = 1:( ) ( )( )2babaf x dxf aTf b 代數(shù)精度代數(shù)精度 = 1梯形公式梯形公式代數(shù)精度代數(shù)精度 = 3n = 2:61,32,61)2(2)2(1)2(0 CCC2( ) ( )4 ()( )6ba babaf x dxf aff bS 拋物線公式拋物線公式Simpson公式公式n = 4:01234( )7 ()32 ()12 ()32 ()7 ()90babaf x dxf xf xf xf xf xC 科特斯科特斯 (Cotes) 公式

16、公式4/ )( ,abhhiaxi代數(shù)精度代數(shù)精度 = 521Cotes 系數(shù)表系數(shù)表l Cotes 系數(shù)與被積函數(shù)系數(shù)與被積函數(shù) f (x) 及積分區(qū)間及積分區(qū)間 a, b 無關(guān)無關(guān)l Cotes 系數(shù)可通過查表獲得系數(shù)可通過查表獲得22N-C 公式公式q Cotes 系數(shù)具有以下特點(diǎn)：系數(shù)具有以下特點(diǎn)：(1) 10)(niniC(2) )()(ninniCC(3) 當(dāng)當(dāng) n 8 時(shí)，出現(xiàn)負(fù)數(shù)，時(shí)，出現(xiàn)負(fù)數(shù)，穩(wěn)定性得不到保證穩(wěn)定性得不到保證。而且。而且當(dāng)當(dāng) n 較大時(shí)，由于較大時(shí)，由于Runge現(xiàn)象，現(xiàn)象，收斂性也無法保證收斂性也無法保證。q 當(dāng)當(dāng) n 7 時(shí)，時(shí)，Newton-Cotes

17、公式是穩(wěn)定的公式是穩(wěn)定的一般不采用高階的牛頓一般不采用高階的牛頓-科特斯求積公式科特斯求積公式23N-C 公式代數(shù)精度公式代數(shù)精度定理定理：當(dāng)：當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，Newton-Cotes 公式至少有公式至少有 n+1 階代數(shù)精度階代數(shù)精度定理定理：n 階階 Newton-Cotes 公式至少有公式至少有 n 階代數(shù)精度階代數(shù)精度證：證：只要證明當(dāng)只要證明當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，公式對(duì)為偶數(shù)時(shí)，公式對(duì) f (x)xn+1 精確成立。精確成立。xxxnffRniiband )( )!1()(0)1( d )(0 baniixxxx = a + t h200() d nnnihtit t = n - s d )()1(0021 nninnsinshfRfR0fR 1200( 1) d nnnnihsis 即即24N-C 公式余項(xiàng)公式余項(xiàng)l 梯形公式梯形公式 (n=1) 的余項(xiàng)的余項(xiàng)31 ()( )12R fbaf 22(1)101 ( ), (1)!2mmnmmiiibaR fKfKA xmm ( , )a b l Simpson公式公式 (n=2) 的余項(xiàng)的余項(xiàng)5(4)1 ( )1802baR ff ( , )a b l Cotes 公式公式 (n=4) 的余項(xiàng)的余項(xiàng)7(6)8 ( )9454baR ff ( , )a b 25作業(yè)作業(yè)1. 確定下列求積公式中