數(shù)學(xué)建模課件之隨機(jī)模型

1、一一 傳送系統(tǒng)的效率傳送系統(tǒng)的效率在機(jī)械化生產(chǎn)車間里，排列整齊的工作臺旁工人們緊張的生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，工作臺上放一條傳送帶在運(yùn)轉(zhuǎn)，帶上設(shè)置若干鉤子，工人將產(chǎn)品掛在經(jīng)過他上方的鉤子上帶走，如圖。當(dāng)生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)后，每個工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品所需時間是不變的，而他掛產(chǎn)品的時刻是隨機(jī)的。衡量這種傳送系統(tǒng)的效率可以看他能否及時把工人的產(chǎn)品帶走。在工人數(shù)目不變的情況下傳送帶速度越快，帶上鉤子越多，效率越高。要求構(gòu)造衡量傳送系統(tǒng)效率的指標(biāo)，并在簡化假設(shè)下建立模型描述這個指標(biāo)與工人數(shù)目、鉤子數(shù)量等參數(shù)的關(guān)系。傳送帶掛鉤工作臺1 1 模型分析模型分析為了用傳送帶及時帶走的產(chǎn)品數(shù)量來表示傳送系統(tǒng)的效率，在工人生產(chǎn)周期

2、（即生產(chǎn)一件產(chǎn)品的時間）相同的情況下，需要假設(shè)工人生產(chǎn)出一件產(chǎn)品后，要么恰好有空鉤子經(jīng)過工作臺，他可以將產(chǎn)品掛上帶走，要么沒有空鉤子經(jīng)過，他將產(chǎn)品放下并立即投入下一件產(chǎn)品的生產(chǎn)，以保證整個系統(tǒng)周期性的運(yùn)轉(zhuǎn)。 工人生產(chǎn)周期相同，但由于各種因素的影響，經(jīng)過相當(dāng)長的時間后，他們生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時刻會不一致，認(rèn)為是隨機(jī)的，并在一個生產(chǎn)周期內(nèi)任一時刻的可能性一樣。由上分析，傳送系統(tǒng)長期運(yùn)轉(zhuǎn)的效率等價于一周期的效率，而一周期的效率可以用它在一周期內(nèi)能帶走的產(chǎn)品數(shù)與一周期內(nèi)生產(chǎn)的全部產(chǎn)品數(shù)之比來描述。2 2 模型假設(shè)模型假設(shè)3）在一周期內(nèi)有 個鉤子通過每一工作臺上方，鉤子均勻排列，到達(dá)第一個工作臺上方的鉤子

3、都是空的。m4）每個工人在任何時刻都能觸到一只鉤子，且之能觸到一只，在他生產(chǎn)出一件產(chǎn)品的瞬間，如果他能觸到的鉤子是空的，則可將產(chǎn)品掛上帶走；如果非空，則他只能將產(chǎn)品放下。放下的產(chǎn)品就永遠(yuǎn)退出這個傳送系統(tǒng)。1）有n個工人，其生產(chǎn)是獨(dú)立的，生產(chǎn)周期是常數(shù)， 個工作臺均勻排列。n2）生產(chǎn)已進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，即每個工人生產(chǎn)出一件產(chǎn)品的時刻在一個周期內(nèi)是等可能性的。DsnnsD/smpmps pm/1m/11nnm11nmp111nmnmnmpD111mn為了得到比較簡單的結(jié)果，在鉤子數(shù) 相對于工人數(shù) 較大，即 較小的情況下，將多項(xiàng)式 展開后只取前3項(xiàng)，則有mnnm11mnmnnmnnmD21121112如果將

4、一周期內(nèi)未帶走的產(chǎn)品數(shù)與全部產(chǎn)品數(shù)之比記作E再假定1n，則mnEED2,1當(dāng)40,10mn時， 上式給出的結(jié)果為%5 .87D用D的精確表達(dá)式計算得%4 .89DDE1與n成正比，與m成反比。通常工人數(shù)目n是固定的，一周期內(nèi)通過的鉤子數(shù) 增加一倍，可使“效率” 降低一倍。mE思考：思考：如何改進(jìn)模型使“效率”降低？（可理解為相反意義的效率）m個鉤對，任一鉤對被任意工人觸到的概率mp/1，不被觸到的概率pq1，于是任一鉤對為空的概率是nq，鉤對上只掛一件產(chǎn)品的概率是1nnpq，一周期內(nèi)通過的m2個鉤子中，空鉤的平均數(shù)是12nnnpqqm帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是122nnnpqqmm未帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是

5、122nnnpqqmmn按照上一模型的定義，有111112211nnmmnmnmDEnm11和111nm的近似展開，可得2226621mnmnnEnm11展開取4項(xiàng)，111nm展開取3項(xiàng)。而上一模型中的方法有mnE41有1EEmn32當(dāng)32 nm 時，1，所以該模型提供的方法比上一個模型好。注意：利用模型分析：模型分析：購進(jìn)量由需求量確定，需求量是隨機(jī)的。假定報童已通過自己的經(jīng)驗(yàn)或其他渠道掌握了需求量的隨機(jī)規(guī)律，即在他的銷受范圍內(nèi)每天報紙的需求量為 份的概率是r rf, 2 , 1 , 0r有了 和 rfcba,就可以建立關(guān)于購進(jìn)量的優(yōu)化模型。n份，需求量r是隨機(jī)的，r可以小于，等于或大于n，

6、所以報童每天的收入也是隨機(jī)的。那么，作為優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)，不能取每天的收入，而取長期賣報（月，年）的日平均收入。從概率論大數(shù)定律的觀點(diǎn)看，這相當(dāng)于報童每天收入的期望值，簡稱平均收入。記報童每天購進(jìn)n份報紙的平均收入為 nG，如果這天的需求量nr，則售出r份，退回rn份；如果需求量nr 則n份將全部售出。需求量為r的概率是 rf，則 nrnrrnfbarfrncbrbanG01問題歸結(jié)為在 cbarf,已知時，求n使 nG最大。 ndrrpcbnnpbadndG0r和購進(jìn)量n都相當(dāng)大，將r視為連續(xù)變量便于分析和計算，這時概率 rf轉(zhuǎn)化為概率密度函數(shù) rp nndrrnpbadrrprncbrb

7、anG0計算 drrpbadrrpcbdrrpbannpbannn0則0dndG，得到 cbbadrrpdrrpnn0n應(yīng)滿足上式。因?yàn)?cabadrrpn0 10drrp，所以根據(jù)需求量的概率密度 rp的圖形可以確定購進(jìn)量n在圖中用21,PP分別表示曲線 rp下的兩塊面積，則cbbaPP21 rpO n r1P2Pn份報紙時， drrpPn01是需求量r不超過n的概率，即賣不完的概率； drrpPn2是需求量rn的概率，即賣完的概率，所以上式表明，購進(jìn)的份數(shù)n應(yīng)該使賣不完與賣完的概率之比，恰好等于賣出一份賺的錢ba與退回一份賠的錢cb之比。結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)報童與報社簽訂的合同使報童每份賺錢與賠錢之比約大時，報童購